Initial Commit and Notes from HS24

hs24/technische_mechanik/kinematik/aequivalenz_reduktion_kraeftegruppen.tex

@@ -0,0 +1,92 @@
+\section{Äquivalenz und Reduktion von Kräftegruppen}
+
+\dfn{Kräftegruppe}{
+	Eine Kräftegruppe ist eine Sammlung an Kräften, welche an einem Starrkörper wirken.
+
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_19.png}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\begin{equation}
+			\{ \vec{F}_i \} = \{ \vec{F_1}, \vec{F_2}, ... , \vec{F_N} \}
+		\end{equation}
+	\end{minipage}
+
+	\nt{
+		Um die resultierende Kraft an einem Punkt $P_i$ zu bestimmen, wären sehr rechenaufwendige Prozesse nötig, welche mit grosser Wahrscheinlichkeit hier nicht besprochen wurden.
+	}
+
+}
+
+\dfn{Zentrale Kräftegruppe}{
+	Wenn alle Wirkungslinien aller Kräfte einer Kräftegruppe durch einen Punkt gehen, so kann der Punkt als Angriffspunkt gesehen werden. In Kapitel \ref{sec:kraft} haben wir gelernt, dass eine Kraft entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden kann, weshalb die Kräfte auf einen Punkt wirken. Aus diesem Grund kann die resultierende Kraft $\vec{R}$ sehr einfach berechnet werden.
+
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_20.png}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\[
+			\vec{R} = \sum_i \vec{F_i} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} \neq 0
+			.\]
+
+		\[
+			\vec{M_p} = \vec{0}
+			.\]
+	\end{minipage}
+}
+
+\dfn{Kräftepaar}{
+	Bei einem Kräftepaar haben die zwei Kräfte den gleichen Betrag aber die entgegengesetzte Richtung. Ihre Wirkungslinie müssen sich nicht schneiden.
+
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_21.png}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\[
+			\vec{R} = 0
+			.\]
+
+		\[
+			\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}
+			.\]
+
+		\[
+			|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = |F|
+			.\]
+
+		\[
+			\vec{F_1} = - \vec{F_2} = \vec{F}
+			.\]
+	\end{minipage}
+}
+
+\dfn{Nullsystem}{
+Ein Nullsystem bezeichnet ein Starrkörper oder eine Kräftegruppe, welche im Gleichgewicht ist. Dies setzt die folgenden Bedingungen vorraus.
+
+\[
+	\vec{R} = \vec{0}
+	.\]
+
+\[
+	\vec{M}_0 ^{tot} = \vec{0}
+	.\]
+}
+
+\dfn{Statische Äquivalenz}{
+	Statische Äquivalenz bezeichnet zwei Kräftegruppen, deren Gesamtleistung gleich ist.
+
+	\[
+		P(\{ \vec{F_i} \}) = P(\{ \vec{G_i} \})
+		.\]
+
+	Dies bedeutet, dass wenn zwei Kräftegruppen in einem beliebigen Punkt die gleiche Dyname haben, sind sie statisch äquivalent. \cite{Windt2023}
+}
+
+Wenn wir die Statische Äquivalenz von zwei Kräften betrachten, so muss folgendes gelten.
+
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_22.png}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	$\vec{F_A}$ und $\vec{F_B}$ sind statisch äquivalent.
+\end{minipage}

hs24/technische_mechanik/kinematik/dyname.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+
+\section{Die Dyname}
+
+Die Dyname hat eine Ähnlichkeit wie die Kinemate. (Kapitel \ref{sec:kin}) Die Dyname beschreibt die Bewegung eines Starrkörpers anhand der Resultierende Kraft und dem Moment. Wie bei der Kinemate gibt es zwei Invarianten. $I_1 = \vec{R}$ und $I_2 = \vec{M}_P \cdot \vec{\omega}$.

hs24/technische_mechanik/kinematik/ebene_bewegung.tex

@@ -0,0 +1,45 @@
+\section{Ebene Bewegungen} \label{sec:evenm}
+
+\dfn{Ebene Bewegung}{
+	Als ebene Bewegung bezeichnet man ein Körper, welches nur in unserem Fall in der xy-Ebene sich bewegt. Deswegen gilt die folgende Beziehung.
+
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\[
+			\left\{
+			\begin{array}{lr}
+				v_z = 0                                    \\
+				v_x = v_x(x,y) \text{ und } v_y = v_y(x,y) \\
+			\end{array}
+			\right.
+			.\]
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_4.png}
+	\end{minipage}
+}
+
+Für starre Körper unterscheiden wir zwischen zwei verschiedene ebene Bewegungen.
+
+\subsection*{Translation}
+
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_5.png}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	\begin{equation}
+		\vec{v}_A = \vec{v}_B
+	\end{equation}
+	$\Rightarrow$ Alle Punkte, welche innerhalb des Starrkörpers sind haben die gleiche Geschwindigkeit.
+\end{minipage}
+
+\subsection*{Rotation}
+
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_6.png}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	\begin{equation}
+		\vec{v}_p = \vec{\omega} \times \vec{r}_{MP}
+		\label{eq:rot}
+	\end{equation}
+\end{minipage}

hs24/technische_mechanik/kinematik/freiheitsgrad_bindung.tex

@@ -0,0 +1,31 @@
+\section{Freiheitsgrad und Bindung}
+
+\dfn{Freiheitsgrad}{
+  Unter den Freiheitsgrad versteht man die minimale Anzahl an Koordinaten, welche benötigt werden um die Lage eines Systems bestimmen zu können. \cite{Tiso2024} Dabei gilt die folgende Formel.
+
+  \begin{equation}
+    f = n - b
+  \end{equation}
+
+  $f$ ist der Freiheitsgrad, $n$ der Freiheitsgrad des ungebundenen Systems und $b$ die Anzahl unabhängiger Bindungen.
+}
+
+Im zweidimensionalen hat ein Starkörper immer den Freiheitsgrad 3. Im dreidimensionalen hat ein Starkörper den Freiheitsgrad 6.
+\\
+Für die Bindungen kann die folgende Tabelle betrachtet werden.
+
+\begin{center}
+  \begin{tabular}{| c | c | c |}
+     & Name & Bindung\\
+    \hline
+    \includegraphics[width=0.25\linewidth]{fig/Fig_24.png} & Auflager & 1\\
+    \includegraphics[width=0.25\linewidth]{fig/Fig_25.png} & Gelenk oder Slider & 2\\
+    \includegraphics[width=0.25\linewidth]{fig/Fig_26.png} & Einspannung & 3\\
+  \end{tabular}
+\end{center}
+
+Für Gelenke, welche Starkörper verbindet kann die folgende Formel verwendet werden.
+
+\begin{equation}
+  b = (\text{Anzahl Starkörper am Gelenk} - 1) \cdot 2
+\end{equation}

hs24/technische_mechanik/kinematik/geschwindigkeit.tex

@@ -0,0 +1,68 @@
+\section{Geschwindigkeit}
+
+\dfn{Geschwindigkeit}{
+	Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, welcher die Richtung sowie die Geschwindigkeit des Punktes beschreibt, mit welcher der Punkt die Bahnkurve durchläuft. Sie kann berechnet werden durch die zeitliche Ableitung der Ortsfunktion und verläuft immer tangential zur Bahnkurve.
+
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\[
+			\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = \frac{d}{dt} \vec{r}(t)
+			.\]
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_2.png}
+	\end{minipage}
+}
+
+Die Ableitung der Ortsfunktion geschieht komponentenweise.
+
+\subsection*{2D}
+
+\[
+	\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = \frac{d}{dt} \vec{r}(t) = \frac{d}{dt}
+	\begin{pmatrix}
+		x \\
+		y \\
+	\end{pmatrix} =
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{d}{dt}x \\
+		\frac{d}{dt}y \\
+	\end{pmatrix} =
+	\begin{pmatrix}
+		\dot{x} \\
+		\dot{y} \\
+	\end{pmatrix} =
+	\begin{pmatrix}
+		v_x \\
+		v_y \\
+	\end{pmatrix} =
+	v_x \cdot \vec{e}_x + v_y \cdot \vec{e}_y
+	.\]
+
+\subsection*{3D}
+
+\[
+	\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = \frac{d}{dt} \vec{r}(t) = \frac{d}{dt}
+	\begin{pmatrix}
+		x \\
+		y \\
+		z \\
+	\end{pmatrix}=
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{d}{dt}x \\
+		\frac{d}{dt}y \\
+		\frac{d}{dt}z \\
+	\end{pmatrix}=
+	\begin{pmatrix}
+		\dot{x} \\
+		\dot{y} \\
+		\dot{z} \\
+	\end{pmatrix}=
+	\begin{pmatrix}
+		v_x \\
+		v_y \\
+		v_z \\
+	\end{pmatrix}=
+	v_x \cdot \vec{e}_x + v_y \cdot \vec{e}_y + v_z \cdot \vec{e}_z
+	.\]
+
+

hs24/technische_mechanik/kinematik/kinemate.tex

@@ -0,0 +1,12 @@
+\section{Die Kinemate} \label{sec:kin}
+
+Wir haben in Kapitel \ref{sec:skf} gelernt, dass die Bewegung eines Starrkörpers durch zwei Vektoren eindeutig bestimmt werden kann. Dies wird bei den Kinematen eine wichtige Rolle spielen, denn die Kinematen beschreiben die Bewegung eines Starrkörpers.
+\\
+Die Kinemate ist bestimmt durch zwei Invarianten. $I_1 = \vec{\omega} \text{ und } I_2 = \vec{\omega} \cdot \vec{v}_P$.
+
+\begin{tabular}{| c | c | c |}
+	             & $I_2 = 0$                   & $I_2 \neq 0$ \\
+	\hline
+	$I_1 = 0$    & Translation oder Stillstand & -            \\
+	$I_1 \neq 0$ & Rotation                    & Kreiselung   \\
+\end{tabular}

hs24/technische_mechanik/kinematik/kinematik.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\chapter{Kinematik}
+
+\input{ortsfunktion.tex}
+\input{geschwindigkeit.tex}
+\input{schnelligkeit.tex}
+\input{spdg.tex}
+\input{ebene_bewegung.tex}
+\input{svm.tex}
+\input{freiheitsgrad_bindung.tex}
+\input{raeumliche_bewegung.tex}
+\input{starrkoerperformel.tex}
+\input{kinemate.tex}
+\input{kraft.tex}
+\input{reaktionsprinzip.tex}
+\input{moment.tex}
+\input{transformationsregel.tex}
+\input{leistung.tex}
+\input{dyname.tex}
+\input{aequivalenz_reduktion_kraeftegruppen.tex}
+

hs24/technische_mechanik/kinematik/kraft.tex

@@ -0,0 +1,41 @@
+\section{Kraft} \label{sec:kraft}
+
+\dfn{Kraft}{
+	Die Kraft ist eine physikalische Grösse, welche eine Einwirkung auf einen Körper hat. Die Kraft hat einen Betrag, eine Richtung, sowie ein Angriffspunkt.
+
+	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_13.png}
+
+	\nt{
+		Die Kraft kann entlang der Wirkungslinie verschoben werden ohne dabei ihre Wirkung zu verlieren.
+	}
+
+}
+
+\nt{
+	Man unterscheidet zwischen innere und äussere Kräfte. Äussere Kräfte sind Kräfte, welche von aussen auf den Starkörber Wirken, während innere Kräfte innerhalb des Starkörpers wirken.
+}
+
+
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_14.png}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	Falls die Kräft den gleichen Angriffspunkt haben, so können die Kräft vektoriell addiert werden.
+\end{minipage}
+
+\nt{
+	Negative Kräft haben entweder einen negativen Betrag oder zeigen in die entgegengesetzte Richtung.
+}
+
+\subsection{Resultierende Kraft}
+
+Die resultierende Kraft eines Starrkörpers kann durch die Summe aller Kräfte berechnet werden.
+
+\begin{equation}
+	\vec{R} = \sum \vec{F}_i
+\end{equation}
+
+\nt{
+	Die Addition von Kraftvektoren geschieht komponentenweise.
+}
+

hs24/technische_mechanik/kinematik/leistung.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\section{Leistung}
+
+Die Leistung beschreibt die Kraft, welche aufgewendet wurde in einer bestimmten Zeitspanne. Es gilt die folgende Formel.
+
+\begin{equation}
+	P = \vec{F} \cdot \vec{v}_Q
+\end{equation}
+
+\subsection{Gesamtleistung}
+
+Für die Gesamtleistung gilt die folgende Gleichung.
+
+\begin{equation}
+	P_{tot} = \sum P_i = \sum \vec{F}_i \cdot \vec{v}_Q + \sum \vec{M}_i \cdot \vec{\omega}_i
+\end{equation}
+
+\nt{
+	Wenn es sisch um eine Rotation handelt, dann fällt die Summe mit den Kräften weg.
+}
+
+\nt{
+	Falls alle Kräfte nur auf einem Starrkörper angreifen, dann gilt die folgende Formel.
+
+	\begin{equation}
+		P_{tot} = \vec{R} \cdot \vec{v}_A + \vec{M}_A \cdot \vec{\omega}
+	\end{equation}
+}
+

hs24/technische_mechanik/kinematik/moment.tex

@@ -0,0 +1,50 @@
+\section{Moment}
+
+\dfn{Moment}{
+	Eine Kraft, welche ein Starrkörper zum rotieren bringt wird als Moment bezeichnet. Im Vergleich zum Satz vom Momentanzentrum kann das Moment von irgendeinem Punkt innerhalb des Starrkörpers berechnet werden. Das Moment kann durch die folgende Formel berechnet werden.
+
+	\begin{equation}
+		\vec{M}_A = \vec{r}_{AP} \times \vec{F}_i
+	\end{equation}
+
+	Der Betrag vom Moment kann durch das verschieben der Kraft entlang der Wirkungslinie berechnet werden. Dazu berschiebt man die Kraft, bis sie orthogonal zu $\vec{r}$ ist. Daraus folgt
+
+	\begin{minipage}{0.7\linewidth}
+		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_17.png}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
+		\begin{equation}
+			M_A = r_{AP'} \cdot F
+		\end{equation}
+	\end{minipage}
+}
+
+\nt{
+	Für das Vorzeichen von $\vec{M}$ kann man vorgehen wie bei $\vec{\omega}$. (Kapitel \ref{sec:wige})
+}
+
+\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_18.png}
+
+Für Momente in zweidimensionalen Räumen gilt, dass sie nur eine Komponente haben. Diese ist immer senkrecht auf $\vec{r}$. Aus diesem Grund kann der Betrag vom Moment wie folgt berechnet werden.
+
+\[
+	M_A = r \cdot F_A \cdot \cos(\alpha)
+	.\]
+
+Im Fall vom zweidimensionalen Raum wäre der berechnete Betrag die z Komponente.
+
+\[
+	\vec{M}_A = \begin{pmatrix}
+		0                            \\
+		0                            \\
+		r \cdot F \cdot \cos(\alpha) \\
+	\end{pmatrix}
+	.\]
+
+\subsection{Das resultierende Moment}
+
+Das resultierende Moment beschreibt alle Momente die auf einem Punkt wirken. Diese kann durch die Addition von allen Momenten, welche auf ein Punkt wirken berechnet werden.
+
+\begin{equation}
+	\vec{M}_A ^{tot} = \sum \vec{M}_A
+\end{equation}

hs24/technische_mechanik/kinematik/ortsfunktion.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+\section{Ortsfunktion eines materiellen Punktes} \label{sec:ortf}
+
+\dfn{Ortsfunktion}{
+	Eine Ortsfunktion beschreibt die Position eines materiellen Punktes in Abhängigkeit mit der Zeit in einem Raum. Wir unterscheiden zwischen drei verschiedenen Koordinaten Systemen.
+
+	\begin{itemize}
+		\item Karthesische Koordinaten
+		\item Zylindrische Koordinaten
+		\item Polar Koordinaten
+	\end{itemize}
+
+	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_1.png}
+}
+
+Der Ortsfunktion wird als Vektor dargestellt. Die Komponenten des Ortsvektors beschreiben die Position im Raum.
+
+\[
+	\begin{bmatrix}
+		\cos(t) \\
+		\sin(t) \\
+		t       \\
+	\end{bmatrix}
+	.\]

hs24/technische_mechanik/kinematik/raeumliche_bewegung.tex

@@ -0,0 +1,12 @@
+\section{Räumliche Bewegungen}
+
+In diesem Kapitel werden wir die ebene Bewegung (Kapitel \ref{sec:evenm}) erweitern zur räumlichen Bewegung. Die räumliche Bewegung ist, in Vergleich zur ebenen Bewegung die Bewegung eines Starrkörpers in dreidimensionalen Raum. Eine solche Bewegung ist die Kreiselung.
+
+\subsection*{Kreiselung}
+
+\begin{minipage}{0.7\linewidth}
+	Eine Kreiselung unterscheidet sich von der Rotation dadurch, dass $\vec{\omega}$ sich auch "rotiert". Betrachten wir jedoch den momentanen Zustand, so ist eine Kreiselung nichts anderes als eine Rotation und somit gilt der Satz vom Momentanzentrum. Die Rotation von $\vec{\omega}$ darf aber natürlich nicht ignoriert werden, weshalb eine neue Formel eingeführt wird, welche für allmögliche Bewegungen von Starrkörpern gilt.
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.3\linewidth}
+	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_11.png}
+\end{minipage}

hs24/technische_mechanik/kinematik/reaktionsprinzip.tex

@@ -0,0 +1,10 @@
+\section{Reaktionsprinzip}
+
+Wenn Kräfte auf ein Körper wirken so gibt es immer eine entgegengesetzte Kraft. Dieses Phänomen wird Reaktionsprinzip genannt. Würde es dieses Prinzip nicht geben, würde der Körper sich dofomieren oder ein Körper sich durch den Boden bewegen.
+
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_15.png}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_16.png}
+\end{minipage}

hs24/technische_mechanik/kinematik/schnelligkeit.tex

@@ -0,0 +1,27 @@
+\section{Schnelligkeit} \label{sec:spee}
+
+Die Schnelligkeit ist der Betrag des Geschwindigkeit Vektors. Sie kann wie folgt berechnet werden.
+
+\subsection*{2D}
+
+\[
+	v = |v(t)| = \sqrt{v_x ^2 + v_y ^2}
+	.\]
+
+\subsection*{3D}
+
+\[
+	v = |v(t)| = \sqrt{v_x ^2 + v_y ^2 + v_z ^2}
+	.\]
+
+\section{Übersicht}
+
+In Kapitel \ref{sec:ortf} gesehen, dass die Ortsfunktion in verschiedenen Koordinatensystemen berschrieben werden können. In der folgenden Tablle werden die Ortsfunktion, die Geschwindigkeit und die Schnelligkeit in Abhängigkeit von der Ortsfunktion in den verschiedenen Koordinatensystemen beschrieben.
+
+\begin{tabular}{| c | c | c | c |}
+	KS          & Ortsfunktion                                                          & Geschwindigkeit                                                                                                                  & Schnelligkeit                                                                    \\
+	\hline
+	Kartesisch  & $x(t) \cdot \vec{e}_x + y(t) \cdot \vec{e}_y +  z(t) \cdot \vec{e}_z$ & $\dot{x}(t) \cdot \vec{e}_x + \dot{y}(t) \cdot \vec{e}_y +  \dot{z}(t) \cdot \vec{e}_z$                                          & $\sqrt{\dot{x}(t) ^2 + \dot{y}(t) ^2 + \dot{z}(t) ^2}$                           \\
+	Zylindrisch & $\rho(t) \cdot \vec{e}_{\rho}(t) + z \cdot \vec{e}_z$                 & $\dot{\rho}(t) \cdot \vec{e}_{\rho}(t) + \rho(t) \cdot \dot{\varphi}(t) \cdot \vec{e}_{\varphi}(t) + \dot{z} \cdot \vec{e}_z(t)$ & $\sqrt{\dot{\rho}(t) ^2 + \rho(t) ^2 \cdot \dot{\varphi}(t) ^2 + \dot{z}(t) ^2}$ \\
+	Polar       & $\rho(t) \cdot \vec{e}_{\rho}(t)$                                     & $\dot{\rho}(t) \cdot \vec{e}_{\rho}(t) + \rho(t) \cdot \dot{\varphi}(t) \cdot \vec{e}_{\varphi}(t)$                              & $\sqrt{\dot{\rho}(t) ^2+ \rho(t) ^2 \cdot \dot{\varphi}(t) ^2}$                  \\
+\end{tabular}

hs24/technische_mechanik/kinematik/spdg.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\section{Satz der projizierten Geschwindigkeiten (SdpG)}
+
+\dfn{Satz der projizierten Geschwindigkeiten}{
+	Der Satz der projizierten Geschwindigkeit besagt, dass die Geschwindigkeiten von 2 Punkten, welche auf die Verbindungslinie der Punkte projiziert wird, gleich sind.
+
+	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
+		\begin{equation}
+			\vec{v}_A ' = \vec{v}_B '
+			\label{eq:sdpg}
+		\end{equation}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.7\linewidth}
+		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_3.png}
+	\end{minipage}
+
+	Aus Gleichung \ref{eq:sdpg} lässt sich die Formel unformen zu eine weiteren essentiellen Gleichung umformen.
+
+	\begin{equation}
+		(\vec{v}_A - \vec{v}_B) \cdot (\vec{r}_B - \vec{r}_A) = 0
+	\end{equation}
+}

hs24/technische_mechanik/kinematik/starrkoerperformel.tex

@@ -0,0 +1,32 @@
+\section{Starrkörperformel} \label{sec:skf}
+
+\dfn{Starrkörperformel (ABBA-Formel)}{
+	Die Starrkörperformel beschreibt die Bewegung von Starrkörper im allgemeinen Fall. Dabei gilt die folgende Formel.
+
+	\begin{minipage}{0,7\linewidth}
+		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_12.png}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
+		\begin{equation}
+			\vec{v}_A = \vec{v}_B + \vec{\omega} \times \vec{r}_{BA}
+			\label{eq:skf}
+		\end{equation}
+	\end{minipage}
+}
+
+Aus der Gleichung \ref{eq:skf} lassen sich die Gleichungen der Ebenen Bewegungen herleiten.
+
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	Wenn $\vec{\omega} = 0$, dann gilt:
+	\[
+		\vec{v}_A = \vec{v}_B
+		.\]
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+	Wenn $\vec{v}_B$ das Momentanzentrum ist d.h. $\vec{v}_B = 0$, dann gilt:
+	\[
+		\vec{v}_A = \vec{\omega} \times \vec{r}_{BA}
+		.\]
+\end{minipage}
+
+Man sieht, dass die Bewegung eines Starrkörpers durch zwei Vektoren eindeutig bestimmt werden kann.

hs24/technische_mechanik/kinematik/svm.tex

@@ -0,0 +1,80 @@
+\section{Satz vom Momentanzentrum}
+
+In Kapitel \ref{sec:evenm} haben wir einen wichtigen Satz in der Technischen Mechanik kennengelernt. Dabei haben wir zwischen Translation und Rotation geredet. Dabei kam die Gleichung \ref{eq:rot} ins Spiel. Wir werden nun diese Gleichung genauer betrachten.
+\\
+Bevor wir weiterfahren klären wir zuerst, was das Momentanzentrum ist.
+
+\dfn{Momentanzentrum}{
+	Das Momentanzentrum ist der Punkt eines Starkörpers, welcher momentan in Ruhe ist d.h. keine Geschwindigkeit besitzt.
+
+	\begin{minipage}{0.7\linewidth}
+		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_7.png}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
+		\[
+			\vec{v}_{MZ} = 0
+			.\]
+	\end{minipage}
+
+	\nt{
+		Ein Punkt, der den Boden oder die Wand berührt, ist ein Momentanzentrum. Im Dreidimensionalen ist das Momentanzentrum eine Kontaktlinie.
+	}
+
+}
+
+\dfn{Satz vom Momentanzentrum}{
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_8.png}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\[
+			\vec{v}_p = \vec{\omega} \times \vec{r}_p
+			.\]
+	\end{minipage}
+
+	Die Formel besagt, dass die Geschwindigkeit bei einer Rotation an einem Punkt durch das Kreuzprodukt der Rotationsgeschwindigkeit und dem Vektor vom Momentanzentrum zum Punkt bestimmt werden kann.
+
+	\nt{
+		Das Kreuzprodukt darf nicht vertauscht werden.
+	}
+
+	Aufgrund des Kreuzproduktes und SdpG sind die Geschwindigkeitsvektoren immer senkrecht zum Verbindungsvektor zwischen dem Momentanzentrum und dem Punkt.
+}
+
+Die Rotationsschnelligkeit kann durch den Betrag der Rotationsgeschwindigkeit berechnet werden (Kapitel \ref{sec:spee}) oder durch die zeitliche Ableitung des Rotationswinkels $\Theta$. ($\omega = \dot{\Theta} = \frac{d \Theta}{dt}$)
+\\
+Die Schnelligkeit eines Punktes kann durch die Multiplikation der Winkelschnelligkeit und der Distanz vom Momentanzentrum zum Punkt. ($v_p = \omega \cdot r_p$)
+
+\nt{
+	Es hat immer nur ein $\omega$ pro Starrkörper.
+}
+
+\subsection{Die Parallelogrammregel}
+
+\dfn{Parallelogrammregel}{
+	Wenn Starrkörper ein Parallelogramm bilden, so haben die parallel stehenden Starrkörper dieselbe Winkelgeschwindigkeit.
+
+	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
+		\[
+			\omega_1 = \omega_3 \text{ und } \omega_2 = \omega_4
+			.\]
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.7\linewidth}
+		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_9.png}
+	\end{minipage}
+}
+
+\nt{
+	Die Vorzeichen der x und y Komponente des Geschwindigkeitsvektors kann man entweder grafisch oder über das Kreuzprodukt bestimmen.
+}
+
+\subsection{Winkelgeschwindigkeit $\omega$} \label{sec:wige}
+
+$\omega$ kann durch die rechte Hand bestimmt werden. Dies folgt aus dem Fakt, dass $\vec{\omega}$ nur eine z Komponente besitzt.
+\\
+\begin{minipage}{0.3\linewidth}
+	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_10.png}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.7\linewidth}
+	Die ursprüngliche Richtung von $\omega$ kann selbst bestimmt werden. Diese Richtung bestimmt imnachhinein die Richtung von $\vec{\omega}$.
+\end{minipage}

hs24/technische_mechanik/kinematik/transformationsregel.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\section{Transformationsregel}
+
+Die Transformationsregel kann durch eine Gleichung das Moment an einem anderen Punkt beschreiben.
+
+\begin{equation}
+	\vec{M}_A = \vec{M}_O + \vec{r}_{AO} \times \vec{R}
+\end{equation}
+
+Wenn das Moment, sowie die Resultierende Kraft eines Punktes bekannt ist, so kann man die soeben genannte Formel anwenden.
+
+\nt{
+	Wenn $\vec{R} = 0$ so sind die Momente in beiden Punkten gleich.
+}
+
+\nt{
+	Wenn die Wirkungslinie von $\vec{R}$ durch den Bezugspunkt geht, dann ist das Moment 0.
+}
+