Initial Commit and Notes from HS24

hs24/analysis_I/I_differentialrechnung_r/I_differentialrechnung_r.tex

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+\chapter{Differentialrechnung auf $\mathbb{R}$}
+
+Intuitiv ist die Ableitung einer Funktion $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ an einer Stelle $x_0 \in \mathbb{R}$ die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ durch den Punkt $x_0, f(x_0)$. Genauer gesagt, ist die Ableitung der Grenzwert der Steigungen der Sekanten durch $(x_0, f(x_0)$ und $(x, f(x))$ für $x$ gegen $x_0$. Ableitungen sind allgegenwärtig in den Wissenschaften und im Ingenieurwesen. In der Mechanik ist die Geschwindigkeit eines Teilchens zum Beispiel die Ableitung seines Ortes als eine Funktion der Zeit. Als ein anderes Beispiel ist in einem elektrischen Schwingkreis die Stromstärke gleich der Ableitung der Ladung des Kondensators als eine Funktion der Zeit.
+
+\input{differential_differentiationsregel.tex}
+\input{mittelwertsatz_folgerungen.tex}
+

hs24/analysis_I/I_differentialrechnung_r/differential_differentiationsregel.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\section{Differential und Differentiationsregeln}
+
+\nt{
+\[
+  dx \text{ und } dy \text{ sind Differentialen. } \Rightarrow f'(x_0) = \frac{dy}{dx}, dx \text{ nennt man Differentialquotient.}
+.\]
+}
+
+\nt{
+  Je kleiner $\Delta x$ ist, desto näher kommt es an den Wert von $\Delta y$ für:
+  \[
+    \Delta y \equiv f'(x_0) \Delta x
+  .\]
+
+  % TODO: Add figure
+}
+
+\exa{}{
+\[
+  f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) := x ^2, f'(x_0 = 0) = 0
+.\]
+
+%TODO: Add figure
+}
+
+%TODO: Add proof for Summen-, Produkt- und Quotioentenregel
+
+%TODO: Complete Proof
+
+%TODO: Complete Proof
+
+\nt{
+  Die Menge $U$ ist offen, da $f$ stetig ist. Dies folgt aus dem Fakt, da das Urbild $f ^{-1}(V)$ offen ist $\forall V$ offen. 
+}
+
+%TODO: Add Examples and reference Exercises
+

hs24/analysis_I/I_differentialrechnung_r/mittelwertsatz_folgerungen.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\section{Mittelwertsatz und Folgerungen}
+
+\nt{
+  Für 
+  \[
+    f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
+  .\]
+
+  gilt, dass $a$ die Steigung der Sekante ist.
+
+  %TODO: Add fig
+}
+
+\nt{
+  $\Rightarrow$ Die Funktion hat genau eine Lösung, die auch nach $f(0) = y_0$ erfüllt, mit $y_0 \in \mathbb{R}$ vorgegeben, nämlich $f(x) = ye ^{cx}$.
+}
+
+\exa{}{
+  \[
+  \frac{x ^{n}}{e ^{(x ^{n})}} ?
+  .\]
+
+  \[
+    \frac{n \cdot x ^{n-1}}{e ^{(x ^{n})}} = \frac{e ^{x} - 1}{x} = \text{exp}(0) = 1
+  .\]
+}
+
+% TODO: Add Proof