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hs24/lineare_algebra/ausgleichsrechnung/normalengleichung.tex

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+\section{Lösung mit der Normalengleichung}
+
+\dfn{Normalengleichung \cite{Gradinaru2024}}{
+  Die Gleichung
+
+  \[
+    \mathbf{A} ^{\text{T}} \mathbf{A} \vec{x} = \vec{b} \mathbf{A} ^{\text{T}}
+  \]
+
+  heisst Normalengleichung.
+}
+
+Mit dieser Funktion kann man ein $\vec{\hat{x}}$ finden, welche den Vektor $\vec{b}$ annähert. Dabei wird wie folgt vorgegangen:
+
+\begin{enumerate}
+  \item Man multipliziert die Matrix $\mathbf{A}$ mit ihrem Transponierten
+  \item Man multipliziert den Vector $\vec{b}$ mit $\mathbf{A} ^{\text{T}}$.
+  \item Man gausst die Matrix $\mathbf{A}$ um nach den Parametern von $\vec{x}$ aufzulösen
+\end{enumerate}
+
+Wie man sieht, ist der Nachteil dieser Methode, dass man die Matrix $\mathbf{A}$ gaussen muss. Es gibt aber eine zweite Methode um $\vec{\hat{x}}$ herauszufinden.