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JirR02
2025-02-24 08:06:04 +01:00
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38
hs24/nus_I/elektrostatische_feld/dielektrika.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,38 @@
\section{Die dielektrische Polarisation}
\dfn{Dielektrika}{
Ein Dielektrika ist ein Stoff, welches aus Dipolen besteht. Beim Anlegen eines externen elektrischen Feldes richten sich die Dipole nach dem elektrischen Feld. Diese bilden wiederum ein elektrisches Feld, welches den externen elektrischen Feld abschwächt.
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{fig/Fig25.png}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/Fig26.png}
Diese Abschwächung ist je nach Material verschieden und kann anhand der Dielektrizitätszahl $\epsilon_r$ gekennzeichnet werden.
}
Für Sprungstellen der Dielektrizitätskonstanten gilt folgendes:
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig27.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\[
D_{n 1} = D_{n 2}
.\]
\[
\epsilon_1 \cdot E_{n 1} = \epsilon_2 \cdot E_{n 2} \Rightarrow \frac{E_{n 1}}{E_{n 2}} = \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}
.\]
\[
E_{t 1} = E_{t 2}
.\]
\[
\frac{D_{t 1}}{D_{t 1}} = \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}
.\]
\end{minipage}
\nt{
Bei einer sprunghaften Änderung der Dielektrizitätskonstante sind die Normalkomponente der Flussdichte und die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke stetig. \cite{Albach2020} Die Normalkomponente der elektrischen Feldstärke sowie die Tangentialkomponente der Flussdichte kann als Verhältnis der Dielektrizitätskonstanten berechnet werden.
}

59
hs24/nus_I/elektrostatische_feld/elektrisches_feld.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,59 @@
\section{Elektrisches Feld und Coulomb'sche Gesetze}
\dfn{Elektrische Ladung}{
Eine elektrische Ladung ist ein geladenes Teilchen. Dabei gilt folgendes:
\begin{itemize}
\item Hat das Teilchen einen Protonenüberschuss, so ist das Teilchen positiv geladen.
\item Hat das Teilchen einen Elektronenüberschuss, so ist das Teilchen negativ geladen.
\end{itemize}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig15.png}
}
Elektrische Ladungen können abstossende oder anziehende Kräfte haben.
\dfn{Kräfte auf Elektrische Ladungen}{
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig16.png}
Ist die Ladung der beiden Teilchen gleich, so ist die Kraft abstossend.\\
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig17.png}
Ist die Ladung der beiden Teilchen unterschiedlich, so ist die Kraft anziehend.
}
\newpage
Die Kraft von Elektrischen Ladungen kann in einem Vektorfeld dargestellt werden, wobei an jedem Ort die Kraft eine Magnitude und eine Richtung hat. Dieses Feld nennen wir das Elektrische Feld.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig18.png}
\dfn{Elektrisches Feld}{
Das Elektrische Feld stellt die Kraft einer elektrischen Ladung als Feld dar, wobei man die Magnitude und die Richtung erkennen kann. Sie kann berechnet werden durch:
\begin{equation}
\vec{E}_1 = \frac{Q_1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon} \cdot \frac{\vec{r}}{r ^{3}} = \frac{Q_1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon} \cdot \frac{\vec{e}_r}{r ^{2}}
\end{equation}
wobei $\epsilon = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r$,
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig19.png}
}
\newpage
Die Kraft von Elektrische Ladungen kann auf andere elektrische Ladungen eine Kraft ausüben. Die Kraft, die auf eine Ladung $Q_2$ im Feld der Ladung $Q_1$ wirkt ist wir folgt definiert. \cite{Miller2024}
\begin{equation}
\vec{F_2} = Q_2 \cdot \vec{E}_1 = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r ^{2}} \cdot \vec{e}_r
\end{equation}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig20.png}
\nt{
Da jede Ladung sein eigenes E-Feld erzeugt wirken auf zwei Punktladungen immer entgegengesetzte Kräfte. \cite{Miller2024}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig21.png}
}
Wichtig zu bemerken ist, dass die Kraft der positive Ladungen entlang der Feldlinien wirken, während die Kraft der negativen Ladungen gegen die Feldlinien wirken.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig22.png}

10
hs24/nus_I/elektrostatische_feld/elektrostatische_feld.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,10 @@
\chapter{Elektrostatische Feld}
\input{elektrisches_feld.tex}
\input{elektrostatische_potenzial.tex}
\input{spannung.tex}
\input{flussdichte.tex}
\input{ladungsdichten.tex}
\input{maxwell.tex}
\input{dielektrika.tex}
\input{kondensator.tex}

14
hs24/nus_I/elektrostatische_feld/elektrostatische_potenzial.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,14 @@
\section{Elektrostatische Potenzial}
Wenn wir eine Ladung im elektrischen Feld bewegen, wird Arbeit verrichtet. Diese kann mithilfe vom Integral berechnet werden. Man hat jedoch eine einfachere Methode gefunden.
\dfn{Elektrostatische Potenzial}{
Das elektrostatische Potenzial beschreibt die Fähigkeit von einem elektrischen Feld Arbeit an einer elektrischen Ladung zu verrichten. Das heisst, dass die Arbeit an jedem Punkt des elektrischen Feldes durch das Potenzial beschrieben werden kann.\\
Somit vereinfacht sich die Berechnung der Arbeit von einem Integral zu einer Multiplikation.
\begin{equation}
W = - \int_{P_0} ^{P_1} \vec{F} d \vec{s} = -Q \int_{P_0} ^{P_1} \vec{E} d \vec{s} = Q \cdot (\varphi_e(P_1) - \varphi_e(P_0))
\end{equation}
}
Für das elektrostatische Potenzial gilt des weiteren, dass das Potenzial mit der Distanz zur Ladung abnimmt. Daraus schliesst man, dass das Elektrische Feld die Änderung des elektrisches Potenzials darstellt.

11
hs24/nus_I/elektrostatische_feld/flussdichte.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,11 @@
\section{Elektrische Flussdichte}
\dfn{Elektrische Flussdichte}{
Die elektrische Flussdichte beschreibt die die Dichte der elektrischen Feldlinien in Bezug auf eine Fläche. Sie ist eine vektorielle Quantitätsgrösse und zeigt immer in die gleiche Richtung wie $\vec{E}$.
\begin{equation}
\vec{D}_1 = \epsilon \cdot \vec{E}_1 = \frac{Q_1}{4 \cdot \pi \cdot r ^2} \cdot \vec{e}_r
\end{equation}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig23.png}
}

144
hs24/nus_I/elektrostatische_feld/kondensator.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,144 @@
\section{Kondensator}
\dfn{Kondensator}{
Der Kondensator kann als kurzzeitiger Energiespeicher betrachtet werden. \cite{Miller2024} Er besteht aus zwei entgegengesetzt geladene metallische Platten, welche ein elektrisches Feld bilden.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig28.png}
}
Jeder Kondensator hat eine Kapazität. Diese wird wie folgt definiert.
\dfn{Kapazität}{
Die Kapazität ist ein Mass für die Fähigkeit eines Körpers, Ladungen zu speichern. \cite{Albach2020} Sie ist das Verhältnis aus der aufgenommenen Ladung $Q$ zu der angelegten Spannung $U$ und wird mit $C$ gekennzeichnet.
\begin{equation}
C = \frac{Q}{U}
\label{eq:cap}
\end{equation}
}
\newpage
\subsection{Elektrische Flussdichte im Plattenkondensator}
Wir nehmen immer einen idealen Kondensator an. Das heisst, dass die Felder im Kondensator homogen sind.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig29.png}
Wendet man nun das Gauss'sche Gesetz (Kapitel \ref{sec:gauss}) an, so lässt sich die elektrische Flussdichte wie folgt herleiten.
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig30.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\[
Q = \oiint \vec{D} d \vec{A} = \iint D d A = D \cdot A
.\]
\begin{equation}
\Rightarrow D = \frac{Q}{A}
\end{equation}
\end{minipage}
\newpage
Des Weiteren gilt für die Spannung
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig31.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\[
U = - \int \vec{E} d \vec{s} = E \cdot d
.\]
\begin{equation}
\Rightarrow E = \frac{U}{d}
\end{equation}
\end{minipage}
\subsection{Plattenkondensator mit Dielektrikum}
Für Plattenkondensatoren mit einem Dielektrikum zwischen den geladenen Platten unterscheiden wir zwei Fälle.
\\
\\
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig32.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Wenn das Dielektrikum parallel zur Platte ist wird die elektrische Flussdichte nicht beeinflusst. Da für das elektrische Feld $E$ die Distanz $d$ nicht mehr konstant ist, gelten die folgenden Formel.
\[
E = \left\{
\begin{array}{lr}
\frac{D}{\epsilon_0 \cdot \epsilon_r} = \frac{Q}{A \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \text{ innerhalb des Dielektrikums} \\
\frac{D}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A \cdot \epsilon_0} \text{ ausserhalb des Dielektrikums} \\
\end{array}
\right.
.\]
\end{minipage}
\\
\\
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig33.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Wenn das Dielektrikum senkrecht zur Platte ist wird das elektrische Feld nicht beeinflusst. Da für den elektrischen Fluss $D$ die Fläche $A$ nicht mehr konstant ist, gelten die folgenden Formel.
\[
D = \left\{
\begin{array}{lr}
\epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot E = \frac{\epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot U}{d} \text{ innerhalb des Dielektrikums} \\
\epsilon_0 \cdot E = \frac{\epsilon_0 \cdot U}{d} \text{ ausserhalb des Dielektrikums} \\
\end{array}
\right.
.\]
\end{minipage}
\\
\\
Die Formel der Kapazität (Gleichung \ref{eq:cap}) kann nun wie folgt umgeschrieben werden.
\begin{equation}
C = \frac{Q}{U} = \frac{\oiint \vec{D} d \vec{A}}{\int \vec{E} d \vec{s}} = \frac{D \cdot A}{E \cdot d} = \frac{\epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot A}{d}
\end{equation}
Weitere Kapazitäten zeigt die folgende Tabelle.
\\
\\
\begin{tabular}{| c | c |}
Kondensator & Formel \\
\hline
Zylinderkondensator & $\frac{2 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r}{\ln(\frac{r_2}{r_1})}$ \\
Kugelkondensator & $4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \frac{r_1 \cdot r_2}{r_2 - r_1}$ \\
\end{tabular}
\\
\\
Für die Energie, welche der Kondensator speichern kann wird die folgende Formel verwendet.
\begin{equation}
W = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot U = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U ^2
\end{equation}
\subsection{Kondensator Netzwerke}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig34.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
Für parallel geschaltete Kondensatoren gilt:
\begin{equation}
C_{\text{ges}} = C_1 + C_2 + ... + C_n
\end{equation}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig35.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
Für seriell geschaltete Kondensatoren gilt:
\begin{equation}
\frac{1}{C_{\text{ges}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n}
\end{equation}
\end{minipage}

15
hs24/nus_I/elektrostatische_feld/ladungsdichten.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,15 @@
\section{Ladungsdichten}
\dfn{Ladungsdichten}{
Die Ladungsdichte beschreibt die Verteilung der Ladung über eine Linie, eine Fläche oder ein Volumen. Da Ladungen positiv oder negativ sein können ist dem entsprechend die Ladungsdichte negativ oder positiv.
\begin{tabular}{| c | c | c |}
Längenladungsdichte & Flächenladungsdichte & Volumenladungsdichte\\
\hline
$\lambda(x)$ & $\sigma(x,y)$ & $\rho(x,y,z)$\\
$\int_s \lambda(x) d x = Q$ & $\iint_A \sigma(x,y) d A = Q$ & $\iiint_V \rho(x,y,z) = Q$\\
\end{tabular}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig24.png}
}

10
hs24/nus_I/elektrostatische_feld/maxwell.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,10 @@
\section{Maxwell Gleichung No. 1 (Gauss'sche Gesetz)} \label{sec:gauss}
\dfn{Gauss'sche Gesetz}{
Das Gauss'sche Gesetz beschreibt den elektrischen Fluss durch eine geschlossene Fläche und kann wie folgt berechnet werden.
\begin{equation}
\oiint_A \vec{D} d \vec{A} = Q
\end{equation}
}

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hs24/nus_I/elektrostatische_feld/spannung.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,9 @@
\section{Spannung}
\dfn{Spannung}{
Die elektrische Spannung ist ein Mass für wie viel Arbeit man pro Ladung benötigt, um eine Ladung im elektrischen Feld vom Referenzpotenzial an den gegebenen Ort zu bewegen. \cite{Miller2024} Da die Spannung die Differenz der elektrostatischen Potenziale zweier Punkte ist, kann sie wie folgt berechnet werden.
\begin{equation}
W_{1 2} = - Q \int_{P_1} ^{P_2} \vec{E} d \vec{s} = Q \cdot U_{12} = Q \cdot (\varphi (P_1) - \varphi (P_2))
\end{equation}
}