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JirR02
2025-02-24 08:06:04 +01:00
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83
hs24/nus_I/einfache_elektrische_netzwerke/analyse.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,83 @@
\section{Analyse umfangreicher Netzwerke}
Wir nehmen an, dass das folgende Netzwerk gegeben ist.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig64.png}
Um dieses Netzwerk zu analysieren verwendet man ein System, welches ein Gleichungssystem aufstellt um alle Grössen berechnen zu können. In unserem Fall benötigen wir mindestens 6 Gleichungen, da wir 6 Zweige haben.
\begin{enumerate}
\item
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Zeichne den Netzwerkgraphen. (Zeichne das elektrische Netzwerk ohne jegliche Komponente)
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig65.png}
\end{minipage}
\item
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Definiere in jedem Zweig die Strom Richtung. Die Richtung kann willkürlich gewählt werden, da die Richtung durch ein Vorzeichen nach dem Auflösen vom Gleichungssystem korrigiert wird.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig66.png}
\end{minipage}
\item Stelle die Knotengleichungen auf. Eine Knotengleichung kann ignoriert werden da sie linear abhängig ist zu einer der vorherigen Knotengleichungen.
\item Stelle die Maschengleichung auf. Auch hier ist es wichtig, dass alle Maschengleichungen linear unabhängig sind. Für die Maschengleichung gibt es 2 Methoden.
\begin{itemize}
\item
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Bei der Methode vom vollständigen Baum werden die Knoten mit $n$ Zweigen verbunden. ($n$ ist die Anzahl der Knoten) Danach werden die fehlenden Zweige eingesetzt um die Maschen zu bilden.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig67.png}
\end{minipage}
\item Bei der Methode von der Auftrennung der Maschen wird aus dem Netzwerkgraph eine Masche gebildet und aus der Masche ein Zweig entfernt. Dieser Prozess wird so oft wiederholt, bis keine Maschen mehr gebildet werden können.
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig68.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig69.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig70.png}
\end{minipage}
\end{itemize}
\item Fasse die Gleichungen in einer Matrix zusammen.
\[
\left.
\begin{array}{rl}
1 \cdot I_0 + 1 \cdot I_2 + -1 \cdot I_1 = 0 \\
1 \cdot I_1 + -1 \cdot I_3 + -1 \cdot I_4 = 0 \\
1 \cdot I_3 + 1 \cdot I_5 + -1 \cdot I_2 = 0 \\
R_1 \cdot I_1 + R_3 \cdot I_3 + R_2 \cdot I_2 = 0 \\
R_1 \cdot I_1 + R_4 \cdot I_4 = U_0 \\
-R_2 \cdot I_2 + -R_5 \cdot I_5 = U_0 \\
\end{array}
\right\} \begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & R_1 & R_2 & R_3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -R_2 & 0 & 0 & -R_5 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_0 \\
I_1 \\
I_2 \\
I_3 \\
I_4 \\
I_5 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
U_0 \\
U_0 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\]
\end{enumerate}

11
hs24/nus_I/einfache_elektrische_netzwerke/einfache_elektrische_netzwerke.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,11 @@
\chapter{Einfache elektrische Netzwerke}
\input{pfeil.tex}
\input{quellen.tex}
\input{kirchhoff.tex}
\input{widerstandsnetzwerke.tex}
\input{rquellen.tex}
\input{wechselwirkung.tex}
\input{netzwerkumwandlung.tex}
\input{superposition.tex}
\input{analyse.tex}

28
hs24/nus_I/einfache_elektrische_netzwerke/kirchhoff.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,28 @@
\section{Die Kirchhoff'schen Gleichungen}
\dfn{Kirchhoff'schen Gleichungen}{
Die Kirchhoff'schen Gleichungen werden vor allem bei der Schaltungstechnik und Netzwerkanalyse verwendet. Dabei spielen zwei Regeln eine sehr wichtige Rolle.
\begin{itemize}
\item Maschenregel
\item Knotenregel
\end{itemize}
}
\subsection{Maschen- und Knotenregel}
Die Maschenregel wird für die Berechnung der Spannung in einer Masche eines komplexen elektrischen Netzwerks verwendet. Dabei gilt
\begin{equation}
\sum_{k=0}^n U_k = 0
\end{equation}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig43.png}
Die Knotenregel, im Vergleich zur Maschenregel wird zur Berechnung des Stroms eines komplexen elektrischen Netzwerks verwendet. Dabei gilt
\begin{equation}
\sum_{k=0}^n I_k = 0
\end{equation}
\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig44.png}

73
hs24/nus_I/einfache_elektrische_netzwerke/netzwerkumwandlung.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,73 @@
\section{Netzwerkumwandlungen}
Zur Umwandlung von Netzwerken verwenden wir den Satz von Thevenin, den Satz von Norton und die Stern-Dreieck-Umwandlung.
\subsection{Satz von Thevenin und Satz von Norton}
\dfn{Satz von Thevenin}{
Der Satz von Thevenin besagt, dass jede Anordnung von Widerständen und Quellen in eine reale Spannungsquelle umgewandelt werden kann.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig57.png}
}
\dfn{Satz von Norton}{
Der Satz von Norton besagt, dass jede Anordnung von Widerständen und Quellen in eine reale Stromquelle umgewandelt werden kann.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig58.png}
}
Die Bestimmung der Spannungs- bzw. die Stromquelle benötigt nur die Quellspannung bzw. den Quellstrom, sowie der Innenwiderstand.
\nt{
Die Bestimmung vom Innenwiderstand geht mit drei Methoden:
\begin{itemize}
\item Den Widerstand des elektrischen Netzwerks messen im Leerlauf
\item Thevenin: Kurzschlussstrom berechnen und damit den Innenwiderstand berechnen.
\item Norton: Leerlaufspannung berechnen und damit den Innenwiderstand berechnen.
\end{itemize}
}
\subsection{Stern-Dreieck-Umwandlung}
Die folgenden zwei elektrische Netzwerke sind identisch.
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig59.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig60.png}
\end{minipage}
Für die Berechnung von den jeweiligen Widerständen können die folgenden Formeln von Nutzen sein.
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{equation}
R_1 = \frac{R_{31} \cdot R_{12}}{R_{1 2} + R_{2 3} + R_{3 1}}
\end{equation}
\begin{equation}
R_2 = \frac{R_{1 2} \cdot R_{2 3}}{R_{1 2} + R_{2 3} + R_{3 1}}
\end{equation}
\begin{equation}
R_3 = \frac{R_{2 3} \cdot R_{3 1}}{R_{1 2} + R_{2 3} + R_{3 1}}
\end{equation}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{equation}
R_{1 2} = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1}{R_3}
\end{equation}
\begin{equation}
R_{23} = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1}{R_1}
\end{equation}
\begin{equation}
R_{31} = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1}{R_2}
\end{equation}
\end{minipage}

12
hs24/nus_I/einfache_elektrische_netzwerke/pfeil.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,12 @@
\section{Zählpfeil}
\dfn{Zählpfeil}{
Ein Zählpfeil veranschaulicht in einem elektrischen Schaltkreis die Richtung der Spannung und des Stroms. Dabei gelten die zwei folgenden Regel:
\begin{itemize}
\item An Verbrauchern ist die Richtung der Spannung gleich der Richtung des Stroms.
\item Bei einer Quelle ist die Richtung der Spannung umgekehrt zur Richtung des Stroms. (Generatorzählpfeilsystem)
\end{itemize}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig40.png}
}

31
hs24/nus_I/einfache_elektrische_netzwerke/quellen.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,31 @@
\section{Strom- und Spannungsquellen} \label{sec:quellen}
Ein Kondensator, welcher parallel geschaltet ist, mit einem Widerstand kann als Spannungsquelle betrachtet werden, wobei die Energie vom Kondensator entnommen wird und als Wärme beim Widerstand abgegeben wird.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig41.png}
Das Problem hierbei ist, dass die Spannung mit der Zeit abnimmt und die Leistung nur begrenzt abgegeben werden kann. Deshalb führen wir die Strom- und Spannungsquelle ein.
\dfn{Strom- und Spannungsquelle}{
Eine Strom- bzw. eine Spannungsquelle liefert in einem elektrischen Schaltkreis einen konstanten Strom bzw. eine konstante Spannung. Dabei gilt für die Stromquelle:
\begin{itemize}
\item Der Ausgangsstrom der Stromquelle ist unabhängig von dem angeschlossenen Netzwerk.
\item Die Ausgangsspannung der Stromquelle hängt von dem angeschlossenen Netzwerk ab.
\end{itemize}
\cite{Albach2020}
Für die Spannungsquelle gilt.
\begin{itemize}
\item Die Ausgangsspannung der Spannungsquelle ist unabhängig von dem angeschlossenen Netzwerk.
\item Ausgangsspannung der Spannungsquelle hängt von dem angeschlossenen Netzwerk ab
\end{itemize}
\cite{Albach2020}
Diese Regeln gelten nur für ideale Strom- und Spannungsquellen.
}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig42.png}

47
hs24/nus_I/einfache_elektrische_netzwerke/rquellen.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,47 @@
\section{Reale Strom- und Spannungsquellen}
In Kapitel \ref{sec:quellen} haben wir uns ideale Strom- und Spannungsquellen angeschaut. Im Vergleich zu den idealen Strom- und Spannungsquellen haben reale einen Innenwiderstand aufgrund von den Strom- und Spannungsabfällen in den Quellen selbst. Dies macht das analysieren von elektrischen Netzwerken wesentlich schwieriger.
\dfn{Reale Strom- und Spannungsquellen}{
Reale Strom- und Spannungsquellen sind elektrische Energiequellen wobei die Verluste mit einberechnet werden durch Innenwiderstände.
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig50.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
$U_0$ ist die Lehrlaufspannung und kann durch die folgende Formel berechnet werden.
\begin{equation}
U_0 = I_0 \cdot R_i
\end{equation}
Wenn kein Verbraucher an der Stromquelle angeschlossen wird, so fliesst der ganze Strom $I_0$ über den Innenwiderstand und die Energie wird als Wärme an den Innenwiderstand abgegeben. Somit gilt $I_0 = I_K$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig51.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
$U = U_L = U_0$ ist die Lehrlaufspannung. Diese wird gemessen wenn kein Verbraucher an der Spannungsquelle verbunden ist.
\\
Wenn die Spannungsquelle kurzgeschlossen wird, so fliesst ein Kurzschlussstrom $I_K$.
\begin{equation}
I_K = \frac{U}{R_i}
\end{equation}
Die Energie wird als Wärme an den Innenwiderstand abgegeben.
\end{minipage}
}
\nt{
Da ein Kurzschluss vermeidet werden soll gilt
\begin{itemize}
\item Eine Stromquelle soll nicht ohne Verbraucher betrieben werden.
\item Eine Spannungsquelle soll nicht ohne Verbraucher kurzgeschlossen und betrieben werden.
\end{itemize}
Natürlich ist das nicht realistisch, da in Realität Strom und Spannungsquellen Sicherheitsmechanismen haben um Schäden zu vermeiden.
}

27
hs24/nus_I/einfache_elektrische_netzwerke/superposition.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,27 @@
\section{Das Überlagerungsprinzip}
Wir lernen nun ein Werkzeug kennen, welches für die elektrische Netzwerkanalyse mit mehreren Quellen eine signifikante Rolle spielt. Nehmen wir an, dass das folgende elektrische Netzwerk gegeben ist.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig61.png}
Wir gehen nun die Schritte durch um eine Netzwerkanalyse zu machen.
\begin{enumerate}
\item Wir teilen das elektrische Netzwerk auf. Im jeden aufgeteilten elektrischen Netzwerk ist jeweils nur eine Quelle enthalten. Dabei gehen wir wie folgt vor:
\begin{itemize}
\item Spannungsquellen werden mit einem Kurzschluss ersetzt
\item Stromquellen werden durch ein Leerlauf ersetzt
\end{itemize}
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{fig/Fig62.png}
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{fig/Fig63.png}
\item Wir berechnen in allen Teilnetzwerken Ströme und Spannungen.
\item Wir addieren alle Lösungen zusammen.
\end{enumerate}
\nt{
Das Überlagerungsprinzip funktioniert nur für den Strom und die Spannung. Die Leistung kann nicht mit dieser Methode berechnet werden da die Leistung keine lineare Beziehung zum Strom hat.
}
\nt{
Beachte beim Überlagerungsprinzip die Richtung vom Strom und von der Spannung!
}

42
hs24/nus_I/einfache_elektrische_netzwerke/wechselwirkung.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,42 @@
\section{Wechselwirkungen zwischen Quelle und Verbraucher}
Im folgenden Kapitel werden elektrische Netzwerke mit verschiedenen Konfigurationen (hauptsächlich reale Quellen und Verbraucher) angeschaut.
\subsection{Zusammenschaltung von Spannungsquellen}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig52.png}
Spannungsquellen können in Serie oder Parallel geschaltet werden. Je nach dem haben sie eine andere Wirkung.
\begin{itemize}
\item Spannungsquellen in Serie erhöhen die Gesamtspannung
\item Parallel geschaltete Spannungsquellen erhöhen den Strom oder die Kapazität
\end{itemize}
Jedoch hat das parallelschalten von Spannungsquellen ihre Tücken. Einerseits kann die Leistungsabgabe der Spannungsquellen unterschiedlich sein, wenn die Spannungsquellen unterschiedlich sind. Andererseits kann eine Quelle auch als Verbraucher wirken. Dies kann aber eine willkommende Wirkung sein z.B. bei einer Batterie.
\subsection{Leistungsanpassung} \label{subsec:LA}
Man betrachte das folgende elektrische Netzwerk.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig53.png}
Ziel ist es $R_L$ zu bestimmen, so dass die Leistung über $R_L$ am grössten ist. Wie kann man nun $R_L$ bestimmen?
\\
Wie ersparen uns die Rechnerei. (Siehe \cite{Albach2020} S. 144) Aber damit eine Spannungsquelle die maximale Leistung ausgibt, muss $R_L = R_i$ sein. Ist $R_L$ zu gross, so fliesst kein Strom durch $R_L$. Ist $R_L$ zu klein, so haben wir einen Kurzschluss. Daraus entsteht der folgende Graf.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig54.png}
In den meisten Fällen ist $R_L$ grösser als $R_i$ da sonst die Hälfte der Leistung über $R_i$ abgegeben wird und $R_i$ in den meisten Fällen nicht dafür gebaut ist. Ausserdem besteht keine Gefahr für einen Kurzschluss.
\subsection{Wirkungsgrad}
Der Wirkungsgrad hat eine hohe Relevanz in elektrischen Netzwerken. Sie gibt an, wie viel von der zugeführten Energie als Nutzenergie verwendet wird. Diese wird wie folgt berechnet.
\begin{equation}
\eta = \frac{P_L}{P_{\text{ges}}}
\end{equation}
Wenn wir das elektrische Netzwerk in Kapitel \ref{subsec:LA} anschauen so sehen wir, dass wenn $R_L$ zu klein ist die ganze Leistung in Hitze umgewandelt wird (Kurzschluss) und der Wirkungsgrad 0 ist. Wenn $R_L$ am grössten ist entstehen keine Energieverluste. Jedoch kann kein Strom mehr fliessen was auch nicht ideal ist. Deshalb wählt man ein $R_L$ welches den grössten Wirkungsgrad hat und die beste Leistungsanpassung.
\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig55.png}

102
hs24/nus_I/einfache_elektrische_netzwerke/widerstandsnetzwerke.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,102 @@
\section{Einfache Widerstandsnetzwerke}
Es gibt 2 verschiedene Arten von Widerstandsnetzwerke und jede davon hat verschiedene Eigenschaften.
\dfn{Reihengeschaltene Widerstände}{
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig45.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.39\linewidth}
\begin{equation}
R_{\text{Ges}} = \sum_{k=1}^n R_k
\end{equation}
\begin{equation}
I_{\text{Ges}} = I_{R_1} = I_{R_2} = I_{R_i}
\end{equation}
\begin{equation}
U_i = U_{\text{Ges}} \cdot \frac{R_i}{R_{\text{Ges}}}
\label{eq:Rvol}
\end{equation}
\end{minipage}
}
\dfn{Parallelgeschaltene Widerstände}{
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig46.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.39\linewidth}
\begin{equation}
\frac{1}{R_{\text{Ges}}} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}
\end{equation}
\begin{equation}
U_{\text{Ges}} = U_{R_1} = U_{R_2} = U_{R_i}
\end{equation}
\begin{equation}
I_i = I_{\text{Ges}} \cdot \frac{R_{\text{Ges}}}{R_i}
\label{eq:Rcur}
\end{equation}
\end{minipage}
}
\subsection{Spannungsteiler}
Anhand Gleichung \ref{eq:Rvol} erkennt man, dass die Spannung sich bei reihengeschaltene Widerstände sich teilt. Aus dieser Eigenschaft kann man einen Spannungsteiler kreieren.
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig47.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{equation}
\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{U_2}{U} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}
\end{equation}
\end{minipage}
Die Gleichungen gelten nur wenn der gleiche Strom durch alle Widerstände fliesst.
\subsection{Stromteiler}
Mit Parallelgeschaltene Widerstände kann man ein Stromteiler kreieren. Dies erkennt man anhand der Gleichung \ref{eq:Rcur}.
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig48.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{equation}
\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{I_2}{I} = \frac{R_1}{R_1 + R_2}
\end{equation}
\end{minipage}
Mit diesen Eigenschaften können auch Ströme und Spannungen gemessen werden.
\nt{
Ampèremeter und Voltmeter haben einen Innenwiderstand aufgrund der Bauteile und haben dadurch einen Messfehler. Dieser muss natürlich berücksichtigt werden.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig49.png}
}
\subsection{Wheatstone Brücke}
\dfn{Wheatstone Brücke}{
Die Wheatstone Brücke ist eine Messeinrichtung zur Messung von elektrischen Widerständen und Widerstandsänderungen.
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig56.png}
Um den Widerstand zu bestimmen verändert man den variablen Widerstand, bis der Voltmeter eine Spannung von 0V anzeigt. Mit der Gleichung lässt sich denn der Widerstand messen.
}