ITET-Notes/hs24/nus_I/elektrostatische_feld/kondensator.tex

\section{Kondensator}

\dfn{Kondensator}{
	Der Kondensator kann als kurzzeitiger Energiespeicher betrachtet werden. \cite{Miller2024} Er besteht aus zwei entgegengesetzt geladene metallische Platten, welche ein elektrisches Feld bilden.

	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig28.png}
}

Jeder Kondensator hat eine Kapazität. Diese wird wie folgt definiert.

\dfn{Kapazität}{
	Die Kapazität ist ein Mass für die Fähigkeit eines Körpers, Ladungen zu speichern. \cite{Albach2020} Sie ist das Verhältnis aus der aufgenommenen Ladung $Q$ zu der angelegten Spannung $U$ und wird mit $C$ gekennzeichnet.

	\begin{equation}
		C = \frac{Q}{U}
		\label{eq:cap}
	\end{equation}
}

\newpage

\subsection{Elektrische Flussdichte im Plattenkondensator}

Wir nehmen immer einen idealen Kondensator an. Das heisst, dass die Felder im Kondensator homogen sind.

\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig29.png}

Wendet man nun das Gauss'sche Gesetz (Kapitel \ref{sec:gauss}) an, so lässt sich die elektrische Flussdichte wie folgt herleiten.

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig30.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	\[
		Q = \oiint \vec{D} d \vec{A} = \iint D d A = D \cdot A
		.\]

	\begin{equation}
		\Rightarrow D = \frac{Q}{A}
	\end{equation}
\end{minipage}

\newpage

Des Weiteren gilt für die Spannung

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig31.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	\[
		U = - \int \vec{E} d \vec{s} = E \cdot d
		.\]

	\begin{equation}
		\Rightarrow E = \frac{U}{d}
	\end{equation}
\end{minipage}

\subsection{Plattenkondensator mit Dielektrikum}

Für Plattenkondensatoren mit einem Dielektrikum zwischen den geladenen Platten unterscheiden wir zwei Fälle.
\\
\\
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig32.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	Wenn das Dielektrikum parallel zur Platte ist wird die elektrische Flussdichte nicht beeinflusst. Da für das elektrische Feld $E$ die Distanz $d$ nicht mehr konstant ist, gelten die folgenden Formel.

	\[
		E = \left\{
		\begin{array}{lr}
			\frac{D}{\epsilon_0 \cdot \epsilon_r} = \frac{Q}{A \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \text{ innerhalb des Dielektrikums} \\
			\frac{D}{\epsilon_0}  = \frac{Q}{A \cdot \epsilon_0} \text{ ausserhalb des Dielektrikums}                                 \\
		\end{array}
		\right.
		.\]
\end{minipage}
\\
\\
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig33.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	Wenn das Dielektrikum senkrecht zur Platte ist wird das elektrische Feld nicht beeinflusst. Da für den elektrischen Fluss $D$ die Fläche $A$ nicht mehr konstant ist, gelten die folgenden Formel.

	\[
		D = \left\{
		\begin{array}{lr}
			\epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot E = \frac{\epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot U}{d} \text{ innerhalb des Dielektrikums} \\
			\epsilon_0 \cdot E = \frac{\epsilon_0 \cdot U}{d} \text{ ausserhalb des Dielektrikums}                                  \\
		\end{array}
		\right.
		.\]
\end{minipage}
\\
\\
Die Formel der Kapazität (Gleichung \ref{eq:cap}) kann nun wie folgt umgeschrieben werden.

\begin{equation}
	C = \frac{Q}{U} = \frac{\oiint \vec{D} d \vec{A}}{\int \vec{E} d \vec{s}} = \frac{D \cdot A}{E \cdot d} = \frac{\epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot A}{d}
\end{equation}

Weitere Kapazitäten zeigt die folgende Tabelle.
\\
\\
\begin{tabular}{| c | c |}
	Kondensator         & Formel                                                                                \\
	\hline
	Zylinderkondensator & $\frac{2 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r}{\ln(\frac{r_2}{r_1})}$          \\
	Kugelkondensator    & $4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \frac{r_1 \cdot r_2}{r_2 - r_1}$ \\
\end{tabular}
\\
\\
Für die Energie, welche der Kondensator speichern kann wird die folgende Formel verwendet.

\begin{equation}
	W = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot U = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U ^2
\end{equation}

\subsection{Kondensator Netzwerke}

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig34.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	Für parallel geschaltete Kondensatoren gilt:

	\begin{equation}
		C_{\text{ges}} = C_1 + C_2 + ... + C_n
	\end{equation}
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig35.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	Für seriell geschaltete Kondensatoren gilt:

	\begin{equation}
		\frac{1}{C_{\text{ges}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n}
	\end{equation}
\end{minipage}