Initial Commit and Notes from HS24
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2475ac9866
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1a445ee6fe
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README.md
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README.md
@ -1,3 +1,17 @@
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# ITET-Notes
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# ITET-Notes
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My LaTeX Notes I took during my time at ETH
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Hier findest du meine Notizen zu den Fächern vom Studiengang ITET.
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Andere Dateien wie Lösungen zu Serien findest du auf meiner [ETH Website](https://eth.jirayuruh.ch).
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Die LaTeX Template ist inspiriert durch den Template von [Senior Mars](https://github.com/SeniorMars/dotfiles/tree/main/latex_template).
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## DISCLAIMER!!!
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Ich übernehme keine Haftung über mögliche Fehler in den Notizen und Zusammenfassungen (Es hat sicherlich ein paar drinnen, da ich teils Sätze umformuliert habe und meine Persönliche Notizen beigefügt habe!).
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Fehler können per Discord, WhatsApp, Mail und Moodle gemeldet werden. Sie sind in der Fehlerliste ersichtlich.
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Made by JirR02 in Switzerland 🇨🇭
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fs25/README.md
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fs25/README.md
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# ITET 2. Semester (FS 2025)
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Im zweiten Semester habe ich die folgenden Fächer belegt:
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- [Analysis II](https://eth.jirayuruh.ch/fs25/analysis/)
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- [Grundzüge des Rechts](https://eth.jirayuruh.ch/fs25/grundzuege-recht/)
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- [Informatik I](https://eth.jirayuruh.ch/fs25/informatik/)
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- [Mathematische Methoden](https://eth.jirayuruh.ch/fs25/math_methoden/)
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- [Netzwerke und Schaltungen II](https://eth.jirayuruh.ch/fs25/nus/)
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- [Physik I](https://eth.jirayuruh.ch/fs25/physik/)
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Weitere Information findet ihr im VZZ oder auf eurer Moodle Seite.
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## DISCLAIMER!!!
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Ich übernehme keine Haftung über mögliche Fehler in den Notizen (Es hat sicherlich ein paar drinnen, da ich teils Sätze umformuliert habe und meine Persönliche Notizen beigefügt habe!).
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Fehler können per Discord, WhatsApp, Mail und Moodle gemeldet werden. Sie sind in der Fehlerliste ersichtlich.
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Made by JirR02 in Switzerland 🇨🇭
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hs24/README.md
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hs24/README.md
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@ -0,0 +1,21 @@
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# ITET 1. Semester (HS 2024)
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Im ersten Semester habe ich die folgenden Fächer belegt:
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- [Analysis I](https://eth.jirayuruh.ch/hs24/analysis/)
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- [Digitaltechnik](https://eth.jirayuruh.ch/hs24/digitech/)
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- [Lineare Algebra](https://eth.jirayuruh.ch/hs24/linalg/)
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- [Netzwerke und Schaltungen I](https://eth.jirayuruh.ch/hs24/nus/)
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- [Technische Mechanik](https://eth.jirayuruh.ch/hs24/techmech/)
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Weitere Information findet ihr im VZZ oder auf eurer Moodle Seite.
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## DISCLAIMER!!!
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Ich übernehme keine Haftung über mögliche Fehler in den Notizen (Es hat sicherlich ein paar drinnen, da ich teils Sätze umformuliert habe und meine Persönliche Notizen beigefügt habe!).
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Fehler können per Discord, WhatsApp, Mail und Moodle gemeldet werden. Sie sind in der Fehlerliste ersichtlich.
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Made by JirR02 in Switzerland 🇨🇭
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hs24/analysis_I/.DS_Store
vendored
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/.DS_Store
vendored
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Binary file not shown.
@ -0,0 +1 @@
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\chapter{Differentialrechnung im $\mathbb{R}^{n}$}
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1
hs24/analysis_I/II_integration/II_integration.tex
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1
hs24/analysis_I/II_integration/II_integration.tex
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@ -0,0 +1 @@
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\chapter{Mehrdimensionale Riemann-integration, Satz von Fubini über wiederholte Integration, Jordan-Mass, Substitutionsregel für mehrdimensionale Integrale}
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@ -0,0 +1 @@
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\chapter{Topologie, Stetigkeit}
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@ -0,0 +1,7 @@
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\chapter{Differentialrechnung auf $\mathbb{R}$}
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Intuitiv ist die Ableitung einer Funktion $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ an einer Stelle $x_0 \in \mathbb{R}$ die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ durch den Punkt $x_0, f(x_0)$. Genauer gesagt, ist die Ableitung der Grenzwert der Steigungen der Sekanten durch $(x_0, f(x_0)$ und $(x, f(x))$ für $x$ gegen $x_0$. Ableitungen sind allgegenwärtig in den Wissenschaften und im Ingenieurwesen. In der Mechanik ist die Geschwindigkeit eines Teilchens zum Beispiel die Ableitung seines Ortes als eine Funktion der Zeit. Als ein anderes Beispiel ist in einem elektrischen Schwingkreis die Stromstärke gleich der Ableitung der Ladung des Kondensators als eine Funktion der Zeit.
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\input{differential_differentiationsregel.tex}
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\input{mittelwertsatz_folgerungen.tex}
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@ -0,0 +1,37 @@
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\section{Differential und Differentiationsregeln}
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\nt{
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\[
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dx \text{ und } dy \text{ sind Differentialen. } \Rightarrow f'(x_0) = \frac{dy}{dx}, dx \text{ nennt man Differentialquotient.}
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.\]
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}
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\nt{
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Je kleiner $\Delta x$ ist, desto näher kommt es an den Wert von $\Delta y$ für:
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\[
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\Delta y \equiv f'(x_0) \Delta x
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.\]
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% TODO: Add figure
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}
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\exa{}{
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\[
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f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) := x ^2, f'(x_0 = 0) = 0
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.\]
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%TODO: Add figure
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}
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%TODO: Add proof for Summen-, Produkt- und Quotioentenregel
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%TODO: Complete Proof
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%TODO: Complete Proof
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\nt{
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Die Menge $U$ ist offen, da $f$ stetig ist. Dies folgt aus dem Fakt, da das Urbild $f ^{-1}(V)$ offen ist $\forall V$ offen.
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}
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%TODO: Add Examples and reference Exercises
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@ -0,0 +1,28 @@
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\section{Mittelwertsatz und Folgerungen}
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\nt{
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Für
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\[
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f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
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.\]
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gilt, dass $a$ die Steigung der Sekante ist.
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%TODO: Add fig
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}
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\nt{
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$\Rightarrow$ Die Funktion hat genau eine Lösung, die auch nach $f(0) = y_0$ erfüllt, mit $y_0 \in \mathbb{R}$ vorgegeben, nämlich $f(x) = ye ^{cx}$.
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}
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\exa{}{
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\[
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\frac{x ^{n}}{e ^{(x ^{n})}} ?
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.\]
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\[
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\frac{n \cdot x ^{n-1}}{e ^{(x ^{n})}} = \frac{e ^{x} - 1}{x} = \text{exp}(0) = 1
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.\]
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}
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% TODO: Add Proof
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1
hs24/analysis_I/I_integration/I_integration.tex
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1
hs24/analysis_I/I_integration/I_integration.tex
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@ -0,0 +1 @@
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\chapter{Integration}
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@ -0,0 +1,3 @@
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\chapter{Stetigkeit, Topologie}
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\newpage
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8
hs24/analysis_I/analysis_I.tex
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8
hs24/analysis_I/analysis_I.tex
Normal file
@ -0,0 +1,8 @@
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\part{Analysis I}
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\import{./grundlagen}{grundlagen.tex}
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\import{./zahlen_und_vektoren}{zahlen_und_vektoren.tex}
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\import{./folgen_und_reihen}{folgen_und_reihen.tex}
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\import{./I_stetigkeit_topologie}{I_stetigkeit_topologie.tex}
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\import{./I_differentialrechnung_r}{I_differentialrechnung_r.tex}
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|
\import{./I_integration}{I_integration.tex}
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8
hs24/analysis_I/analysis_II.tex
Normal file
8
hs24/analysis_I/analysis_II.tex
Normal file
@ -0,0 +1,8 @@
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|
\part{Analysis II}
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\import{./gdg}{gdg.tex}
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\import{./II_stetigkeit_topologie}{II_stetigkeit_topologie.tex}
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\import{./II_differentialrechnung_r}{II_differentialrechnung_r.tex}
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\import{./umkehrsatz}{umkehrsatz.tex}
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\import{./II_integration}{II_integration.tex}
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|
\import{./vektorfeld}{vektorfeld.tex}
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11
hs24/analysis_I/disclaimer.tex
Normal file
11
hs24/analysis_I/disclaimer.tex
Normal file
@ -0,0 +1,11 @@
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\section*{DISCLAIMER}
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Diese Notizen wurden verfasst auf Basis der Vorlesung Analysis I (HS24) von F. Ziltener und dem Skript "Analysis für Informatik" von Michael Struwe.
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Ich übernehme keine Haftung über mögliche Fehler in den Notizen (Es hat sicherlich ein paar drinnen, da ich teils Sätze umformuliert habe und meine Persönliche Notizen beigefügt habe!).
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Alle Grafiken wurden eigenhändig mit Manim \cite{MCD2024} generiert.
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Fehler können per Mail an \href{mailto:jirruh@ethz.ch}{jirruh@ethz.ch} gemeldet werden.
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BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_1.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_1.png
Normal file
Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 97 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_10.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_10.png
Normal file
Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 176 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_11.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_11.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 295 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_12.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_12.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 125 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_13.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_13.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 118 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_14.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_14.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 140 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_15.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_15.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 158 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_2.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_2.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 101 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_3.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_3.png
Normal file
Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 144 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_4.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_4.png
Normal file
Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 91 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_5.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_5.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 102 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_6.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_6.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 95 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_7.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_7.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 140 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_8.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_8.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 186 KiB |
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_9.png
Normal file
BIN
hs24/analysis_I/fig/Fig_9.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 317 KiB |
2
hs24/analysis_I/folgen_und_reihen/folgen_und_reihen.tex
Normal file
2
hs24/analysis_I/folgen_und_reihen/folgen_und_reihen.tex
Normal file
@ -0,0 +1,2 @@
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|
\chapter{Folgen und Reihen}
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1
hs24/analysis_I/gdg/gdg.tex
Normal file
1
hs24/analysis_I/gdg/gdg.tex
Normal file
@ -0,0 +1 @@
|
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|
\chapter{Gewöhnliche Differentialgleichungen, Anwendung auf die Mechanik und die Elektrotechnik}
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||||||
3
hs24/analysis_I/grundlagen/grundlagen.tex
Normal file
3
hs24/analysis_I/grundlagen/grundlagen.tex
Normal file
@ -0,0 +1,3 @@
|
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|
\chapter{Grundlagen: Logik, Mengen, Funktionen}
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|
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|
\input{logik.tex}
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54
hs24/analysis_I/grundlagen/logik.tex
Normal file
54
hs24/analysis_I/grundlagen/logik.tex
Normal file
@ -0,0 +1,54 @@
|
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|
\section{Logik}
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In der Logik werden (mathematische) Aussagen untersucht. Eine Aussage ist eine Äusserung, die entweder wahr oder falsch ist. \cite{Ziltner2024} (Wahr oder Falsch).
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\\
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In der mathematischen Logik gelten die folgenden Sätze.
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Satz vom ausgeschlossenen Wiederspruch:} Eine Aussage ist nicht sowohl war als auch falsch.
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\item \textbf{Satz vom ausgeschlossenen Dritten:} Jede Aussage ist wahr oder falsch.
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\end{itemize} \cite{Ziltner2024}
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\nt{
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|
Es gibt gewisse Aussagen, als logische Aussage gelten könnte aber nicht zulässig ist. Solche Aussagen sind meisten rückbezügliche Äusserungen und sind deswegen keine sinnvollen Aussagen. (Siege Lügner-Paradox)
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}
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Aussagen können verneint und miteinander verknüpft werden.
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\begin{center}
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|
\begin{tabular}{| c | c | c |}
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|
Notation & Bedeutung & Bezeichnung \\
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\hline
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T & wahr & \\
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||||||
|
F & falsch & \\
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|
$\neg A$ & nicht A & Negation \\
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||||||
|
\end{tabular}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
|
||||||
|
Für Verknüpfungen verwenden wir folgende Notationen.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| c | c | c |}
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|
Notation & Bedeutung & Bezeichnung \\
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|
\hline
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||||||
|
$A \land B$ & $A$ und $B$ & Konjunktion \\
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$A \lor B$ & $A$ oder $B$ & inklusive Disjunktion \\
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$A \dot{\lor} B$ & entweder $A$ oder $B$ & exklusive Disjunktion \\
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|
$A \Rightarrow B$ & wenn $A$, dann $B$ & Implikation \\
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|
$A \Leftrightarrow B$ & genau dann $A$, wenn $B$ & Äquivalenz \\
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||||||
|
\end{tabular}
|
||||||
|
\end{center}
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||||||
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|
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|
Die Wahrheitstablelle der vorher erwähnten Verknüpfungen sind wie folgt.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c |}
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|
$A$ & $B$ & $A \land B$ & $A \lor B$ & $A \dot{\lor} B$ & $A \Rightarrow B$ & $A \Leftrightarrow B$ \\
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|
\hline
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||||||
|
F & F & F & F & F & T & T \\
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|
F & T & F & T & T & T & F \\
|
||||||
|
T & F & F & T & T & F & F \\
|
||||||
|
T & T & T & T & F & T & T \\
|
||||||
|
\end{tabular}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
178
hs24/analysis_I/letterfonts.tex
Normal file
178
hs24/analysis_I/letterfonts.tex
Normal file
@ -0,0 +1,178 @@
|
|||||||
|
% Things Lie
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|
\newcommand{\kb}{\mathfrak b}
|
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|
\newcommand{\kg}{\mathfrak g}
|
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|
\newcommand{\kh}{\mathfrak h}
|
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|
\newcommand{\kn}{\mathfrak n}
|
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|
\newcommand{\ku}{\mathfrak u}
|
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|
\newcommand{\kz}{\mathfrak z}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} % Ext functor
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|
\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} % Tor functor
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|
\newcommand{\gl}{\opname{\mathfrak{gl}}} % frak gl group
|
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|
\renewcommand{\sl}{\opname{\mathfrak{sl}}} % frak sl group chktex 6
|
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|
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|
% More script letters etc.
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|
\newcommand{\SA}{\mathcal A}
|
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|
\newcommand{\SB}{\mathcal B}
|
||||||
|
\newcommand{\SC}{\mathcal C}
|
||||||
|
\newcommand{\SF}{\mathcal F}
|
||||||
|
\newcommand{\SG}{\mathcal G}
|
||||||
|
\newcommand{\SH}{\mathcal H}
|
||||||
|
\newcommand{\OO}{\mathcal O}
|
||||||
|
|
||||||
|
\newcommand{\SCA}{\mathscr A}
|
||||||
|
\newcommand{\SCB}{\mathscr B}
|
||||||
|
\newcommand{\SCC}{\mathscr C}
|
||||||
|
\newcommand{\SCD}{\mathscr D}
|
||||||
|
\newcommand{\SCE}{\mathscr E}
|
||||||
|
\newcommand{\SCF}{\mathscr F}
|
||||||
|
\newcommand{\SCG}{\mathscr G}
|
||||||
|
\newcommand{\SCH}{\mathscr H}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Mathfrak primes
|
||||||
|
\newcommand{\km}{\mathfrak m}
|
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|
\newcommand{\kp}{\mathfrak p}
|
||||||
|
\newcommand{\kq}{\mathfrak q}
|
||||||
|
|
||||||
|
% number sets
|
||||||
|
\newcommand{\RR}[1][]{\ensuremath{\ifstrempty{#1}{\mathbb{R}}{\mathbb{R}^{#1}}}}
|
||||||
|
\newcommand{\NN}[1][]{\ensuremath{\ifstrempty{#1}{\mathbb{N}}{\mathbb{N}^{#1}}}}
|
||||||
|
\newcommand{\ZZ}[1][]{\ensuremath{\ifstrempty{#1}{\mathbb{Z}}{\mathbb{Z}^{#1}}}}
|
||||||
|
\newcommand{\QQ}[1][]{\ensuremath{\ifstrempty{#1}{\mathbb{Q}}{\mathbb{Q}^{#1}}}}
|
||||||
|
\newcommand{\CC}[1][]{\ensuremath{\ifstrempty{#1}{\mathbb{C}}{\mathbb{C}^{#1}}}}
|
||||||
|
\newcommand{\PP}[1][]{\ensuremath{\ifstrempty{#1}{\mathbb{P}}{\mathbb{P}^{#1}}}}
|
||||||
|
\newcommand{\HH}[1][]{\ensuremath{\ifstrempty{#1}{\mathbb{H}}{\mathbb{H}^{#1}}}}
|
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88
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88
hs24/analysis_I/macros.tex
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@ -0,0 +1,88 @@
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%From M275 "Topology" at SJSU
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%From the USAMO .tex files
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\DeclareMathOperator{\Img}{Im} % Image
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11
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@ -0,0 +1,11 @@
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\bibitem[{The Manim Community Developers}, 2024]{MCD2024}
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{The Manim Community Developers} (2024).
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\newblock {Manim - Mathematical Animation Framework}.
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\bibitem[Ziltner, 2024]{Ziltner2024}
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|
Ziltner, Prof.~Dr., F. (2024).
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\newblock {Notizen zur Vorlesung Analysis 1 für ITET und RW, Herbstsemester 2024}.
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\end{thebibliography}
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BIN
hs24/analysis_I/notizen_analysis_ruh_jirayu.pdf
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Binary file not shown.
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43
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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% BIBLIOGRAPHY
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\addcontentsline{toc}{chapter}{References}
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\bibliographystyle{apalike}
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hs24/analysis_I/preamble.tex
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hs24/analysis_I/preamble.tex
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\usepackage{comment} % enables the use of multi-line comments (\ifx \fi)
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% SELF MADE COLORS
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||||||
|
\definecolor{mytheoremfr}{HTML}{00007B}
|
||||||
|
\definecolor{mylenmabg}{HTML}{FFFAF8}
|
||||||
|
\definecolor{mylenmafr}{HTML}{983b0f}
|
||||||
|
\definecolor{mypropbg}{HTML}{f2fbfc}
|
||||||
|
\definecolor{mypropfr}{HTML}{191971}
|
||||||
|
\definecolor{myexamplebg}{HTML}{F2FBF8}
|
||||||
|
\definecolor{myexamplefr}{HTML}{88D6D1}
|
||||||
|
\definecolor{myexampleti}{HTML}{2A7F7F}
|
||||||
|
\definecolor{mydefinitbg}{HTML}{E5E5FF}
|
||||||
|
\definecolor{mydefinitfr}{HTML}{3F3FA3}
|
||||||
|
\definecolor{notesgreen}{RGB}{0,162,0}
|
||||||
|
\definecolor{myp}{RGB}{197, 92, 212}
|
||||||
|
\definecolor{mygr}{HTML}{2C3338}
|
||||||
|
\definecolor{myred}{RGB}{127,0,0}
|
||||||
|
\definecolor{myyellow}{RGB}{169,121,69}
|
||||||
|
\definecolor{myexercisebg}{HTML}{F2FBF8}
|
||||||
|
\definecolor{myexercisefg}{HTML}{88D6D1}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
|
% TCOLORBOX SETUPS
|
||||||
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
|
|
||||||
|
\setlength{\parindent}{0cm}
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
% THEOREM BOX
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=section]{Theorem}{\theorytitle}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
colback = mytheorembg,
|
||||||
|
frame hidden,
|
||||||
|
boxrule = 0sp,
|
||||||
|
borderline west = {2pt}{0pt}{mytheoremfr},
|
||||||
|
sharp corners,
|
||||||
|
detach title,
|
||||||
|
before upper = \tcbtitle\par\smallskip,
|
||||||
|
coltitle = mytheoremfr,
|
||||||
|
fonttitle = \bfseries\sffamily,
|
||||||
|
description font = \mdseries,
|
||||||
|
separator sign none,
|
||||||
|
segmentation style={solid, mytheoremfr},
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{th}
|
||||||
|
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=chapter]{theorem}{\theorytitle}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
colback = mytheorembg,
|
||||||
|
frame hidden,
|
||||||
|
boxrule = 0sp,
|
||||||
|
borderline west = {2pt}{0pt}{mytheoremfr},
|
||||||
|
sharp corners,
|
||||||
|
detach title,
|
||||||
|
before upper = \tcbtitle\par\smallskip,
|
||||||
|
coltitle = mytheoremfr,
|
||||||
|
fonttitle = \bfseries\sffamily,
|
||||||
|
description font = \mdseries,
|
||||||
|
separator sign none,
|
||||||
|
segmentation style={solid, mytheoremfr},
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{th}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcolorbox{Theoremcon}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced
|
||||||
|
,breakable
|
||||||
|
,colback = mytheorembg
|
||||||
|
,frame hidden
|
||||||
|
,boxrule = 0sp
|
||||||
|
,borderline west = {2pt}{0pt}{mytheoremfr}
|
||||||
|
,sharp corners
|
||||||
|
,description font = \mdseries
|
||||||
|
,separator sign none
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
% Corollery
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=section]{Corollary}{\corollarytitle}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced
|
||||||
|
,breakable
|
||||||
|
,colback = myp!10
|
||||||
|
,frame hidden
|
||||||
|
,boxrule = 0sp
|
||||||
|
,borderline west = {2pt}{0pt}{myp!85!black}
|
||||||
|
,sharp corners
|
||||||
|
,detach title
|
||||||
|
,before upper = \tcbtitle\par\smallskip
|
||||||
|
,coltitle = myp!85!black
|
||||||
|
,fonttitle = \bfseries\sffamily
|
||||||
|
,description font = \mdseries
|
||||||
|
,separator sign none
|
||||||
|
,segmentation style={solid, myp!85!black}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{th}
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=chapter]{corollary}{\corollarytitle}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced
|
||||||
|
,breakable
|
||||||
|
,colback = myp!10
|
||||||
|
,frame hidden
|
||||||
|
,boxrule = 0sp
|
||||||
|
,borderline west = {2pt}{0pt}{myp!85!black}
|
||||||
|
,sharp corners
|
||||||
|
,detach title
|
||||||
|
,before upper = \tcbtitle\par\smallskip
|
||||||
|
,coltitle = myp!85!black
|
||||||
|
,fonttitle = \bfseries\sffamily
|
||||||
|
,description font = \mdseries
|
||||||
|
,separator sign none
|
||||||
|
,segmentation style={solid, myp!85!black}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{th}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
% LENMA
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=section]{Lenma}{Lenma}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
colback = mylenmabg,
|
||||||
|
frame hidden,
|
||||||
|
boxrule = 0sp,
|
||||||
|
borderline west = {2pt}{0pt}{mylenmafr},
|
||||||
|
sharp corners,
|
||||||
|
detach title,
|
||||||
|
before upper = \tcbtitle\par\smallskip,
|
||||||
|
coltitle = mylenmafr,
|
||||||
|
fonttitle = \bfseries\sffamily,
|
||||||
|
description font = \mdseries,
|
||||||
|
separator sign none,
|
||||||
|
segmentation style={solid, mylenmafr},
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{th}
|
||||||
|
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=chapter]{lenma}{Lenma}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
colback = mylenmabg,
|
||||||
|
frame hidden,
|
||||||
|
boxrule = 0sp,
|
||||||
|
borderline west = {2pt}{0pt}{mylenmafr},
|
||||||
|
sharp corners,
|
||||||
|
detach title,
|
||||||
|
before upper = \tcbtitle\par\smallskip,
|
||||||
|
coltitle = mylenmafr,
|
||||||
|
fonttitle = \bfseries\sffamily,
|
||||||
|
description font = \mdseries,
|
||||||
|
separator sign none,
|
||||||
|
segmentation style={solid, mylenmafr},
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{th}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
% PROPOSITION
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=section]{Prop}{\proposaltitle}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
colback = mypropbg,
|
||||||
|
frame hidden,
|
||||||
|
boxrule = 0sp,
|
||||||
|
borderline west = {2pt}{0pt}{mypropfr},
|
||||||
|
sharp corners,
|
||||||
|
detach title,
|
||||||
|
before upper = \tcbtitle\par\smallskip,
|
||||||
|
coltitle = mypropfr,
|
||||||
|
fonttitle = \bfseries\sffamily,
|
||||||
|
description font = \mdseries,
|
||||||
|
separator sign none,
|
||||||
|
segmentation style={solid, mypropfr},
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{th}
|
||||||
|
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=chapter]{prop}{\proposaltitle}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
colback = mypropbg,
|
||||||
|
frame hidden,
|
||||||
|
boxrule = 0sp,
|
||||||
|
borderline west = {2pt}{0pt}{mypropfr},
|
||||||
|
sharp corners,
|
||||||
|
detach title,
|
||||||
|
before upper = \tcbtitle\par\smallskip,
|
||||||
|
coltitle = mypropfr,
|
||||||
|
fonttitle = \bfseries\sffamily,
|
||||||
|
description font = \mdseries,
|
||||||
|
separator sign none,
|
||||||
|
segmentation style={solid, mypropfr},
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{th}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
% CLAIM
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=section]{claim}{\claimtitle}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced
|
||||||
|
,breakable
|
||||||
|
,colback = myg!10
|
||||||
|
,frame hidden
|
||||||
|
,boxrule = 0sp
|
||||||
|
,borderline west = {2pt}{0pt}{myg}
|
||||||
|
,sharp corners
|
||||||
|
,detach title
|
||||||
|
,before upper = \tcbtitle\par\smallskip
|
||||||
|
,coltitle = myg!85!black
|
||||||
|
,fonttitle = \bfseries\sffamily
|
||||||
|
,description font = \mdseries
|
||||||
|
,separator sign none
|
||||||
|
,segmentation style={solid, myg!85!black}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{th}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
% Exercise
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=section]{Exercise}{\exercisetitle}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
colback = myexercisebg,
|
||||||
|
frame hidden,
|
||||||
|
boxrule = 0sp,
|
||||||
|
borderline west = {2pt}{0pt}{myexercisefg},
|
||||||
|
sharp corners,
|
||||||
|
detach title,
|
||||||
|
before upper = \tcbtitle\par\smallskip,
|
||||||
|
coltitle = myexercisefg,
|
||||||
|
fonttitle = \bfseries\sffamily,
|
||||||
|
description font = \mdseries,
|
||||||
|
separator sign none,
|
||||||
|
segmentation style={solid, myexercisefg},
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{th}
|
||||||
|
|
||||||
|
\tcbuselibrary{theorems,skins,hooks}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=chapter]{exercise}{\exercisetitle}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
enhanced,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
colback = myexercisebg,
|
||||||
|
frame hidden,
|
||||||
|
boxrule = 0sp,
|
||||||
|
borderline west = {2pt}{0pt}{myexercisefg},
|
||||||
|
sharp corners,
|
||||||
|
detach title,
|
||||||
|
before upper = \tcbtitle\par\smallskip,
|
||||||
|
coltitle = myexercisefg,
|
||||||
|
fonttitle = \bfseries\sffamily,
|
||||||
|
description font = \mdseries,
|
||||||
|
separator sign none,
|
||||||
|
segmentation style={solid, myexercisefg},
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{th}
|
||||||
|
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
% EXAMPLE BOX
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=section]{Example}{\exampletitle}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
colback = myexamplebg
|
||||||
|
,breakable
|
||||||
|
,colframe = myexamplefr
|
||||||
|
,coltitle = myexampleti
|
||||||
|
,boxrule = 1pt
|
||||||
|
,sharp corners
|
||||||
|
,detach title
|
||||||
|
,before upper=\tcbtitle\par\smallskip
|
||||||
|
,fonttitle = \bfseries
|
||||||
|
,description font = \mdseries
|
||||||
|
,separator sign none
|
||||||
|
,description delimiters parenthesis
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{ex}
|
||||||
|
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=chapter]{example}{\exampletitle}
|
||||||
|
{%
|
||||||
|
colback = myexamplebg
|
||||||
|
,breakable
|
||||||
|
,colframe = myexamplefr
|
||||||
|
,coltitle = myexampleti
|
||||||
|
,boxrule = 1pt
|
||||||
|
,sharp corners
|
||||||
|
,detach title
|
||||||
|
,before upper=\tcbtitle\par\smallskip
|
||||||
|
,fonttitle = \bfseries
|
||||||
|
,description font = \mdseries
|
||||||
|
,separator sign none
|
||||||
|
,description delimiters parenthesis
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{ex}
|
||||||
|
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
% DEFINITION BOX
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=section]{Definition}{Definition}{enhanced,
|
||||||
|
before skip=2mm,after skip=2mm, colback=red!5,colframe=red!80!black,boxrule=0.5mm,
|
||||||
|
attach boxed title to top left={xshift=1cm,yshift*=1mm-\tcboxedtitleheight}, varwidth boxed title*=-3cm,
|
||||||
|
boxed title style={frame code={
|
||||||
|
\path[fill=tcbcolback]
|
||||||
|
([yshift=-1mm,xshift=-1mm]frame.north west)
|
||||||
|
arc[start angle=0,end angle=180,radius=1mm]
|
||||||
|
([yshift=-1mm,xshift=1mm]frame.north east)
|
||||||
|
arc[start angle=180,end angle=0,radius=1mm];
|
||||||
|
\path[left color=tcbcolback!60!black,right color=tcbcolback!60!black,
|
||||||
|
middle color=tcbcolback!80!black]
|
||||||
|
([xshift=-2mm]frame.north west) -- ([xshift=2mm]frame.north east)
|
||||||
|
[rounded corners=1mm]-- ([xshift=1mm,yshift=-1mm]frame.north east)
|
||||||
|
-- (frame.south east) -- (frame.south west)
|
||||||
|
-- ([xshift=-1mm,yshift=-1mm]frame.north west)
|
||||||
|
[sharp corners]-- cycle;
|
||||||
|
},interior engine=empty,
|
||||||
|
},
|
||||||
|
fonttitle=\bfseries,
|
||||||
|
title={#2},#1}{def}
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=chapter]{definition}{Definition}{enhanced,
|
||||||
|
before skip=2mm,after skip=2mm, colback=red!5,colframe=red!80!black,boxrule=0.5mm,
|
||||||
|
attach boxed title to top left={xshift=1cm,yshift*=1mm-\tcboxedtitleheight}, varwidth boxed title*=-3cm,
|
||||||
|
boxed title style={frame code={
|
||||||
|
\path[fill=tcbcolback]
|
||||||
|
([yshift=-1mm,xshift=-1mm]frame.north west)
|
||||||
|
arc[start angle=0,end angle=180,radius=1mm]
|
||||||
|
([yshift=-1mm,xshift=1mm]frame.north east)
|
||||||
|
arc[start angle=180,end angle=0,radius=1mm];
|
||||||
|
\path[left color=tcbcolback!60!black,right color=tcbcolback!60!black,
|
||||||
|
middle color=tcbcolback!80!black]
|
||||||
|
([xshift=-2mm]frame.north west) -- ([xshift=2mm]frame.north east)
|
||||||
|
[rounded corners=1mm]-- ([xshift=1mm,yshift=-1mm]frame.north east)
|
||||||
|
-- (frame.south east) -- (frame.south west)
|
||||||
|
-- ([xshift=-1mm,yshift=-1mm]frame.north west)
|
||||||
|
[sharp corners]-- cycle;
|
||||||
|
},interior engine=empty,
|
||||||
|
},
|
||||||
|
fonttitle=\bfseries,
|
||||||
|
title={#2},#1}{def}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
% Solution BOX
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
|
||||||
|
\makeatletter
|
||||||
|
\newtcbtheorem{question}{\questiontitle}{enhanced,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
colback=white,
|
||||||
|
colframe=myb!80!black,
|
||||||
|
attach boxed title to top left={yshift*=-\tcboxedtitleheight},
|
||||||
|
fonttitle=\bfseries,
|
||||||
|
title={#2},
|
||||||
|
boxed title size=title,
|
||||||
|
boxed title style={%
|
||||||
|
sharp corners,
|
||||||
|
rounded corners=northwest,
|
||||||
|
colback=tcbcolframe,
|
||||||
|
boxrule=0pt,
|
||||||
|
},
|
||||||
|
underlay boxed title={%
|
||||||
|
\path[fill=tcbcolframe] (title.south west)--(title.south east)
|
||||||
|
to[out=0, in=180] ([xshift=5mm]title.east)--
|
||||||
|
(title.center-|frame.east)
|
||||||
|
[rounded corners=\kvtcb@arc] |-
|
||||||
|
(frame.north) -| cycle;
|
||||||
|
},
|
||||||
|
#1
|
||||||
|
}{def}
|
||||||
|
\makeatother
|
||||||
|
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
% SOLUTION BOX
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
|
||||||
|
\makeatletter
|
||||||
|
\newtcolorbox{solution}{enhanced,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
colback=white,
|
||||||
|
colframe=myg!80!black,
|
||||||
|
attach boxed title to top left={yshift*=-\tcboxedtitleheight},
|
||||||
|
title=Solution,
|
||||||
|
boxed title size=title,
|
||||||
|
boxed title style={%
|
||||||
|
sharp corners,
|
||||||
|
rounded corners=northwest,
|
||||||
|
colback=tcbcolframe,
|
||||||
|
boxrule=0pt,
|
||||||
|
},
|
||||||
|
underlay boxed title={%
|
||||||
|
\path[fill=tcbcolframe] (title.south west)--(title.south east)
|
||||||
|
to[out=0, in=180] ([xshift=5mm]title.east)--
|
||||||
|
(title.center-|frame.east)
|
||||||
|
[rounded corners=\kvtcb@arc] |-
|
||||||
|
(frame.north) -| cycle;
|
||||||
|
},
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\makeatother
|
||||||
|
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
% Question BOX
|
||||||
|
%================================
|
||||||
|
|
||||||
|
\makeatletter
|
||||||
|
\newtcbtheorem{qstion}{\questiontitle}{enhanced,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
colback=white,
|
||||||
|
colframe=mygr,
|
||||||
|
attach boxed title to top left={yshift*=-\tcboxedtitleheight},
|
||||||
|
fonttitle=\bfseries,
|
||||||
|
title={#2},
|
||||||
|
boxed title size=title,
|
||||||
|
boxed title style={%
|
||||||
|
sharp corners,
|
||||||
|
rounded corners=northwest,
|
||||||
|
colback=tcbcolframe,
|
||||||
|
boxrule=0pt,
|
||||||
|
},
|
||||||
|
underlay boxed title={%
|
||||||
|
\path[fill=tcbcolframe] (title.south west)--(title.south east)
|
||||||
|
to[out=0, in=180] ([xshift=5mm]title.east)--
|
||||||
|
(title.center-|frame.east)
|
||||||
|
[rounded corners=\kvtcb@arc] |-
|
||||||
|
(frame.north) -| cycle;
|
||||||
|
},
|
||||||
|
#1
|
||||||
|
}{def}
|
||||||
|
\makeatother
|
||||||
|
|
||||||
|
\newtcbtheorem[number within=chapter]{wconc}{\wrongctitle}{
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
enhanced,
|
||||||
|
colback=white,
|
||||||
|
colframe=myr,
|
||||||
|
arc=0pt,
|
||||||
|
outer arc=0pt,
|
||||||
|
fonttitle=\bfseries\sffamily\large,
|
||||||
|
colbacktitle=myr,
|
||||||
|
attach boxed title to top left={},
|
||||||
|
boxed title style={
|
||||||
|
enhanced,
|
||||||
|
skin=enhancedfirst jigsaw,
|
||||||
|
arc=3pt,
|
||||||
|
bottom=0pt,
|
||||||
|
interior style={fill=myr}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
#1
|
||||||
|
}{def}
|
||||||
|
|
||||||
|
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%================================
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|
% NOTE BOX
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%================================
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||||||
|
\usetikzlibrary{arrows,calc,shadows.blur}
|
||||||
|
\tcbuselibrary{skins}
|
||||||
|
\newtcolorbox{note}[1][]{%
|
||||||
|
enhanced jigsaw,
|
||||||
|
colback=gray!20!white,%
|
||||||
|
colframe=gray!80!black,
|
||||||
|
size=small,
|
||||||
|
boxrule=1pt,
|
||||||
|
title=\textbf{Bemerkung:-},
|
||||||
|
halign title=flush center,
|
||||||
|
coltitle=black,
|
||||||
|
breakable,
|
||||||
|
drop shadow=black!50!white,
|
||||||
|
attach boxed title to top left={xshift=1cm,yshift=-\tcboxedtitleheight/2,yshifttext=-\tcboxedtitleheight/2},
|
||||||
|
minipage boxed title=2.5cm,
|
||||||
|
boxed title style={%
|
||||||
|
colback=white,
|
||||||
|
size=fbox,
|
||||||
|
boxrule=1pt,
|
||||||
|
boxsep=2pt,
|
||||||
|
underlay={%
|
||||||
|
\coordinate (dotA) at ($(interior.west) + (-0.5pt,0)$);
|
||||||
|
\coordinate (dotB) at ($(interior.east) + (0.5pt,0)$);
|
||||||
|
\begin{scope}
|
||||||
|
\clip (interior.north west) rectangle ([xshift=3ex]interior.east);
|
||||||
|
\filldraw [white, blur shadow={shadow opacity=60, shadow yshift=-.75ex}, rounded corners=2pt] (interior.north west) rectangle (interior.south east);
|
||||||
|
\end{scope}
|
||||||
|
\begin{scope}[gray!80!black]
|
||||||
|
\fill (dotA) circle (2pt);
|
||||||
|
\fill (dotB) circle (2pt);
|
||||||
|
\end{scope}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
},
|
||||||
|
#1,
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
|
% SELF MADE COMMANDS
|
||||||
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\newcommand{\thm}[2]{\begin{Theorem}{#1}{}#2\end{Theorem}}
|
||||||
|
\newcommand{\cor}[2]{\begin{Corollary}{#1}{}#2\end{Corollary}}
|
||||||
|
\newcommand{\mlenma}[2]{\begin{Lenma}{#1}{}#2\end{Lenma}}
|
||||||
|
\newcommand{\mprop}[2]{\begin{Prop}{#1}{}#2\end{Prop}}
|
||||||
|
\newcommand{\clm}[3]{\begin{claim}{#1}{#2}#3\end{claim}}
|
||||||
|
\newcommand{\wc}[2]{\begin{wconc}{#1}{}\setlength{\parindent}{1cm}#2\end{wconc}}
|
||||||
|
\newcommand{\thmcon}[1]{\begin{Theoremcon}{#1}\end{Theoremcon}}
|
||||||
|
\newcommand{\exe}[2]{\begin{Exercise}{#1}{}#2\end{Exercise}}
|
||||||
|
\newcommand{\exa}[2]{\begin{Example}{#1}{}#2\end{Example}}
|
||||||
|
\newcommand{\dfn}[2]{\begin{Definition}[colbacktitle=red!75!black]{#1}{}#2\end{Definition}}
|
||||||
|
\newcommand{\dfnc}[2]{\begin{definition}[colbacktitle=red!75!black]{#1}{}#2\end{definition}}
|
||||||
|
\newcommand{\qs}[2]{\begin{question}{#1}{}#2\end{question}}
|
||||||
|
\newcommand{\pf}[2]{\begin{myproof}[#1]#2\end{myproof}}
|
||||||
|
\newcommand{\nt}[1]{\begin{note}#1\end{note}}
|
||||||
|
|
||||||
|
\newcommand*\circled[1]{\tikz[baseline=(char.base)]{
|
||||||
|
Wrong Concept \node[shape=circle,draw,inner sep=1pt] (char) {#1};}}
|
||||||
|
\newcommand\getcurrentref[1]{%
|
||||||
|
\ifnumequal{\value{#1}}{0}
|
||||||
|
{??}
|
||||||
|
{\the\value{#1}}%
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\newcommand{\getCurrentSectionNumber}{\getcurrentref{section}}
|
||||||
|
\newenvironment{myproof}[1][\proofname]{%
|
||||||
|
\proof[\bfseries #1: ]%
|
||||||
|
}{\endproof}
|
||||||
|
|
||||||
|
\newcommand{\mclm}[2]{\begin{myclaim}[#1]#2\end{myclaim}}
|
||||||
|
\newenvironment{myclaim}[1][\claimname]{\proof[\bfseries #1: ]}{}
|
||||||
|
|
||||||
|
\newcounter{mylabelcounter}
|
||||||
|
|
||||||
|
\makeatletter
|
||||||
|
\newcommand{\setword}[2]{%
|
||||||
|
\phantomsection
|
||||||
|
#1\def\@currentlabel{\unexpanded{#1}}\label{#2}%
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\makeatother
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\tikzset{
|
||||||
|
symbol/.style={
|
||||||
|
draw=none,
|
||||||
|
every to/.append style={
|
||||||
|
edge node={node [sloped, allow upside down, auto=false]{$#1$}}}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
% deliminators
|
||||||
|
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
|
||||||
|
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
|
||||||
|
|
||||||
|
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
|
||||||
|
\DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor}
|
||||||
|
\DeclarePairedDelimiter{\round}{\lfloor}{\rceil}
|
||||||
|
|
||||||
|
\newsavebox\diffdbox
|
||||||
|
\newcommand{\slantedromand}{{\mathpalette\makesl{d}}}
|
||||||
|
\newcommand{\makesl}[2]{%
|
||||||
|
\begingroup
|
||||||
|
\sbox{\diffdbox}{$\mathsurround=0pt#1\mathrm{#2}$}%
|
||||||
|
\pdfsave
|
||||||
|
\pdfsetmatrix{1 0 0.2 1}%
|
||||||
|
\rlap{\usebox{\diffdbox}}%
|
||||||
|
\pdfrestore
|
||||||
|
\hskip\wd\diffdbox
|
||||||
|
\endgroup
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\newcommand{\dd}[1][]{\ensuremath{\mathop{}\!\ifstrempty{#1}{%
|
||||||
|
\slantedromand\@ifnextchar^{\hspace{0.2ex}}{\hspace{0.1ex}}}%
|
||||||
|
{\slantedromand\hspace{0.2ex}^{#1}}}}
|
||||||
|
\ProvideDocumentCommand\dv{o m g}{%
|
||||||
|
\ensuremath{%
|
||||||
|
\IfValueTF{#3}{%
|
||||||
|
\IfNoValueTF{#1}{%
|
||||||
|
\frac{\dd #2}{\dd #3}%
|
||||||
|
}{%
|
||||||
|
\frac{\dd^{#1} #2}{\dd #3^{#1}}%
|
||||||
|
}%
|
||||||
|
}{%
|
||||||
|
\IfNoValueTF{#1}{%
|
||||||
|
\frac{\dd}{\dd #2}%
|
||||||
|
}{%
|
||||||
|
\frac{\dd^{#1}}{\dd #2^{#1}}%
|
||||||
|
}%
|
||||||
|
}%
|
||||||
|
}%
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\providecommand*{\pdv}[3][]{\frac{\partial^{#1}#2}{\partial#3^{#1}}}
|
||||||
|
% - others
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Lap}{\mathcal{L}}
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Var}{Var} % varience
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov} % covarience
|
||||||
|
\DeclareMathOperator{\E}{E} % expected
|
||||||
|
|
||||||
|
% Since the amsthm package isn't loaded
|
||||||
|
|
||||||
|
% I prefer the slanted \leq
|
||||||
|
\let\oldleq\leq % save them in case they're every wanted
|
||||||
|
\let\oldgeq\geq
|
||||||
|
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
|
||||||
|
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
|
||||||
|
|
||||||
|
% % redefine matrix env to allow for alignment, use r as default
|
||||||
|
% \renewcommand*\env@matrix[1][r]{\hskip -\arraycolsep
|
||||||
|
% \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
|
||||||
|
% \array{*\c@MaxMatrixCols #1}}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
%\usepackage{framed}
|
||||||
|
%\usepackage{titletoc}
|
||||||
|
%\usepackage{etoolbox}
|
||||||
|
%\usepackage{lmodern}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
%\patchcmd{\tableofcontents}{\contentsname}{\sffamily\contentsname}{}{}
|
||||||
|
|
||||||
|
%\renewenvironment{leftbar}
|
||||||
|
%{\def\FrameCommand{\hspace{6em}%
|
||||||
|
% {\color{myyellow}\vrule width 2pt depth 6pt}\hspace{1em}}%
|
||||||
|
% \MakeFramed{\parshape 1 0cm \dimexpr\textwidth-6em\relax\FrameRestore}\vskip2pt%
|
||||||
|
%}
|
||||||
|
%{\endMakeFramed}
|
||||||
|
|
||||||
|
%\titlecontents{chapter}
|
||||||
|
%[0em]{\vspace*{2\baselineskip}}
|
||||||
|
%{\parbox{4.5em}{%
|
||||||
|
% \hfill\Huge\sffamily\bfseries\color{myred}\thecontentspage}%
|
||||||
|
% \vspace*{-2.3\baselineskip}\leftbar\textsc{\small\chaptername~\thecontentslabel}\\\sffamily}
|
||||||
|
%{}{\endleftbar}
|
||||||
|
%\titlecontents{section}
|
||||||
|
%[8.4em]
|
||||||
|
%{\sffamily\contentslabel{3em}}{}{}
|
||||||
|
%{\hspace{0.5em}\nobreak\itshape\color{myred}\contentspage}
|
||||||
|
%\titlecontents{subsection}
|
||||||
|
%[8.4em]
|
||||||
|
%{\sffamily\contentslabel{3em}}{}{}
|
||||||
|
%{\hspace{0.5em}\nobreak\itshape\color{myred}\contentspage}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
|
% TABLE OF CONTENTS
|
||||||
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
|
|
||||||
|
\usepackage{tikz}
|
||||||
|
\definecolor{doc}{RGB}{0,60,110}
|
||||||
|
\usepackage{titletoc}
|
||||||
|
\contentsmargin{0cm}
|
||||||
|
\titlecontents{chapter}[3.7pc]
|
||||||
|
{\addvspace{30pt}%
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]%
|
||||||
|
\draw[fill=doc!60,draw=doc!60] (-7,-.1) rectangle (-0.9,.5);%
|
||||||
|
\pgftext[left,x=-3.5cm,y=0.2cm]{\color{white}\Large\sc\bfseries Kapitel\ \thecontentslabel};%
|
||||||
|
\end{tikzpicture}\color{doc!60}\large\sc\bfseries}%
|
||||||
|
{}
|
||||||
|
{}
|
||||||
|
{\;\titlerule\;\large\sc\bfseries Seite \thecontentspage
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
|
||||||
|
\draw[fill=doc!60,draw=doc!60] (2pt,0) rectangle (4,0.1pt);
|
||||||
|
\end{tikzpicture}}%
|
||||||
|
\titlecontents{section}[3.7pc]
|
||||||
|
{\addvspace{2pt}}
|
||||||
|
{\contentslabel[\thecontentslabel]{2pc}}
|
||||||
|
{}
|
||||||
|
{\hfill\small \thecontentspage}
|
||||||
|
[]
|
||||||
|
\titlecontents*{subsection}[3.7pc]
|
||||||
|
{\addvspace{-1pt}\small}
|
||||||
|
{}
|
||||||
|
{}
|
||||||
|
{\ --- \small\thecontentspage}
|
||||||
|
[ \textbullet\ ][]
|
||||||
|
|
||||||
|
\makeatletter
|
||||||
|
\renewcommand{\tableofcontents}{%
|
||||||
|
\chapter*{%
|
||||||
|
\vspace*{-20\p@}%
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]%
|
||||||
|
\pgftext[right,x=15cm,y=0.2cm]{\color{doc!60}\Huge\sc\bfseries \contentsname};%
|
||||||
|
\draw[fill=doc!60,draw=doc!60] (13,-.75) rectangle (20,1);%
|
||||||
|
\clip (13,-.75) rectangle (20,1);
|
||||||
|
\pgftext[right,x=15cm,y=0.2cm]{\color{white}\Huge\sc\bfseries \contentsname};%
|
||||||
|
\end{tikzpicture}}%
|
||||||
|
\@starttoc{toc}}
|
||||||
|
\makeatother
|
||||||
24
hs24/analysis_I/sources.bib
Normal file
24
hs24/analysis_I/sources.bib
Normal file
@ -0,0 +1,24 @@
|
|||||||
|
@misc{Ziltner2024,
|
||||||
|
author = {Ziltner, Prof. Dr., Fabian},
|
||||||
|
month = dec,
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||||||
|
title = {{Notizen zur Vorlesung Analysis 1 für ITET und RW, Herbstsemester
|
||||||
|
2024}},
|
||||||
|
year = {2024},
|
||||||
|
}
|
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|
|
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|
@misc{Struwe2010,
|
||||||
|
author = {Struwe, Prof. Dr., Michael},
|
||||||
|
month = nov,
|
||||||
|
title = {{Analysis für Informatik}},
|
||||||
|
year = {2010},
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
@software{MCD2024,
|
||||||
|
author = {{The Manim Community Developers}},
|
||||||
|
license = {MIT},
|
||||||
|
month = apr,
|
||||||
|
title = {{Manim - Mathematical Animation Framework}},
|
||||||
|
url = {https://www.manim.community/},
|
||||||
|
version = {v0.18.1},
|
||||||
|
year = {2024},
|
||||||
|
}
|
||||||
1
hs24/analysis_I/umkehrsatz/umkehrsatz.tex
Normal file
1
hs24/analysis_I/umkehrsatz/umkehrsatz.tex
Normal file
@ -0,0 +1 @@
|
|||||||
|
\chapter{Umkehrsatz, Satz über implizite Funktionen, Untermannigfaltigkeit des Koordinatenraums, Tangentialraum}
|
||||||
1
hs24/analysis_I/vektorfeld/vektorfeld.tex
Normal file
1
hs24/analysis_I/vektorfeld/vektorfeld.tex
Normal file
@ -0,0 +1 @@
|
|||||||
|
\chapter{Vektorfelder und die Sätze von Green, Stokes und Gauss}
|
||||||
@ -0,0 +1,3 @@
|
|||||||
|
\chapter{Zahlen und Vektoren}
|
||||||
|
|
||||||
|
\newpage
|
||||||
7
hs24/digitaltechnik/automaten/automaten.tex
Normal file
7
hs24/digitaltechnik/automaten/automaten.tex
Normal file
@ -0,0 +1,7 @@
|
|||||||
|
\chapter{Automaten}
|
||||||
|
|
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|
\input{def.tex}
|
||||||
|
\input{entwurf_analyse.tex}
|
||||||
|
\input{garagenautomat_vertiefung.tex}
|
||||||
|
\input{fortgeschritten.tex}
|
||||||
|
\input{zaehler.tex}
|
||||||
56
hs24/digitaltechnik/automaten/def.tex
Normal file
56
hs24/digitaltechnik/automaten/def.tex
Normal file
@ -0,0 +1,56 @@
|
|||||||
|
\section{Was sind Automaten?} \label{sec:auto}
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|
\subsection{Definition und Grundlagen}
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\dfn{Automat}{
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Ein Automat beschreibt ein System, welches auf sein Eingang reagiert und ein Ausgang produziert, der von dem Eingangssignal und von dem momentanen Zustand des Systems abhängt. \cite{Luisier2024} Ein typisches Beispiel für ein Automaten sind Schaltwerke.
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|
\\
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|
Wenn wir von Automaten sprechen, reden wir hauptsächlich von endlichen Automaten. Endliche Automaten haben nur die möglichkeit endlich viele Eingänge, Ausgänge und gespeicherte Zustände zu haben. Unendliche Automaten gibt es nicht.
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}
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|
Bei den Automaten unterscheiden wir zwischen synchrone und asynchrone Automaten.
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\\
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\subsubsection*{Synchrone Automaten}
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Bei synchrone Automaten haben alle Speicherelemente (Flipflops) das gleiche Taktsignal. Daraus folgt, dass interne Zustandsänderungen synchron mit dem Taktsignal laufen.
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_33.png} \cite{Luisier2024}
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\subsubsection*{Asynchrone Automaten}
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In vergleich zu synchrone Automaten haben die Speicherelemente in asynchrone Automaten nicht das gleiche Taktsignal. Eine Zustandsänderung wird durch die Eingangssignale initiiert.
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\\
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|
Ein endlicher Automat wird durch ein 6-Tupel charakterisiert:
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\begin{tabular}{ p{0.2\linewidth} p{0.8\linewidth} }
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|
$X = (x_1, x_2, ... , x_e)$ & Eingabealphabet mit $e$ Eingängen $x_i$, die durch binäre Eingangsvariablen $\{ 0,1 \}$ repräsentiert werden. \\
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|
$Y = (y_1, y_2, ... , y_b)$ & Ausgabealphabet mit $b$ Ausgängen $y_i$, die als Bits mit Wert $\{ 0,1 \}$ dargestellt werden. \\
|
||||||
|
$Z = (z_1, z_2, ... , z_m)$ & Zustandsmenge mit $m$ inneren Zustansvariablen $z_i$, die einen Wert $z_i$, die einen Wert $\{ 0,1 \}$ haben können. Insfesamt gibt es $n_m = 2 ^{m}$ Zustände. \\
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|
$Z_0 \in Z$ & Anfangszustand \\
|
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|
$f_{c 1}: (X_n, Z_n) \rightarrow Z_{n+1}$ & Übergangs-, Überführungsfunktion \\
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|
$f_{c 1}: (X_n, Z_n) \rightarrow Y_n$ & Ausgangs-, Ausgabefunktion \\
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|
\end{tabular}
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\subsection{Automatentypen: Mealy vs. Moore}
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\dfn{Mealy Automat}{
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Ein Mealy Automat ist ein endlicher Automat, dessen Ausgang abhängig ist vom Eingang $X_n$, sowie den momentanen Zustand $Z_n$. Der Folgezustand $Z_{n+1}$ ist abhängig vom momentanen Zustand sowie dem Eingang.
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_34.png} \cite{Luisier2024}
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}
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\dfn{Moore Automat}{
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Im Vergleich zum Mealy Automat ist der Ausgang vom Moore Automat nur abhängig vom momentanen Zustand $Z_n$. Der Folgezustand $Z_{n+1}$ ist wie beim Mealy Automat abhängig vom momentanen Zustand, sowie dem Eingang.
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_35.png} \cite{Luisier2024}
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}
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Eine weitere Art von Automat ist der Medwedjew Automat. Dieser unterscheidet sich vom Moore Automat dadurch, dass sein Ausgang gleich dem momentanen Zustand ist. Der Folgezustand ist wie beim Mealy Automat abhängig vom momentanen Zustand und dem Eingang.
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_36.png} \cite{Luisier2024}
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\nt{
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Medwedjew Automaten haben eine grosse Relevanz für Zähler.
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}
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\section{Entwurf und Analyse von Automaten}
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\subsection{Zustandsdiagramm, Folgezustandstabelle}
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Automaten können auf verschiedenen Weisen beschrieben werden.
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\begin{itemize}
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\item Ausgangs- und Übergangsfunktionen
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\item Zustandsfolgetabellen (Folgezustandstabelle)
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\item Zustandsdiagramme oder Zustandsgraphen
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\item Karnaugh Diagramme
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\end{itemize}
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In den meisten Fällen fängt man mit dem Zustandsdiagramm, da dieser sehr schnell generiert werden kann. Aus dem Zustandsdiagramm kann die Folgezustandstabelle konstruiert werden. Wenn diese vorhanden ist, kann ein Karnaugh-Diagramm für jede innere Zustandsvariable und für jeden Ausgang aufgesetzt werden. Damit werden die Gleichungen der Ausgangs- und Übergangsfunktionen minimiert. Am Ende wird ein Schaltwerk erzeugt. \cite{Luisier2024} Es ist aber auch möglich, dass der umgekehrte Fall auftritt.
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\dfn{Zustandsdiagramm}{
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Ein Zustandsdiagramm ist eine graphische Darstellung der Funktion von Automaten, die aus Knoten und gericheteten Kanten besteht.
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_26.png} \cite{Luisier2024}
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Die Knoten bezeichnen die internen Zustände, die Kanten den Übergang zwischen zwei Zuständen. Die Eingangskombination $e$, die die Zustandsänderung bewirkt, und der Ausgang $a$ werden an der jeweiligen Kante vermerkt. \cite{Luisier2024}
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_27.png} \cite{Luisier2024}
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Wichtig zu erwähnen ist, dass bei Moore Automaten die Knoten sowohl die internen Zustände als auch die Ausgänge bezeichnen.
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}
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\dfn{Folgezustandstabelle}{
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Folgezustandstabellen zeigen alle möglichen Kombinationen eines Automaten an. Die Anzahl Reihen einer Folgezustandstabelle ist $2 ^{e + m}$, wobei $e$ die Anzahl Eingangsbits und $m$ die Anzahl Zustandsbits ist. Die Anzahl Spalten beträgt $e + 2m + b$, wobei $b$ die Anzahl Ausgangsbits ist.
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}
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\subsection{Eingangs-, Ausgangs-, Zustandsvariablen}
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Um einen Automaten zu entwerfen kann man das folgende Kochrezept befolgen.
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\begin{enumerate}
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\item Zustandsmenge bestimmen, daraus folgt die Anzahl der Zustandsvariablen und der erforderlichen D-Flipflops
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\item Definition der Ein- und Ausgangsvariablen, Kodierung
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\item Darstellung der Zustandsfolge in einem Zustandsdiagramm
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\item Aufstellung der Zustandsfolgetabelle
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\item Bestimmung der minimierten Ausgangs- und Übergangsfunktionen mit der Hilfe von KV-Diagrammen
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\item Prüfung auf unbenutzte Zustände
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\item Konstruktion des Schaltplans anhand der Schaltfunktion
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\end{enumerate} \cite{Luisier2024}
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hs24/digitaltechnik/automaten/fortgeschritten.tex
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hs24/digitaltechnik/automaten/fortgeschritten.tex
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\section{Fortgeschrittene Automateneigenschaften}
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\subsection{Gekoppelte Automaten}
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In einigen Fällen ist es geeigneter komplexe Automaten aus mehreren Teilautomaten aufzubauen. Diese sind oft übersichtlicher.
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_29.png} \cite{Luisier2024}
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\section{Garagenautomat: Vertiefung}
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\subsection{Mealy $\leftrightarrow$ Moore Umwandlung}
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Mealy und Moore Automaten lassen sich \textbf{immer} ineinander umwanden. \cite{Vasylyev2024} Wichtig dabei zu erwähnen ist, dass sich das zeitliche Verhalten der Eingangs- und Ausgangssignale sich ändert aufgrund von ihren verschiedenen Eigenschaften (Kapitel \ref{sec:auto}). Mealy Automaten sind sehr anfällig für Störungen, da ihr Ausgang abhängig ist vom Eingang und momentanen Zustand. Der Eingang ist nicht abhängig vom Taktsignal. Bei einer Störung am Eingang besteht die Möglichkeit, dass ein Ausgang beschaltet wird aber der Zustand nicht aktualisiert wird.
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\\
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Um dieses Problem zu bekämpfen könnte man den Eingang mit dem Taktsignal Synchronisieren.
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\section{Zähler}
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\subsection{Asynchronzähler}
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In Kapitel \ref{sec:ffcirc} haben wir gelernt, dass man T-Flipfops verketten kann, um $n$-Bit Dualzähler zu erstellen. Das Problem mit diesen sogenannten Asynchronzähler ist die Zeitverzögerung der T-Flipflops. Je mehr Bits der Dualzähler hat, desto mehr T-Flipflops haben wir und desto länger braucht der letzte T-Flipflop zum Schalten für den MSB. Deshalb müssen bei Asynchronzähler die maximale Taktfrequenz des Taktsignals berücksichtigt werden. Dies limitiert die Geschwindigkeit des Dualzählers.
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\subsection{Modulo-$n$ (mod-$n$) Zähler}
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In manchen Fällen möchte man nicht das volle Pottential von Asynchronzähler verwenden. Man möchte nur bis zu einer bestimmten Dualzahl hochzählen. In diesem Fall kommen Modulo-$n$ Zähler ins Spiel. Wie die $n$-Bit Dualzähler bestehen Modulo-$n$ Zähler aus T-Flipfops mit dem Unterschied, dass die T-Flipflops einen Reset Eingang haben. Die Ausgänge der T-Flipflops sind mit einem AND Gatter verbunden. Sobald die Zahl $n+1$ am Ausgang liegt, werden die Reset-Eingänge von den Flipflops beschaltet und der Zähler fängt wieder bei 0 an. Soll der Zähler bei einer anderen Zahl anfangen zu zählen, so muss bei den Flipflops mit einem Set-Eingang gearbeitet werden.
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\begin{minipage}{0.15\linewidth}
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_13.png} \cite{Luisier2024}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{circuitikz}[european]
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\draw (0,0) node[flipflop T, dot on notQ, add async SR](tff1){}
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(tff1.pin 3) --++(left:10mm) node[point, label=180:CLK] {}
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(tff1.pin 6) --++(right:10mm) --++(down:17mm) --++(right:5mm)
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node[flipflop T, dot on notQ, anchor=pin 3, add async SR](tff2){}
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(tff2.pin 6) --++(right:10mm) --++(down:17mm) --++(right:5mm)
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||||||
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node[flipflop T, dot on notQ, anchor=pin 3, add async SR](tff3){}
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||||||
|
(tff3.pin 6) --++(right:5mm) --++(up:20mm) node[point, label=90:$\text{Q}_{III}$] {}
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||||||
|
(tff3.pin 6) --++(right:5mm) --++(up:5mm) --++(right:5mm)
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||||||
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node[and port, number inputs=3, anchor=in 3](and){}
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node [notcirc, left] at (and.bin 1) {}
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(and.in 1) --++(left:80mm)
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(and.in 2) --++(left:42.5mm)
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(and.out) --++(down:35mm) --++(left:115.5mm)
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(tff1.down) --++(down:4mm)
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(tff2.down) --++(down:4mm)
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(tff3.down) --++(down:4mm);
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\path[draw] (tff1.pin 6) --++(right:5mm) --++(up:20mm) node[point, label=90:$\text{Q}_I$] {};
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||||||
|
\path[draw] (tff2.pin 6) --++(right:5mm) --++(up:20mm) node[point, label=90:$\text{Q}_{II}$] {};
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\end{circuitikz}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\subsection{Synchronzähler}
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Beim Asynchronzähler ist das Taktsignal der Flipflops immer vom vorherigen Ausgang des Flipflops abhängig (ausser beim ersten Flipflop). Im Gegensatz zu dem haben die Flipflops von Synchronzähler das gleiche Taktsignal und schalten gleichzeitig. Synchronzähler werden meistens als Medwedjew-Automaten implementiert.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_13.png} \cite{Luisier2024}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_14.png} \cite{Luisier2024}
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\end{minipage}
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\nt{
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Rückwärtszähler können auch durch Medwedjew-Automaten realisiert werden. Es muss zusätlich ein weiterer Eingang hinzugefügt werden, welcher die Zählrichtung bestimmt.
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\includegraphics[width=0.25\linewidth]{fig/Fig_15.png} \cite{Luisier2024}
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}
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\nt{
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In Kapitel \ref{sec:ffcirc} haben wir gesehen, dass T-Flipflops als Freqenzteiler fungieren können. Dies kann auch mit einem Medwedjew-Automaten und ein AND Gatter realisiert werden. Das AND Gatter ist mit einem T-Flipflop verbunden, welcher beschaltet wird, sobald die Zahl erreicht wird.
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_16.png} \cite{Luisier2024}
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}
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hs24/digitaltechnik/cmos/cmos.tex
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hs24/digitaltechnik/cmos/cmos.tex
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\chapter{CMOS Schaltungen}
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\input{funktion.tex}
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\input{pullup_pulldown.tex}
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hs24/digitaltechnik/cmos/funktion.tex
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\section{Wie funktionieren MOS-Transistoren?}
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\subsection{Kurzer Überblick}
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In diesem Kapitel geht es um CMOS Transistoren. In Allgemeinen werden Transistoren verwendet, um Gatter zu bauen. Diese werden, wie in den letzten paar Kapitel besprochen in sehr vielen logischen Schaltungen verwendet, welche fundamental sind für viele elektronischen Geräte, welche uns begleiten.
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Wie durch den Namen zu erkennen fungieren die Transistoren durch die CMOS Technologie. CMOS steht für "Complementary Metal-Oxide-Semiconductor". Die Transistoren sind also Metalloxid-Halbleiter.
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\\
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\dfn{MOS Transistoren}{
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MOS Transistoren sind steuerbare Widerstände bestehend aus 3 Kontakten, namentlich Source, Drain und Gate. Die Ladungsträger fliessen von Source zu Drain. Der Gate wird verwendet, um den Fluss von Ladungsträger zu beeinflussen.
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}
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\includegraphics[width=0.7\linewidth]{fig/Fig_28.png} \cite{Luisier2024}
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MOS Transistoren verhalten sich wie Schalter. \cite{Luisier2024} Ihr Widerstand wird durch die Source-Gate Spannung ($V_{gs}$) gesteuert. Dabei spielt die Schwellspannung ($V_{th}$ $th$ für Threshhold) eine grosse Rolle. Ist $|V_{gs}| < |V_{th}|$ ist der Transistor hochohmig und der Schalter ist zu. Im umgekehrten Fall ist der Transistor niederohmig. Somit ist der Schalter auf.
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\nt{
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Die Schwellspannung $V_{th}$ wird in diesem Semester keine grosse Rolle spielen. Es ist aber hilfreich fürs Verständnis.
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}
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Was sind jetzt aber CMOS Transistoren. Es gibt 2 CMOS Transistoren und beide sind ihr gegenseitiges Komplementär. Daher kommt auch ihr Name. Grundsätzlich unterscheidet man zwischen zwei verschiedene CMOS Transistoren.
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\dfn{NMOS-Transistor}{
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NMOS-Transistoren haben einen n-dotierten Innenwiderstand. Dadurch erhält er die Eigenschaft, dass der Transistor leitet, sobald eine Spannung am Gate liegt.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| c | c | c |}
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$G$ & NMOS & $Y$ \\
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\hline
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0 & Leitet nicht & 0 \\
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1 & Leitet & 1 \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
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\node[thick, nmos, anchor=D] (nmos1) at(0, -2) {}
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(nmos1.gate) node[anchor=east] {G}
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||||||
|
(nmos1.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {S}
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||||||
|
(nmos1.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {D};
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|
\end{circuitikz}
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|
\end{center}
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|
\end{minipage}
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}
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\dfn{PMOS-Transistor}{
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PMOS-Transistoren haben einen p-dotierten Innenwiderstand. Dadurch erhält er die Eigenschaft, dass der Transistor leitet, sobald keine Spannung am Gate liegt.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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||||||
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| c | c | c |}
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|
$G$ & PMOS & $Y$ \\
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\hline
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0 & Leitet & 1 \\
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|
1 & Leitet nicht & 0 \\
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|
\end{tabular}
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|
\end{center}
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|
\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
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|
\node[thick, pmos, anchor=D] (pmos1) at(0, -2) {}
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||||||
|
(pmos1.gate) node[anchor=east] {G}
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||||||
|
(pmos1.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {D}
|
||||||
|
(pmos1.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {S};
|
||||||
|
\end{circuitikz}
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|
\end{center}
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\end{minipage}
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}
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\nt{
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Die Eigenschaft, dass NMOS- bzw. PMOS-Transistoren bei einer gewissen Gate Spannung leitet hat eine bestimmte Funktion bezüglich $V_{gs}$. NMOS Transistoren leiten, sobald eine positive Spannung am Eingang ist. Ist die Spannung negativ, leitet sie nicht. Umgekehrt ist es beim PMOS Transistor.
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}
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NMOS- und PMOS Transistoren haben vor allem eine bedeutende Verwendung bei Pull-up und Pull-Down Schaltungen.
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\dfn{Pull-down Schaltung}{
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|
Eine Pull-down ist eine Schaltung, welcher die Spannung $V_y$ von seinem Ausgang $Y$ in Abhängigkeit von der Gate Spannung definiert. ($V_{gs}$)
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tabular}{| c | c | c |}
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|
$G$ & NMOS & $Y$ \\
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||||||
|
\hline
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|
0 & Leitet nicht & 1 \\
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|
1 & Leitet & 0 \\
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|
\end{tabular}
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||||||
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||||||
|
$\Rightarrow$ Leitend falls Eingang $V_G = 1$, 0 liegt am Ausgang.
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||||||
|
\end{minipage}
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|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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||||||
|
\begin{center}
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||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
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||||||
|
\node[circ, label=90:{\small $V_{DD}$}](origin) at (0,0) {};
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|
\node[thick, nmos, anchor=D] (nmos1) at(0, -2) {}
|
||||||
|
(nmos1.gate) node[anchor=east] {G}
|
||||||
|
(nmos1.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {D}
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||||||
|
(nmos1.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {S};
|
||||||
|
\draw[thick]
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||||||
|
(origin)
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|
to[R=$R$] (0,-1.8) node[circ] (ybase) {}
|
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|
to[] (0, -2);
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||||||
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\draw[thick] (nmos1.S) -- (0, -4) coordinate(gnd);
|
||||||
|
\path[draw] (ybase) --++(right:10mm) node[point, label=0:Y] {};
|
||||||
|
\path[draw, very thick] (-0.25, -4) -- (gnd) -- (0.25, -4);
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||||||
|
\end{circuitikz}
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||||||
|
\end{center}
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||||||
|
\end{minipage}
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|
}
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||||||
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|
\dfn{Pull-up Schaltung}{
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|
Eine Pull-up ist eine Schaltung, welcher die Spannung $V_y$ von seinem Ausgang $Y$ in Abhängigkeit von der Gate Spannung definiert. ($V_{gs}$)
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||||||
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|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{tabular}{| c | c | c |}
|
||||||
|
$G$ & NMOS & $Y$ \\
|
||||||
|
\hline
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||||||
|
0 & Leitet & 1 \\
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||||||
|
1 & Leitet nicht & 0 \\
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|
\end{tabular}
|
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|
|
||||||
|
$\Rightarrow$ Leitend falls Eingang $V_G = 0$, 1 liegt am Ausgang.
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|
\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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|
\begin{center}
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|
\begin{circuitikz}[european]
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|
\coordinate (gnd) at (0, -4);
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|
\node[circ, label=90:{\small $V_{DD}$}] (vdd) at (0,0) {};
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||||||
|
\node[pmos, thick] (pmos) at (0, -1){}
|
||||||
|
(pmos.gate) node[anchor=east] {G}
|
||||||
|
(pmos.source) node[anchor=west,yshift=-0.15cm] {S}
|
||||||
|
(pmos.drain) node[anchor=west, yshift=+0.15cm] {D};
|
||||||
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||||||
|
\draw[thick] (gnd)
|
||||||
|
to[R=$R$] (0, -2)
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-- (0, -2) node[circ] (ybase) {}
|
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-- (pmos.D);
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|
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||||||
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\draw[thick] (pmos.S) -- (vdd);
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\path[draw] (ybase) --++(right:10mm) node[point, label=0:Y] {};
|
||||||
|
\path[draw, very thick] (-0.25, -4) -- (gnd) -- (0.25, -4);
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
}
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186
hs24/digitaltechnik/cmos/pullup_pulldown.tex
Normal file
186
hs24/digitaltechnik/cmos/pullup_pulldown.tex
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@ -0,0 +1,186 @@
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|
\section{Pull-up und Pull-down Schaltungen}
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\subsection{NOT, NAND, und NOR}
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\dfn{NICHT Gatter in CMOS Technik}{
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Das NOT Gatter kann durch CMOS Gatter wie folgt dargestellt werden.
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\begin{center}
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\begin{circuitikz}[european]
|
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|
\node[circ, label=90:{\small $V_{DD}$}](origin) at (0,0) {};
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|
\node[thick, nmos, anchor=D] (nmos1) at(0, -2) {}
|
||||||
|
(nmos1.gate) node[anchor=east] {}
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|
(nmos1.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {}
|
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|
(nmos1.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {};
|
||||||
|
\node[thick, pmos, anchor=D] (pmos1) at(0, -1.5) {}
|
||||||
|
(pmos1.gate) node[anchor=east] {}
|
||||||
|
(pmos1.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {}
|
||||||
|
(pmos1.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {};
|
||||||
|
\draw[thick] (nmos1.S) -- (0, -4) coordinate(gnd);
|
||||||
|
\draw[thick] (pmos1.D) -- (nmos1.D);
|
||||||
|
\draw[thick] (pmos1.G) -- (nmos1.G);
|
||||||
|
\path[draw] (0,-1.75) --++(right:10mm) node[point, label=0:Y] {};
|
||||||
|
\path[draw] (-1,-1.75) --++(left:10mm) node[point, label=180:A] {};
|
||||||
|
\path[draw, very thick] (-0.25, -4) -- (gnd) -- (0.25, -4);
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
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|
\dfn{NAND Gatter in CMOS Technik}{
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|
Das NAND Gatter kann durch CMOS Gatter wie folgt dargestellt werden.
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||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
|
||||||
|
\node[circ, label=90:{\small $V_{DD}$}](origin) at (0,0) {};
|
||||||
|
\node[thick, nmos, anchor=D] (nmos1) at(0, -2.25) {}
|
||||||
|
(nmos1.gate) node[anchor=east] {}
|
||||||
|
(nmos1.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {}
|
||||||
|
(nmos1.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {};
|
||||||
|
\node[thick, nmos, anchor=D] (nmos2) at(0, -4.25) {}
|
||||||
|
(nmos2.gate) node[anchor=east] {}
|
||||||
|
(nmos2.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {}
|
||||||
|
(nmos2.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {};
|
||||||
|
\node[thick, pmos, anchor=D] (pmos1) at(-1.5, -1.75) {}
|
||||||
|
(pmos1.gate) node[anchor=east] {}
|
||||||
|
(pmos1.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {}
|
||||||
|
(pmos1.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {};
|
||||||
|
\node[thick, pmos, anchor=D] (pmos2) at(1.5, -1.75) {}
|
||||||
|
(pmos2.gate) node[anchor=east] {}
|
||||||
|
(pmos2.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {}
|
||||||
|
(pmos2.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {};
|
||||||
|
\draw[thick] (nmos2.S) -- (0, -6.25) coordinate(gnd);
|
||||||
|
\draw[thick] (pmos1.D) -- (pmos2.D);
|
||||||
|
\draw[thick] (pmos1.S) -- (pmos2.S);
|
||||||
|
\draw[thick] (origin) -- (0,-0.23);
|
||||||
|
\draw[thick] (nmos1.S) -- (nmos2.D);
|
||||||
|
\draw[thick] (0,-1.75) -- (nmos1.D);
|
||||||
|
\draw[thick] (pmos1.G) -- (-2.5,-3);
|
||||||
|
\draw[thick] (pmos2.G) -- (-1.25,-1);
|
||||||
|
\draw[thick] (-1.25,-1) -- (-1.25, -5);
|
||||||
|
\path[draw] (0,-2) --++(right:10mm) node[point, label=0:Y] {};
|
||||||
|
\path[draw] (nmos1.G) --++(left:20mm) node[point, label=180:A] {};
|
||||||
|
\path[draw] (nmos2.G) --++(left:20mm) node[point, label=180:B] {};
|
||||||
|
\path[draw, very thick] (-0.25, -6.25) -- (gnd) -- (0.25, -6.25);
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
}
|
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|
|
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|
\dfn{NOR Gatter in CMOS Technik}{
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|
Das NOR Gatter kann durch CMOS Gatter wie folgt dargestellt werden.
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|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
|
||||||
|
\node[circ, label=90:{\small $V_{DD}$}](origin) at (0,0) {};
|
||||||
|
\node[thick, nmos, anchor=D] (nmos1) at(-1.75, -3.5) {}
|
||||||
|
(nmos1.gate) node[anchor=east] {}
|
||||||
|
(nmos1.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {}
|
||||||
|
(nmos1.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {};
|
||||||
|
\node[thick, nmos, anchor=D] (nmos2) at(1.75, -3.5) {}
|
||||||
|
(nmos2.gate) node[anchor=east] {}
|
||||||
|
(nmos2.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {}
|
||||||
|
(nmos2.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {};
|
||||||
|
\node[thick, pmos, anchor=D] (pmos1) at(0, -1.5) {}
|
||||||
|
(pmos1.gate) node[anchor=east] {}
|
||||||
|
(pmos1.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {}
|
||||||
|
(pmos1.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {};
|
||||||
|
\node[thick, pmos, anchor=D] (pmos2) at(0, -3) {}
|
||||||
|
(pmos2.gate) node[anchor=east] {}
|
||||||
|
(pmos2.drain) node[anchor=west, yshift=-0.15cm] {}
|
||||||
|
(pmos2.source) node[anchor=west,yshift=+0.15cm] {};
|
||||||
|
\draw[thick] (nmos1.S) -- (-1.75, -5.25) coordinate(gnd1);
|
||||||
|
\draw[thick] (nmos2.S) -- (1.75, -5.25) coordinate(gnd2);
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||||||
|
\draw[thick] (nmos1.D) -- (nmos2.D);
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||||||
|
\draw[thick] (pmos2.D) -- (0, -3.5);
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||||||
|
\draw[thick] (nmos1.G) -- (-2.75, -0.75);
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|
\draw[thick] (nmos2.G) -- (-1.5, -4.25);
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||||||
|
\draw[thick] (-1.5, -4.25) -- (-1.5, -2.25);
|
||||||
|
\path[draw] (pmos2.D) --++(right:10mm) node[point, label=0:Y] {};
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||||||
|
\path[draw] (pmos1.G) --++(left:30mm) node[point, label=180:A] {};
|
||||||
|
\path[draw] (pmos2.G) --++(left:30mm) node[point, label=180:B] {};
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||||||
|
\path[draw, very thick] (-2, -5.25) -- (gnd1) -- (-1.5, -5.25);
|
||||||
|
\path[draw, very thick] (2, -5.25) -- (gnd2) -- (1.5, -5.25);
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
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|
}
|
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|
\subsection{Komplexe Schaltungen}
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Jetzt wo wir wissen, wie logische Gatter durch CMOS Gatter dargestellt werden können, können wir komplexe logische Schaltungen durch CMOS Transistoren darstellen.
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\dfn{Pull-up / Pull-down Prinzip}{
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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|
Für die Darstellung von logischen Schaltungen durch CMOS Gattern gilt:
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\begin{itemize}
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|
\item CMOS Gatter müssen aus genau so vielen NMOS und PMOS Transistoren bestehen.
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|
\item Bei $m$ Eingängen gibt es $m$ NMOS und $m$ PMOS Transistoren
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|
\end{itemize}
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|
\cite{Luisier2024}
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|
\end{minipage}
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|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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|
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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||||||
|
\begin{center}
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|
\begin{tikzpicture}
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|
\node[circ, label=90:{\small $V_{DD}$}] at (0,0) (origin) {};
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||||||
|
\node[draw, dotted](pmos) at(0,-0.5) {PMOS};
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||||||
|
\node[draw, dotted](nmos) at (0, -1.5) {NMOS};
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||||||
|
\coordinate(gnd) at (0, -2){};
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|
\draw[] (origin) -- (pmos)
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|
(pmos) -- (nmos)
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(nmos) -- (gnd);
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|
\path[draw] (0,-1) --++(right:5mm) node[fill = white] {Y};
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||||||
|
\path[draw, thick] (-0.25, -2) -- (gnd) -- (0.25, -2);
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
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|
\begin{flushleft}
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\begin{tabular}{l l}
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|
Pull-u\textcolor{red}{p} Schaltung: & \textcolor{red}{P}MOS \\
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|
Pull-dow\textcolor{red}{n} Schaltung: & \textcolor{red}{N}MOS \\
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\end{tabular}
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|
\end{flushleft}
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\end{minipage}
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\end{minipage}
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}
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In den vorherigen Definitionen haben wir uns Pull-up und Pull-down Schaltungen von einzelnen logischen Gattern angeschaut. Wie wir aber in Kapitel \ref{sec:gat} gesehen haben, können logische Gatter miteinander verknüpft werden. Dies ist auch der Fall für CMOS Gatter. Um die verschiedenen logischen Gattern zu erkennen, kann man beim Pull-up bzw. beim Pull-down Pfad die Transistoren in Blöcke unterteilen. Dabei gelten die folgenden Regeln.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\subsection*{Pull-up}
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|
\begin{itemize}
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|
\item 2 parallelgeschaltene PMOS Transistoren $\rightarrow$ ODER
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|
\item 2 seriegeschaltene PMOS Transistoren $\rightarrow$ UND
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|
\end{itemize}
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\end{minipage}
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|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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|
\subsection*{Pull-down}
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|
\begin{itemize}
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|
\item 2 parallelgeschaltene NMOS Transistoren $\rightarrow$ UND
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|
\item 2 seriegeschaltene NMOS Transistoren $\rightarrow$ ODER
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|
\end{itemize}
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\end{minipage}
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|
Diese Regeln gelten nicht nur für einzelne Transistoren, sondern auch für Blöcke von Transistoren.
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\subsection{Zeitverzögerung}
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CMOS Gatter können nicht unendlich schnell schalten. Ladungen (Elektronen und Löcher) müssen bewegt werden, was Laufzeit Verzögerungen verursacht. \cite{Luisier2024} In unserem Fall spielen der Propagation Delay von Low to High bzw. High to Low eine grosse Rolle. Aus der Tabelle kann man erkennen, dass es mehrere Faktoren hat, welche die Verzögerungszeit beeinflussen können. Wir fokussieren uns aber hauptsächlich auf die Propagation Delay.
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\begin{tabular}{| c | c | c |}
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|
$t_{pHL}$ & Verzögerungszeit (Propagation Delay High Low) & Beim Übergang H $\rightarrow$ L Gemessen bei 50\% des Pegelhubs \\
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$t_{pLH}$ & Verzögerungszeit (Propagation delay Low High) & Beim Übergang L $\rightarrow$ H Gemessen bei 50\% des Pegelhubs \\
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|
$r_r$ & Anstieg- (Rise-) Zeit Transition Low High & Gemessen zwischen 10\% und 90\% des Pegelhubs \\
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$t_{tLH}$ & Transition Low High & \\
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$t_f$ & Abfall- (Fall-) Zeit & Gemessen zwischen 90\% und 10\% des Pegelhubs \\
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|
$t_{tHL}$ & Transition High Low & \\
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|
\end{tabular}
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In diesem Semester arbeiten wir hauptsächlich mit $t_d$ (Delay Time). Diese kann wie folgt bestimmt werden.
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\[
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t_d = \frac{t_{pLH} + t_{pHL}}{2}
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.\]
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hs24/digitaltechnik/disclaimer.tex
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\section*{DISCLAIMER}
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Diese Notizen wurden verfasst auf Basis der Vorlesung Digitaltechnik (HS24) von M. Luisier, sowie dem Übungsskript von M. Vasylyev.
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Ich übernehme keine Haftung über mögliche Fehler in den Notizen (Es hat sicherlich ein paar drinnen, da ich teils Sätze umformuliert habe und meine Persönliche Notizen beigefügt habe!).
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Falls nicht anders deklariert wurden alle Grafiken eigenhändig mit Manim \cite{MCD2024} oder CircuiTikz generiert.
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|
Fehler können per Mail an \href{mailto:jirruh@ethz.ch}{jirruh@ethz.ch} gemeldet werden.
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hs24/digitaltechnik/einfuehrung/einfuehrung.tex
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3
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|
\chapter{Einführung in die digitale Welt}
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\input{grundlagen.tex}
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hs24/digitaltechnik/einfuehrung/grundlagen.tex
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hs24/digitaltechnik/einfuehrung/grundlagen.tex
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|
\section{Grundlagen der Elektronik} \label{sec:grund}
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|
\subsection{Analog vs. Digital}
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Signale haben in der Elektrotechnik eine grosse Bedeutung. Wir unterscheiden zwischen zwei verschiedenen Signalen.
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\dfn{Das analoge Signal}{
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Analoge Signale haben kontinuierliche Werte und liefern deshalb unendlich genaue Informationen. \cite{Luisier2024}
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_1.png} \cite{Luisier2024}
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}
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|
\dfn{Das digitale Signal}{
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|
Digitale Signale bestehen aus diskreten Werten und hängen von der Betrachtungsart ab. \cite{Luisier2024}
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_2.png} \cite{Luisier2024}
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}
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In den meisten Fällen interessieren uns die Werte der digitalen Signale da diese ausreichend Daten liefern. Nun stellt sich die Frage welche Auflösung man haben möchte und wie sie dargestellt werden sollen.
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Die Auflösung hängt nach Anwendungsbereich ab. Je nachdem braucht man eine höhere oder eine tiefere Auflösung. Für die Darstellung werden hauptsächlich Bits verwendet.
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\dfn{Bit}{
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Ein Bit (binäre Stelle, englisch: Binary digit) kann verwendet werden, um Zustände darzustellen. \cite{Luisier2024}
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}
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|
Bits können zwei Zustände haben: 1 und 0. Mehrere Bits hintereinander nennt man Codierung. Das erste Bit wird "Most Significant Bit" (MSB, höchstes Gewicht) genannt, das letzte "Least Significant Bit" (LSB, niedriges Gewicht). Wie tut man nun mit Bits Daten darstellen?
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Bits können verschiedene Zustände annehmen. Diese Zustände können zu bestimmten Daten korrespondieren. Je mehr Bits man hat, desto mehr Daten kann man darstellen. Genauer gesagt kann man die Anzahl Zustände $z$ mit den Anzahl Bits $n$ wie folgt berechnen.
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\[
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z = 2 ^{n}
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.\]
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\subsection{Strom und Spannung}
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In NUS I haben wir das Konzept von Strom und Spannung angeschaut. In der Digitaltechnik werden wir nun diese verwenden, um die Zustände von Bits darzustellen.
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Die Digitaltechnik verwendet zwei verschiedene Methoden, um Bits darzustellen.
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\dfn{Darstellung der Bits durch Spannung}{
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Der Zustand vom Bit kann durch die Menge der Spannung bestimmt werden. Ist die Spannung auf High (0.8 - 1 $V$), so hat der Bit den Zustand 1. Hat die Spannung einen Wert von 0 - 0.15 $V$ (Low), so hat der Bit den Zustand 0.
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\includegraphics[width=0.3\textwidth]{fig/Fig_3.png} \cite{Luisier2024}
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}
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\dfn{Darstellung der Bits durch Schalter}{
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Bits können auch durch Schalter, genauer gesagt durch Relais dargestellt werden. Liegt beim Eingang vom Relais keine Spannung vor, so bleibt der Relais offen und der Zustand vom Bit ist 0. Im umgekehrten Fall schliesst sich der Relais und der Zustand vom Bit ist 1.
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\includegraphics[width=0.8\textwidth]{fig/Fig_4.png} \cite{Luisier2024}
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}
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49
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\section{Einführung in die Flipflops}
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\subsection{SR- und D-Flipflops}
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In Vergleich zu taktgesteuerten Latches ändern taktflankengesteuerte Latches (Flipflops) den Zustand ihres Ausgangs, nur wenn der Eingang beschaltet wird und wenn das Taktsignal seinen Zustand ändert (entweder $T=0 \rightarrow 1$ oder $T = 1 \rightarrow 0$). Ändert sich das Taktsignal nicht, so ändert sich der Zustand des Ausgangs nicht.
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|
\dfn{D-Flipflops}{
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|
D-Flipflops haben die gleiche Funktion wie D-Latches. Der einzige Unterschied ist, dass D-Flipflops taktflankengesteuert sind.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
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|
\begin{circuitikz}[european]
|
||||||
|
\draw (0,0) node[flipflop D, dot on notQ](tff1){};
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
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|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_17.png} \cite{Luisier2024}
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|
\end{minipage}
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|
}
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|
|
||||||
|
\dfn{SR-Flipflops}{
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|
Wie beim D-Flipflop haben SR-Flipflops die gleiche Funktion wie SR-Latches mit dem Unterschied, dass SR-Flipflops taktflankengesteuert sind.
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|
|
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|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
|
||||||
|
\tikzset{flipflop mySR/.style={flipflop,
|
||||||
|
flipflop def={t1=S, t3=R, t6=Q, t4=$\bar{\text{Q}}$, c2=1, n4=1}}};
|
||||||
|
\draw (0,0) node[flipflop mySR](tff1){};
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_18.png} \cite{Luisier2024}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\subsection{Dynamik von Flipflops}
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Wie bei logischen Gattern sind Flipflops limitiert durch Verzögerungszeiten.
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|
\begin{itemize}
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|
\item $t_{pd}$: Verzögerungszeit $\rightarrow$ misst die Verzögerungszeit zwischen einer aktiven Taktflanke am Clock und ihrer Reaktion am Ausgang des Flipflops.
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||||||
|
\item $t_s$: Setup-Zeit $\rightarrow$ bestimmt wie lange ein Daten-Signal (hier D) vor der aktiven Taktflanke unverändert anliegen muss, um sicher in das Flipflop übernommen zu werden.
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|
\item $t_h$: Haltezeit $\rightarrow$ gibt an, wie lange ein Daten-Signal nach der aktiven Taktflanke unverändert anliegen muss, um sicher in das Flipflop übernommen zu werden.
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||||||
|
\end{itemize} \cite{Luisier2024}
|
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||||||
|
Die Verzögerungszeiten von Flipflops beeinflusst die Frequenz vom Taktsignal. Ist die Frequenz zu hoch, so kann der Flipflop nicht rechtzeitig schalten. Die maximale Taktfrequenz eines Flipflops wird meistens durch den Hersteller gegeben.
|
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102
hs24/digitaltechnik/latches_flipflops/grundlagen.tex
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\section{Grundlagen der Latches}
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\subsection{Rückkopplungsprinzip}
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In den letzten paar Kapitel haben wir hauptsächlich kombinatorische Schaltungen untersucht. Kombinatorische Schaltungen nehmen mehrere Eingänge und kombinieren sie durch logische Bauelemente zu einem Ausgang. Im Gegensatz zu kombinatorische Schaltungen können sequentielle Schaltungen ihren Ausgang als Eingang wiederverwenden. Dieser wird auch Rückkopplung genannt.
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_10.png} \cite{Luisier2024}
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Dieses Prinzip der Rückkopplung ist eine essenzielle Basis für Bauelemente, deren Aufgabe es ist Informationen zu speichern. Diese fungieren meistens als Kippschaltungen (Latches). Wir unterscheiden zwischen zwei Verschiedene Latches.
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|
\begin{enumerate}
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|
\item SR-Latch (Set/Reset Latch)
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|
\item D-Latch (Data Latch)
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|
\end{enumerate}
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|
\dfn{SR-Latch}{
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|
Der SR-Latch ist ein Kippschalter, welcher 2 Eingänge hat und 2 Ausgänge, wobei einer der Ausgänge die Inversion des anderen ist. Eines der Eingänge setzt den Zustand des Ausgangs auf 1 während der andere Eingang den Ausgang auf 0 setzt (zurücksetzt). Werden beide Eingänge nicht beschaltet, so bleiben die Eingänge in ihren vorherigen Zustand.
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|
\begin{center}
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|
\begin{tikzpicture}[circuit logic IEC]
|
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|
\node[nor gate] (nor1) at (0,0) {};
|
||||||
|
\node[nor gate] (nor2) at (0,-2) {};
|
||||||
|
\path[draw] (nor1.input 1) --++(left:10mm) node[point, label=180:S] {};
|
||||||
|
\path[draw] (nor2.input 2) --++(left:10mm) node[point, label=180:R] {};
|
||||||
|
\path[draw] (nor1.input 2) --++(left:5mm) --++(down:5mm);
|
||||||
|
\path[draw] (nor2.input 1) --++(left:5mm) --++(up:5mm);
|
||||||
|
\path[draw] (nor1.output) --++(right:10mm) --++(1,-2) --++(right:10mm) node[point, label=0:$\bar{\text{Q}}$] {};
|
||||||
|
\path[draw] (nor2.output) --++(right:10mm) --++(1,2) --++(right:10mm) node[point, label=0:$\text{Q}$] {};
|
||||||
|
\path[draw] (nor1.output) --++(right:5mm) --++(down:5mm) --++ (-1.75,-0.85);
|
||||||
|
\path[draw] (nor2.output) --++(right:5mm) --++(up:5mm) --++ (-1.75,0.85);
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
|
||||||
|
\tikzset{flipflop srlatch/.style={flipflop,
|
||||||
|
flipflop def={t1=S, t3=R, t6=Q, t4=$\bar{\text{Q}}$, n4=1}
|
||||||
|
}}
|
||||||
|
\node[flipflop srlatch]{};
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{tabular}{| c | c | c | c |}
|
||||||
|
S & R & $\text{Q}_{n+1}$ & $\bar{\text{Q}}_{n+1}$ \\
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
0 & 0 & $\text{Q}_n$ & $\bar{\text{Q}}_n$ \\
|
||||||
|
0 & 1 & 0 & 1 \\
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||||||
|
1 & 0 & 1 & 0 \\
|
||||||
|
1 & 1 & X & X \\
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||||||
|
\end{tabular}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
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|
|
||||||
|
\nt{
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||||||
|
Bei einem SR-Latch dürfen die Eingänge nicht gleichzeitig beschaltet werden, da dies zu einem Fehler führt.
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
SR-Latches können auch taktgesteuert sein. Dies bedeutet, dass der Ausgang nur verändert wird, sobald der Takteingang beschaltet ist.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
|
||||||
|
\tikzset{flipflop srlatch/.style={flipflop,
|
||||||
|
flipflop def={t1=S, t3=R, t6=Q, t4=$\bar{\text{Q}}$, n4=1}
|
||||||
|
}}
|
||||||
|
\path[draw] node[flipflop srlatch](srlatch){}
|
||||||
|
(srlatch.pin 1)--++(left:5mm)
|
||||||
|
node[and port](and1){}
|
||||||
|
(and1.out)
|
||||||
|
(srlatch.pin 3)--++(left:5mm)
|
||||||
|
node[and port](and2){}
|
||||||
|
(and2.out);
|
||||||
|
\path[draw] (and1.in 1) --++(left:10mm) node[point, label=180:S] {};
|
||||||
|
\path[draw] (and2.in 2) --++(left:10mm) node[point, label=180:R] {};
|
||||||
|
\path[draw] (and2.in 1) --++(up:6mm)--++(left:10mm) node[point, label=180:T] {};
|
||||||
|
\path[draw] (and1.in 2) --++(down:6mm);
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
|
||||||
|
\tikzset{flipflop srlatch/.style={flipflop,
|
||||||
|
flipflop def={t1=S, t2=T, t3=R, t6=Q, t4=$\bar{\text{Q}}$, n4=1}
|
||||||
|
}}
|
||||||
|
\node[flipflop srlatch]{};
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
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\subsection{D-Latch (Data-Latch)}
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\dfn{D-Latch}{
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Der D-Latch ist ein Kippschalter, welcher 1 Eingang hat und 2 Ausgänge. Der Eingang ist in Vergleich zum SR-Latch allein zuständig für das Setzen und Rücksetzen des Ausgangs bzw. des invertierten Ausgangs. Wie beim SR-Latch können D-Latches auch Taktgesteuert sein.
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}
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|
Taktgesteuerte Latches haben jedoch einen Nachteil. Sie sind sehr empfindlich zu Störungen. Deswegen eignet es sich eher, Flip-Flops zu verwenden, welche Taktflankengesteuert sind.
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|
\chapter{Latches und Flipflops}
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\input{grundlagen.tex}
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\input{einfuehrung.tex}
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|
\input{mehr_grundlagen.tex}
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|
\input{schaltungen.tex}
|
||||||
179
hs24/digitaltechnik/latches_flipflops/mehr_grundlagen.tex
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179
hs24/digitaltechnik/latches_flipflops/mehr_grundlagen.tex
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|
\section{Mehr über Flipflop Grundlagen}
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\subsection{JK und T-Flipflops}
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\dfn{JK-Flipflops (Jump-Kill Flipflops)}{
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|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
Der JK-Flipflop ist eine Erweiterung des SR-Flipflops. Beim SR-Flipflop war das Problem, dass beide Eingänge nicht gleichzeitig beschaltet werden dürfen, da dies zu einem Fehler führt. Dieses Problem existiert nicht mehr, da JK-Flipflops einfach die Ausgänge invertiert (Toggeln).
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{tabular}{| c | c | c | c |}
|
||||||
|
J & K & $\text{Q}_{1n+1}$ & $\text{Q}_{2n+1}$ \\
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
0 & 0 & $\text{Q}_{1n}$ & $\text{Q}_{2n}$ \\
|
||||||
|
0 & 1 & 0 & 1 \\
|
||||||
|
1 & 0 & 1 & 0 \\
|
||||||
|
1 & 1 & $\overline{\text{Q}_{1n}}$ & $\overline{\text{Q}_{2n}}$ \\
|
||||||
|
\end{tabular}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
|
||||||
|
\draw (0,0) node[flipflop JK, dot on notQ](tff1){};
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_19.png} \cite{Luisier2024}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\nt{
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|
JK-Latches existieren auch.
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|
}
|
||||||
|
|
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|
}
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|
\dfn{T-Flipflops (Toggle Flipflops)}{
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|
Beim T-Flipflop gibt es zwei Varianten.
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|
\\
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|
Bei der ersten Variante hat der T-Flipflop nur den Takteingang. Die Aufgabe dieses Flipflops ist es, den Zustand vom Ausgang zu invertieren, sobald das Taktsignal seinen Zustand ändert.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
|
||||||
|
\draw (0,0) node[flipflop T, dot on notQ, external pins width=0](tff){};
|
||||||
|
\path[draw] (tff.bpin 3) --++(left:2.5mm);
|
||||||
|
\path[draw] (tff.bpin 4) --++(right:2.5mm);
|
||||||
|
\path[draw] (tff.bpin 6) --++(right:2.5mm);
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_20.png} \cite{Luisier2024}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
Bei der zweiten Variante hat der T-Flipflop 2 Eingänge. Bei diesem Flipflop wird der Ausgang invertiert, sobald der Toggle Eingang beschaltet ist und das Taktsignal seinen Zustand ändert.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{circuitikz}[european]
|
||||||
|
\draw (0,0) node[flipflop T, dot on notQ](tff1){};
|
||||||
|
\end{circuitikz}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_21.png} \cite{Luisier2024}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\subsection{D-Flipflops in CMOS Technik}
|
||||||
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|
||||||
|
Um D-Flipflops durch Transistoren realisieren zu können, benötigen wir Transmission Gates.
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||||||
|
|
||||||
|
\dfn{Transmission Gates}{
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||||||
|
Transmission Gates sind Bauelemente, welche für den Aufbau von Logikgattern benötigt wird. Sie bestehen aus einem PMOS Transistor und einem NMOS Transistor. Dadurch können sie High- als auch Low-Pegel übertragen. \cite{Vasylyev2024}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\begin{tabular}{| c | c | c | c |}
|
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|
T & IN & Wiederstand & OUT \\
|
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|
\hline
|
||||||
|
0 & 0 & hochohmig & - \\
|
||||||
|
0 & 1 & hochohmig & - \\
|
||||||
|
1 & 0 & niederohmig & 0 \\
|
||||||
|
1 & 1 & niederohmig & 1 \\
|
||||||
|
\end{tabular}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_22.png} \cite{Luisier2024}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
Das Verhalten von Transmission Gates hängt von der Eingangsspannung $V_{\text{in}}$ ab. Ist das Taktsignal beschaltet und die Eingangsspannung $<0$, so ist die Gate-Source Spannung $V_{\text{gs}}$ des PMOS Transistors $-V_{\text{in}}$ und der PMOS Transistor leitet. Dies ist anders beim NMOS Trasistor, welcher gesperrt bleibt. Wenn $V_{\text{in}} >0$ dann ist es die umgekehrte Situation und der NMOS Transistor leitet.
|
||||||
|
|
||||||
|
\dfn{D-FlipFlops in CMOS Technik}{
|
||||||
|
Um ein D-Flipflop mit Transmission Gates zu realisieren, benötigt man vier Transmission Gates und vier Inverter bzw. zwei Transmission Gates und zwei Inverter pro Latch.
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||||||
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|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_23.png} \cite{Luisier2024}
|
||||||
|
|
||||||
|
Mit CMOS Transistoren würde die vorherige Schaltung wie folgt aussehen.
|
||||||
|
|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_24.png} \cite{Luisier2024}
|
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|
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$\Rightarrow$ Für ein D-Flipflop werden acht PMOS- und acht NMOS-Transistoren benötigt.
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}
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\subsection{Weitere Flipflop Eigenschaften}
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Ein JK-Flipflop kann immer durch ein D-Flipflop ersetzt werden. Neben den D-Flipflop selbst werden zwei AND und ein OR zusätzlich benötigt.
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\begin{center}
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\begin{circuitikz}[european]
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\path[draw] node[flipflop D, dot on notQ](dff){}
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(dff.pin 4) --++(right:15mm) node[point, label=0:$\bar{\text{Q}}$]{}
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(dff.pin 6) --++(right:15mm) node[point, label=0:Q]{}
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(dff.pin 3) --++ (left:10mm) node[point, label=180:CLK]{}
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(dff.pin 1) --++(left:5mm)
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node[or port, anchor=out](or){}
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(or.in 1) --++(left:5mm)
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node[and port, anchor=out](and1){}
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(and1.in 2) --++(left:10mm) node[point, label=180:J]{}
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(or.in 2) --++(left:5mm) --++(down:20mm) --++(left:5mm)
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node[and port, anchor=out](and2){}
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node [notcirc, left] at (and2.bin 1) {}
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(and2.in 1) --++(left:10mm) node[point, label=180:K]{}
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(dff.pin 4) --++(right:5mm) --++(up:30mm) --++(left:77mm) --++(down:9mm)
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(dff.pin 6) --++(right:10mm) --++(down:30mm) --++(left:86.5mm) --++(up:5.5mm);
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\end{circuitikz}
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\end{center}
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Flipflops können zusätzlich noch einen zusätzlichen Setz- bzw. Rücksetzkontakt haben. Dieser tut den Ausgang, egal in welchen Zustand das Taktsignal oder die Eingänge sind, setzen bzw. rücksetzen.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{circuitikz}[european]
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\path[draw] node[flipflop D, dot on notQ, add async SR](dff){};
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\end{circuitikz}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{circuitikz}[european]
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\path[draw] node[flipflop JK, dot on notQ, add async SR](dff){};
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\end{circuitikz}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\dfn{JK-LF-Flipflops (Jump-Kill-Leader-Follower Flipflops)}{
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JK-LF-Flipflops (Zwischenspeicher Flipflops) sind in der Lage Signale zwischenzuspeichern und erst bei der nächsten fallenden Taktflanke zum Ausgang weiterzuleiten.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{circuitikz}[european]
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\path[draw] node[flipflop JK, dot on notQ](jkff1){}
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(jkff1.pin 1) --++(left:10mm) node[point, label=180:J]{}
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(jkff1.pin 2) --++(left:10mm) node[point, label=180:CLK]{}
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(jkff1.pin 3) --++(left:10mm) node[point, label=180:K]{}
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(jkff1.pin 6) --++(right:10mm)
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node[flipflop JK, dot on notQ, anchor=pin 1](jkff2){}
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node [notcirc, left] at (jkff2.bpin 2) {}
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(jkff1.pin 4) --++(right:10mm)
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(jkff2.pin 4) --++(right:10mm) node[point, label=0:Q]{}
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(jkff2.pin 6) --++(right:10mm) node[point, label=0:$\bar{\text{Q}}$]{}
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(jkff1.pin 2) --++(left:5mm) --++(down:15mm) --++(right:33mm) --++(up:15mm) --++(right:5mm);
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\end{circuitikz}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{circuitikz}
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\tikzset{flipflop JKLF/.style={flipflop,
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flipflop def={t1=J, t2=CLK, t3=K, t4=$\neg$, t6=$\neg$, c2=1, n4=1}
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}}
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\node [flipflop JKLF]{};
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\end{circuitikz}
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\end{center}
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\end{minipage}
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}
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18
hs24/digitaltechnik/latches_flipflops/schaltungen.tex
Normal file
18
hs24/digitaltechnik/latches_flipflops/schaltungen.tex
Normal file
@ -0,0 +1,18 @@
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\section{Schaltungen mit Flipflops} \label{sec:ffcirc}
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\subsection{Frequenzteiler und Zähler}
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Mithilfe von T-Flipflops kann die Frequenz vom Taktsignal verringert werden. Jeder T-Flipflop verringert die Frequenz um den Faktor 2. Dies bedeutet mit $n$ Flipflops wird die Frequenz um den Faktor $2 ^{n}$ verringert.
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\begin{center}
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\begin{circuitikz}[european]
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\draw (0,0) node[flipflop T, dot on notQ](tff1){}
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(tff1.pin 3) --++(left:10mm) node[point, label=180:CLK] {}
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(tff1.pin 6) --++(right:15mm) --++(down:17mm) --++(right:5mm)
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node[flipflop T, dot on notQ, anchor=pin 3](tff2){}
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(tff2.pin 6) --++(right:10mm) node[point, label=0:Q] {};
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\path[draw] (tff1.pin 6) --++(right:10mm) --++(up:10mm) node[point, label=90:M] {};
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\end{circuitikz}
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\end{center}
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Mit zwei T-Flipflops kann auch ein zwei Bit Zähler erstellt werden. Dazu wird der Ausgang vom ersten Flipflop für den LSB verwendet und der Ausgang vom zweiten Flipflop als MSB verwendet. Die höchste Zahl hängt von der Anzahl Flipflops ab. Grundsätzlich kann man sagen, dass $n$ Flipflops von 0 bis $2 ^{n}-1$ zählen kann.
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