Analysis Chapter 2

Added Analysis Chapter 2

fs25/analysis_I_II/grundlagen/funktionen.tex

@@ -15,10 +15,10 @@ Intuitiv ist eine Funktion (oder Abbildung) von $X$ nach $Y$ eine Vorschrift, di
 }
 
 \dfn{Definitionsbereich, Zielbereich, Graph, Wert in einem Punkt}{
-	Für die Funktion $f$ haben wir folgende Definitonen um die Eigenschaften einer Funktion zu definieren.
+	Für die Funktion $f$ haben wir folgende Definitionen um die Eigenschaften einer Funktion zu definieren.
 
 	\begin{itemize}
-		\item $\text{dom } f := \text{dom}(f) := \text{Definitionsbereich von } f := X$ Der Definitonsbereich sind die Werte von $x$, welche für diese Funktion erlaubt sind.
+		\item $\text{dom } f := \text{dom}(f) := \text{Definitionsbereich von } f := X$ Der Definitionsbereich sind die Werte von $x$, welche für diese Funktion erlaubt sind.
 		\item $\text{codom } f := \text{codom}(f) := \text{Zielbereich von } f := Y$ Der Zielbereich sind die Werte von $y$, welche für diese Funktion erlaubt sind.
 		\item Graph von $f := G$
 		\item Wert von $f$ an der Stelle $x \in X := f(x) := y$
@@ -81,13 +81,13 @@ Wir werden nun weitere Eigenschaften von Funktionen kennenlernen: Die Injektivit
 	\begin{itemize}
 		\item Die Identität $\text{id}_x$ ist bijektiv
 		\item Die Funktion $f : [ 0, \infty ) \rightarrow \mathbb{R}, f(x) := x$, ist injektiv und nicht surjektiv.
-		\item Die Funktion $f :\mathbb{R} \rightarrow [ 0, \infty ) , f(x) := x ^2$, sit nicht injektiv, aber surjektiv.
+		\item Die Funktion $f :\mathbb{R} \rightarrow [ 0, \infty ) , f(x) := x ^2$, ist nicht injektiv, aber surjektiv.
 		\item Die Funktion $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) := x ^2$, ist weder injektiv noch surjektiv.
 	\end{itemize}
 }
 
 \nt{
-	Die Identität ist eine Funktion welches sich selber wieder ausgibt.
+	Die Identität ist eine Funktion, welches sich selber wieder ausgibt.
 
 	\[
 		f(x) = x
@@ -96,7 +96,7 @@ Wir werden nun weitere Eigenschaften von Funktionen kennenlernen: Die Injektivit
 }
 
 \dfn{Umkehrfunktion / Inverse}{
-	Die Umkehrfunktion oder Inverse einer Funktion ist eine Funktion, welches das Gegenteil der Ursprünglichen Funktion $f$ macht.
+	Die Umkehrfunktion oder Inverse einer Funktion ist eine Funktion, welches das Gegenteil der ursprünglichen Funktion $f$ macht.
 
 	\[
 		f ^{(-1)} : Y \rightarrow X, f ^{(-1)}(y) := x
@@ -120,9 +120,9 @@ Wir werden nun weitere Eigenschaften von Funktionen kennenlernen: Die Injektivit
 		g \circ f : X \rightarrow Z, g \circ f(x) := g(f(x))
 		.\]
 
-	Dies bdeuetet nichts weiter, dass der codom($f$) in die Funktion $g$ eingesetzt wird, und ELemente von $Z$ dabei herauskommen.
+	Dies bedeutet nichts weiter, dass der codom($f$) in die Funktion $g$ eingesetzt wird, und Elemente von $Z$ dabei herauskommen.
 	\\
-	Wichtig zu erwähnen ist, dass die codom($f$) = dom($g$) ist weil sonst die Verknüpfung nicht funktionieren würde.
+	Wichtig zu erwähnen ist, dass die codom($f$) = dom($g$) ist, weil sonst die Verknüpfung nicht funktionieren würde.
 }
 
 \exa{Verknüpfung, Reihenfolge davon \cite{Ziltner2024}}{
@@ -163,6 +163,6 @@ Wir werden nun weitere Eigenschaften von Funktionen kennenlernen: Die Injektivit
 			      g \circ f : \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R}, g \circ f(x,y) = \text{exp}(x + y) = e ^{x + y}
 			      .\]
 
-		      Die umgekehrte Verknüpfung $f \circ g$ ist nicht wohldefiniert (= sinnvoll), da der Yielbereich von $g$, also $\mathbb{R}$, nivcht gleich  dem Definitionsbereich von $f$, also $\mathbb{R} ^2$, ist.
+		      Die umgekehrte Verknüpfung $f \circ g$ ist nicht wohldefiniert (= sinnvoll), da der Zielbereich von $g$, also $\mathbb{R}$, nicht gleich  dem Definitionsbereich von $f$, also $\mathbb{R} ^2$, ist.
 	\end{itemize}
 }

fs25/analysis_I_II/grundlagen/logik.tex

@@ -2,13 +2,13 @@
 
 \subsection{Grundlagen}
 
-In der Logik werden (mathematische) Aussagen untersucht. Eine Aussage ist eine Äusserung, die entweder wahr oder falsch ist. \cite{Ziltner2024} (Wahr oder Falsch).
+In der Logik werden (mathematische) Aussagen untersucht. Eine Aussage ist eine Äusserung, die entweder wahr oder falsch ist. \cite{Ziltner2024} (wahr oder falsch).
 \\
 \\
 In der mathematischen Logik gelten die folgenden Sätze.
 
 \begin{itemize}
-	\item \textbf{Satz vom ausgeschlossenen Wiederspruch:} Eine Aussage ist nicht sowohl war als auch falsch.
+	\item \textbf{Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch:} Eine Aussage ist nicht sowohl war als auch falsch.
 	\item \textbf{Satz vom ausgeschlossenen Dritten:} Jede Aussage ist wahr oder falsch.
 \end{itemize} \cite{Ziltner2024}
 
@@ -42,7 +42,7 @@ Für Verknüpfungen verwenden wir folgende Notationen.
 	\end{tabular}
 \end{center}
 
-Die Wahrheitstabelle der vorher erwähnten Verknüpfungen sind wie folgt.
+Die Wahrheitstabelle der vorher erwähnten Verknüpfungen ist wie folgt.
 
 \begin{center}
 	\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c |}
@@ -58,7 +58,7 @@ Die Wahrheitstabelle der vorher erwähnten Verknüpfungen sind wie folgt.
 Aus der Tabelle kann man die Zusammenhänge der Verknüpfungen erkennen.
 
 \nt{
-	Wir unterscheiden zwischen dem inklusiven Oder und dem exklusiven Oder. Beim inklusiven Oder können beide Aussagen warh sein während beim exklusiven oder nur einer der beiden Aussagen wahr sein kann.
+	Wir unterscheiden zwischen dem inklusiven Oder und dem exklusiven Oder. Beim inklusiven Oder können beide Aussagen wahr sein während beim exklusiven oder nur einer der beiden Aussagen wahr sein kann.
 }
 
 \nt{
@@ -105,7 +105,7 @@ In der Mathematik sind Axiome von grosser Bedeutung. Sie sind das Fundament der
 Um Aussagen zu Beweisen, verwenden wir in der Logik den Modus Ponens.
 
 \dfn{Modus Ponens}{
-	Ein Beweis einer Aussage $A$ ist eine sukzessive Herleitung von $A$ aus dem Axiomen, in der logische Schlussregeln angewendet werden. Eine solche Regel ist der Modus Ponens.
+	Ein Beweis einer Aussage $A$ ist eine sukzessive Herleitung von $A$ aus den Axiomen, in der logische Schlussregeln angewendet werden. Eine solche Regel ist der Modus Ponens.
 
 	\begin{tabular}{ c }
 		$A$               \\

fs25/analysis_I_II/grundlagen/mengenlehre.tex

@@ -71,7 +71,7 @@ Wenn die Menge $A$ auch in der Menge $B$ liegt, so ist $A$ eine Teilmenge von $B
 }
 
 \thm{Tupel}{
-	Wenn wir eine Liste von Elementen, bestehen aus $x_1, ..., x_{n}$ haben, so nennen wir diese Liste ein Tupel. Die Anzahl von Elementen $n$ sowie die Anordunng der Elementen spielt eine Rolle.
+	Wenn wir eine Liste von Elementen, bestehen aus $x_1, ..., x_{n}$ haben, so nennen wir diese Liste ein Tupel. Die Anzahl von Elementen $n$ sowie die Anordnung der Elementen spielt eine Rolle.
 
 	\begin{itemize}
 		\item Für $n = 2$ nennen wir den Tupel ein Paar.
@@ -79,7 +79,7 @@ Wenn die Menge $A$ auch in der Menge $B$ liegt, so ist $A$ eine Teilmenge von $B
 		\item Für alle anderen $n$ bezeichnet man die Liste als n-Tupel.
 	\end{itemize}
 
-	Wie schon vorher erwähnt spielt die Anordung eine grosse Rolle. ($(x_1, x_2) \neq (x_2, x_1)$)
+	Wie schon vorher erwähnt spielt die Anordnung eine grosse Rolle. ($(x_1, x_2) \neq (x_2, x_1)$)
 }
 
 \thm{Karthesisches Produkt}{
@@ -144,7 +144,7 @@ Die euklidische Norm $|| \cdot ||$ ist die Distanz von einem Punkt, z.B. $\nu$ z
 \end{figure}
 
 \nt{
-	Das die Sphäre eine Dimension verliert ($n-1$) ist auf dem ersten Blick verwirrend, macht aber Sinn. Bei einer Sphäre wird nur der Mantel betrachtet. Dadurch wird der Freiheitsgrad verringert was dazu führt, dass eine Dimension verloren geht i.e. der Mantel einer Kugel ist eine Fläche oder der Rand einer Kreisscheibe ist eine Linie.
+	Dass die Sphäre eine Dimension verliert ($n-1$) ist auf den ersten Blick verwirrend, macht aber Sinn. Bei einer Sphäre wird nur der Mantel betrachtet. Dadurch wird der Freiheitsgrad verringert was dazu führt, dass eine Dimension verloren geht i.e. der Mantel einer Kugel ist eine Fläche oder der Rand einer Kreisscheibe ist eine Linie.
 }
 
 \thm{Fall $r = 0$ und $r = \infty$}{

fs25/analysis_I_II/grundlagen/quantoren.tex

@@ -23,10 +23,10 @@ Quantoren sind logische Operatoren, die angeben, wie viele Objekte $x$ eine Bedi
 }
 
 \nt{
-	Die Reihenfolge der Quantoren spielt eine Rolle. Dies können wir an den vorheringen Beispielen erkennen.
+	Die Reihenfolge der Quantoren spielt eine Rolle. Dies können wir an den vorherigen Beispielen erkennen.
 }
 
-\thm{Verneinung einer quantifizierten Assageform}{
+\thm{Verneinung einer quantifizierten Aussageform}{
 	Die Verneinung von den Quantoren $\forall$ und $\exists$ ist wie folgt definiert.
 
 	\[