169 lines
6.1 KiB
TeX
169 lines
6.1 KiB
TeX
\section{Funktionen}
|
|
|
|
Intuitiv ist eine Funktion (oder Abbildung) von $X$ nach $Y$ eine Vorschrift, die jedem Element $x \in X$ ein eindeutiges Element $y \in Y$ zuordnet. \cite{Ziltner2024}
|
|
|
|
\dfn{Funktion}{
|
|
Eine Funktion (oder Abbildung) ist ein Tripel
|
|
|
|
\[
|
|
f = (X, Y, G)
|
|
,\]
|
|
|
|
wobei $X$ und $Y$ Mengen sind und $G \subseteq X \times Y$ eine Teilmenge, sodass es für jedes $x \in X$ genau ein $y \in Y$ gibt, sodass $(x,y) \in G$.
|
|
|
|
\cite{Ziltner2024}
|
|
}
|
|
|
|
\dfn{Definitionsbereich, Zielbereich, Graph, Wert in einem Punkt}{
|
|
Für die Funktion $f$ haben wir folgende Definitionen um die Eigenschaften einer Funktion zu definieren.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\text{dom } f := \text{dom}(f) := \text{Definitionsbereich von } f := X$ Der Definitionsbereich sind die Werte von $x$, welche für diese Funktion erlaubt sind.
|
|
\item $\text{codom } f := \text{codom}(f) := \text{Zielbereich von } f := Y$ Der Zielbereich sind die Werte von $y$, welche für diese Funktion erlaubt sind.
|
|
\item Graph von $f := G$
|
|
\item Wert von $f$ an der Stelle $x \in X := f(x) := y$
|
|
\item $f : X \rightarrow Y := "\text{dom } f = X \text{und codom } f = Y"$
|
|
\end{itemize}
|
|
}
|
|
|
|
\dfn{Bild}{
|
|
Das Bild einer Funktion $f$ ist eine Menge, welche die möglichen $\text{codom}(f)$ beinhaltet ($\text{im}(f) \subseteq \text{codom}(f)$).
|
|
|
|
\[
|
|
f(A) := \{ f(x) | x \in A\}
|
|
.\]
|
|
|
|
Was bedeutet das? Wenn wir die Menge $A$, welches eine Teilmenge von $X$ ist, auf $f$ verwenden, so bekommen wir ein Teil, gegebenenfalls alle Elemente von $Y$.
|
|
}
|
|
|
|
\dfn{Urbild}{
|
|
Das Urbild einer Funktion $f$ ist eine Menge, welche die möglichen $\text{dom}(f)$ beinhaltet ($f ^{-1} \subseteq \text{dom}(f)$)
|
|
|
|
\[
|
|
f ^{-1} (B) := \{ x \in X | f(x) \in B \}
|
|
.\]
|
|
|
|
Was bedeutet das? Wenn wir die Menge $B$, welches eine Teilmenge von $Y$ ist, auf die Inverse von $f$ ($f ^{-1}$) verwenden, so bekommen wir ein Teil, gegebenenfalls alle Elemente von $X$.
|
|
}
|
|
|
|
Wir werden nun weitere Eigenschaften von Funktionen kennenlernen: Die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
|
|
|
|
\dfn{Injektiv}{
|
|
Eine Funktion ist injektiv wenn
|
|
|
|
\[
|
|
\forall x , x' \in X : f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'
|
|
.\]
|
|
|
|
Einfach gesagt bedeutet dies, dass ein Element von $X$ nicht dasselbe Resultat ausgibt, wenn das Element in die Funktion eingesetzt wird.
|
|
}
|
|
|
|
\dfn{Surjektiv}{
|
|
Eine Funktion ist surjektiv wenn
|
|
|
|
\[
|
|
\forall y \in Y \exists x \in X : f(x) = y
|
|
.\]
|
|
|
|
Einfach gesagt bedeutet dies, dass ein Element von Y durch ein Element von X zugeordent ist. Dabei kann ein Element von X auch mehrere Elemente von Y zugeordnet sein.
|
|
}
|
|
|
|
\dfn{Bijektiv}{
|
|
Eine Funktion ist bijektiv wenn sie injektiv und surjektiv ist. Mathematisch bedeutet dies
|
|
|
|
\[
|
|
(\forall x , x' \in X : f(x) = f(x') \Rightarrow x = x') \land (\forall y \in Y \exists x \in X : f(x) = y)
|
|
.\]
|
|
|
|
}
|
|
|
|
\exa{injektiv, surjektiv, bijektiv \cite{Ziltner2024}}{
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Die Identität $\text{id}_x$ ist bijektiv
|
|
\item Die Funktion $f : [ 0, \infty ) \rightarrow \mathbb{R}, f(x) := x$, ist injektiv und nicht surjektiv.
|
|
\item Die Funktion $f :\mathbb{R} \rightarrow [ 0, \infty ) , f(x) := x ^2$, ist nicht injektiv, aber surjektiv.
|
|
\item Die Funktion $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) := x ^2$, ist weder injektiv noch surjektiv.
|
|
\end{itemize}
|
|
}
|
|
|
|
\nt{
|
|
Die Identität ist eine Funktion, welches sich selber wieder ausgibt.
|
|
|
|
\[
|
|
f(x) = x
|
|
.\]
|
|
|
|
}
|
|
|
|
\dfn{Umkehrfunktion / Inverse}{
|
|
Die Umkehrfunktion oder Inverse einer Funktion ist eine Funktion, welches das Gegenteil der ursprünglichen Funktion $f$ macht.
|
|
|
|
\[
|
|
f ^{(-1)} : Y \rightarrow X, f ^{(-1)}(y) := x
|
|
.\]
|
|
|
|
In anderen Worten: wenn man ein Element von X in die Funktion einsetzt, so bekommt man ein Element von Y. Wichtig zu erwähnen ist, dass eine Inverse nur existiert, wenn die Funktion bijektiv ist.
|
|
}
|
|
|
|
\exa{Umkehrfunktion / Inverse \cite{Ziltner2024}}{
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Die Umkehrfunktion der Identität $\text{id}_x$ ist $\text{id}_x ^{-1} = \text{id}_x$.
|
|
\item Die Funktion $f : [ 0 , \infty ) , f(x) := x ^2$, ist bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist die Quadratwurzelfunktion $\sqrt{} := f ^{-1} : [ 0, \infty) \rightarrow [ 0 , \infty)$.
|
|
\item Die Exponentialfunktion exp als Funktion von $X := \mathbb{R}$ nach $Y := (0, \infty)$ ist bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus $\text{log} := \text{exp} ^{-1} : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$.
|
|
\end{itemize}
|
|
}
|
|
|
|
\dfn{Verknüpfung von Funktionen}{
|
|
Die Verknüpfung von Funktion ist wie folgt definiert.
|
|
|
|
\[
|
|
g \circ f : X \rightarrow Z, g \circ f(x) := g(f(x))
|
|
.\]
|
|
|
|
Dies bedeutet nichts weiter, dass der codom($f$) in die Funktion $g$ eingesetzt wird, und Elemente von $Z$ dabei herauskommen.
|
|
\\
|
|
Wichtig zu erwähnen ist, dass die codom($f$) = dom($g$) ist, weil sonst die Verknüpfung nicht funktionieren würde.
|
|
}
|
|
|
|
\exa{Verknüpfung, Reihenfolge davon \cite{Ziltner2024}}{
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Wir betrachten $X := Y := Z$ und die Funktionen
|
|
|
|
\[
|
|
f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) := x + 1, g(y) := y ^2
|
|
.\]
|
|
|
|
Die Verknüpfung von $f$ und $g$ ist gegeben durch
|
|
|
|
\[
|
|
g \circ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g \circ f(x) = (x + 1) ^2
|
|
.\]
|
|
|
|
Der Zielbereich von $g$ ist gleich $\mathbb{R}$. Das stimmt mit dem Definitionsbereich von $f$ überein. Daher ist die umgekehrte Verknüpfung ebenfalls sinnvoll. Sie ist gegeben durch
|
|
|
|
\[
|
|
f \circ g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f \circ g(y) = y ^2 + 1
|
|
.\]
|
|
|
|
In diesem Beispiel gilt daher
|
|
|
|
\[
|
|
g \circ f \neq f \circ g
|
|
.\]
|
|
|
|
\item Wir betrachten $X := \mathbb{R} ^2, Y := Z := \mathbb{R}$ und die Funktionen
|
|
|
|
\[
|
|
f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x,y) := x + y, g := \text{exp} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
|
|
.\]
|
|
|
|
Die Verknüpfung von $f$ und $g$ ist gegeben durch
|
|
|
|
\[
|
|
g \circ f : \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R}, g \circ f(x,y) = \text{exp}(x + y) = e ^{x + y}
|
|
.\]
|
|
|
|
Die umgekehrte Verknüpfung $f \circ g$ ist nicht wohldefiniert (= sinnvoll), da der Zielbereich von $g$, also $\mathbb{R}$, nicht gleich dem Definitionsbereich von $f$, also $\mathbb{R} ^2$, ist.
|
|
\end{itemize}
|
|
}
|