430 lines
24 KiB
TeX
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TeX
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\begin{multicols*}{3}
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\subsection{Tabelle mit Ableitungen und Stammfunktionen}
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\begin{center}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
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\begin{tabular} {r c c c l} \toprule
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$f'(x)$ & \hspace*{-10pt}
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$\xleftrightharpoons[\int f(x) dx]{\frac{d}{dx}}$
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\hspace*{-10pt} & $f(x)$ & \hspace*{-10pt}
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$\xleftrightharpoons[\int f(x) dx]{\frac{d}{dx}}$
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\hspace*{-10pt} & $F(x)$ \\
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\midrule
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$n \cdot x^{n - 1}$ & \hspace*{-20pt} & $x^n$ & \hspace*{-20pt} & $\dfrac{1}{n + 1} x^{n + 1}$ \\
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$e^x$ & \hspace*{-20pt} & $e^x$ & \hspace*{-20pt} & $e^x$ \\
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$\dfrac{1}{x}$ & \hspace*{-20pt} & $\log|x|$ & \hspace*{-20pt} & $x (\log|x| - 1)$ \\
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\midrule
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$\cos(x)$ & \hspace*{-20pt} & $\sin(x)$ & \hspace*{-20pt} & $-\cos(x)$ \\
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$-\sin(x)$ & \hspace*{-20pt} & $\cos(x)$ & \hspace*{-20pt} & $\sin(x)$ \\
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$\frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)$ & \hspace*{-20pt} & $\tan(x)$ & \hspace*{-20pt} & $-\log|\cos(x)|$ \\
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\midrule
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$\dfrac{1}{\log(a) \cdot x}$ & \hspace*{-20pt} & $\log_a|x|$ & \hspace*{-20pt} & \\
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$\log(a) \cdot a^x$ & \hspace*{-20pt} & $a^x$ & \hspace*{-20pt} & $\dfrac{1}{\log(a)} a^x$ \\
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$x^x (\log(x)+1)$ & \hspace*{-20pt} & $x^x$ & \hspace*{-20pt} & \\
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\midrule
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$\cosh(x)$ & \hspace*{-20pt} & $\sinh(x)$ & \hspace*{-20pt} & \\
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$\sinh(x)$ & \hspace*{-20pt} & $\cosh(x)$ & \hspace*{-20pt} & \\
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$\dfrac{1}{\cosh^2(x)}$ & \hspace*{-20pt} & $\tanh(x)$ & \hspace*{-20pt} & $\log(\cosh(x))$ \\
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\midrule
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$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ & \hspace*{-20pt} & $\arcsin(x)$ & \hspace*{-20pt} & \\
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$- \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ & \hspace*{-20pt} & $\arccos(x)$ & \hspace*{-20pt} & \\
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$\dfrac{1}{1 + x^2}$ & \hspace*{-20pt} & $\arctan(x)$ & \hspace*{-20pt} & \\
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\midrule
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$\dfrac{1}{\sqrt[]{x^2 + 1}}$ & \hspace*{-20pt} & $\text{arsinh}(x)$ & \hspace*{-20pt} & \\
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$\dfrac{1}{\sqrt[]{x^2 - 1}}$ & \hspace*{-20pt} & $\text{arcosh}(x)$ & \hspace*{-20pt} & \\
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$\dfrac{1}{1 - x^2}$ & \hspace*{-20pt} & $\text{artanh}(x)$ & \hspace*{-20pt} & \\
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\midrule
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$\text{sign}(x) = \begin{cases}
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-1 & x < 0 \\ 1 & 0 < x \\
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\end{cases}$ \hspace*{-10pt} & \hspace*{-20pt} & $|x|$ & \hspace*{-20pt} & \\
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\bottomrule
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\end{tabular}
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\end{center}
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Bemerkung: Bei Ableitungen mit Logarithmen, sowie den inversen Trigo- und Hyperfunktionen ist der Definitionsbereich eingeschränkt!
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\subsection{Stetige Funktionen}
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Folgende Elementarfunktionen sind stetig auf ihrem Definitionsbereich:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{l} \toprule
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i) Polynome sind stetige Funktionen auf $\R$. \\
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ii) Rationale Funktionen $\frac{p}{q}$ sind stetig auf $\Omega = \{ z \in \C; q(z) \neq 0\}$. \\
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iii) Die Wurzelfunktion ist auf $\R_+$ stetig. \\
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iv) Die Exponentialfunktion ist auf $\R$ stetig. \\
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v) Die Logartihmusfunktion ist auf $]0, \infty[$ stetig. \\
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\bottomrule
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\end{tabular}
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\end{center}
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\vfill\null
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\columnbreak
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\subsection{Partialbruchzerlegung}
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Ziel: Rationale Funktionen $\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)$ in Teilbrüche zerlegen. Vorgehen: \medskip
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i) Wenn der Zähler einen höheren Grad als den Nenner hat, muss man zuerst eine Polynomdivision durchführen, d.h. $\left(p(x):q(x) = \dots\right)$. \medskip
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ii) Das Nennerpolynom $q(x)$ in Nullstellenform bringen.
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\begin{center}
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$q(x) = \prod\limits_{i = 1} (x - x_i)^{m_i}$ \qquad wobei $(x - x_i) = 0$
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\end{center}
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iii) a) Die Nullstelle hat Multiplizität 1 ($m_i = 1$):
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\begin{center}
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$\dfrac{C}{(x - x_i)}$
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\end{center}
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b) Die Nullstelle hat Multiplizität grösser 1 ($1 < m_i$):
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\begin{center}
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$\dfrac{C_1}{(x - x_i)} + \dfrac{C_2}{(x - x_i)^2} + \dots + \dfrac{C_{m_i}}{(x - x_i)^{m_i}}$
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\end{center}
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c) Die Nullstelle ist komplexwertig (Gewünschte Form: $ax^2 + b x + c$):
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\begin{center}
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$\dfrac{Ax + B}{(a x^2 + b x + c)}$
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\end{center}
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iii) Alle Koeffizienten $C_i$ bestimmen durch einen Koeffizientenvergleich.
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\vfill\null
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\columnbreak
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\section{Ergänzungen aus LinAlg}
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\subsection{Determinante}
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Sei $A \in M_{2 \times 2}(\R)$. Dann ist die Determinante:
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\begin{center}
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\eqbox{$\det\begin{bmatrix}
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a & b \\ c & d \\
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\end{bmatrix} := a d - b c$}
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\end{center}
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\subsubsection{Laplace Entwicklung}
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Sei die Matrix $A = \begin{bmatrix}
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a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\
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\end{bmatrix}$. Die Entwicklung nach Zeile 2 ist:
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\begin{center}
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$\det(A) = -a_2 \cdot \det\begin{bmatrix}
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b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \\
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\end{bmatrix} + b_2 \cdot \det\begin{bmatrix}
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a_1 & c_1 \\ a_3 & c_3 \\
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\end{bmatrix} - c_2 \cdot \det \begin{bmatrix}
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a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \\
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|
\end{bmatrix}$
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\end{center}
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Für die Vorzeichen gilt zu beachten: $\begin{bmatrix}
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+ & - & + & - \\
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- & + & - & + \\
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+ & - & + & - \\
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- & + & - & + \\
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\end{bmatrix}$
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\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren}
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Die Eigenwerte einer Matrix $A$ berechnet man mit
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\begin{center}
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\eqbox{$\det(A - \lambda I) = 0$}
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\end{center}
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Der zum Eigenwert $\lambda_i$ dazugehörige Eigenvektor $\vect{s}_i$ berechnet man durch das Auflösen von folgendem homogenen LGS:
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\begin{center}
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\eqbox{$(A - \lambda_i I) \cdot \vect{s}_i = \vect{0}$}
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\end{center}
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\subsubsection{Diagonalisierbar}
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Sei $A \in M_{n \times n}(\R)$ mit $n$ linear unabhängigen Eigenvektoren $\vect{s}_1$ und seien $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ die Eigenwerte von $A$. Dann ist $A$ diagonalisierbar:
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\begin{center}
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\eqbox{$A = S D S^{-1} = [\vect{s}_1 \dots \vect{s}_n] \begin{bmatrix}
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\lambda_1 & & 0 \\
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& \ddots & \\
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0 & & \lambda_n \\
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\end{bmatrix} [\vect{s}_1 \dots \vect{s}_n]^{-1}$}
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\end{center}
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\subsection{Matrixinverse berechen}
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Zuerst Gauss-Elimination, dann Rücksubstitution ($[A | I] \Rightarrow [I | A^{-1}]$)
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\subsubsection{Explizite Formeln}
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Für $A \in M_{2 \times 2}(\R)$ gilt:
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\begin{center}
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\eqbox{$A^{-1} = \begin{bmatrix}
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a & b \\
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c & d \\
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\end{bmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \cdot
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|
\begin{bmatrix}
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d & -b \\
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|
-c & a \\
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|
\end{bmatrix}$}
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\end{center}
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|
Für $A \in M_{3 \times 3}(\R)$ gilt:
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\begin{center}
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$A^{-1} = \begin{bmatrix}
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a & b & c \\
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d & e & f \\
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|
g & h & i \\
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\end{bmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \cdot
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\begin{bmatrix}
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ei - fh & ch - bi & bf - ce \\
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fg - di & ai - cg & cd - af \\
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dh - eg & bg - ah & ae - bd \\
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|
\end{bmatrix}$
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\end{center}
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\end{multicols*}
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\begin{multicols*}{2}
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\section{Spass mit Integralen}
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\subsection{Tangenssubstitution}
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Sei $t(x) = \tan(\frac{x}{2})$ mit $x \in ]-\pi, \pi[$. Dann gilt
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\begin{center}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
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\begin{tabular}{l l} \toprule
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$\cos(x) = \dfrac{1 - t^2(x)}{1 + t^2(x)}$ & $\sin(x) = \dfrac{2 t(x)}{1 + t^2(x)}$ \\
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|
$\cos^2(x) = \dfrac{1}{1 + t^2(x)}$ & $\sin^2(x) = \dfrac{t^2(x)}{1 + t^2(x)}$ \\
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|
\bottomrule
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|
\end{tabular}
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\end{center}
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Mit dieser Substitution kann man gewisse Trigonometrische Integrale einfacher lösen.
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\subsection{Rückwärtssubstitution}
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Die Substitutionsregel lässt sich auch rückwärts durchführen. Sei $\varphi(x)$ \emph{injektiv}. Dann gilt:
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\begin{center}
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\eqboxf{$\displaystyle \int\limits_{\alpha}^{\beta} f(t) dt = \int\limits_{\varphi^{-1}(\alpha)}^{\varphi^{-1}(\beta)} f\left( \varphi(x) \right) \cdot \varphi'(x) dx$}
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\end{center}
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Bei geschickter Wahl der Funktion $\varphi(x)$ kann entgegen des ersten Anscheins der Integrand vereinfacht werden.
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\subsubsection{Tabelle}
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%https://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Anwendung
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%https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution
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Bem: Nach Anwendung der Regel ist die Trigo-Identiät ($cos^2(x) + sin^2(x) = 1$) notwendig!
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\begin{center}
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\renewcommand{\arraystretch}{2}
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\begin{tabular}{c l l l} \toprule
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\textbf{Integral} & \multicolumn{2}{l}{\textbf{Rücksubstitution}} \\
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\midrule
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$\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1 - t^2} dt$ & $\varphi(x) = \sin(x)$ & $\varphi^{-1}(t) = \arcsin(t)$ & $\varphi'(x) = \cos(x)$ \\
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|
\midrule
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|
$\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{a^2 - t^2} dt$ & $\varphi(x) = a \cdot \sin(x)$ & $\varphi^{-1}(t) = \arcsin\left(\dfrac{t}{a}\right)$ & $\varphi'(x) = a \cdot \cos(x)$ \\
|
|
$\int\limits_{\alpha}^{\beta} \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - t^2}} dt$ & $\varphi(x) = a \cdot \sin(x)$ & $\varphi^{-1}(t) = \arcsin\left(\dfrac{t}{a}\right)$ & $\varphi'(x) = a \cdot \cos(x)$ \\
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|
\midrule
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|
$\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1 + t^2} dt$ & $\varphi(x) = \sinh(x)$ & $\varphi^{-1}(t) = \text{arsinh}(t)$ & $\varphi'(x) = \cosh(x)$ \\
|
|
$\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{t^2 - 1} dt$ & $\varphi(x) = \cosh(x)$ & $\varphi^{-1}(t) = \text{arcosh}(t)$ & $\varphi'(x) = \sinh(x)$ \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
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\end{center}
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\subsection{Integrale über eine Periode (Orthogonalitätsrelationen)}
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Sei $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ und $m,n \in \N$. Dann gelten folgende Relationen:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{l c l} \toprule
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|
$\displaystyle\int\limits_0^T \sin(n \omega t) dt = 0$ & \hspace*{+20pt} &
|
|
$\displaystyle\int\limits_0^T \cos(n \omega t) dt = 0$ \\
|
|
\midrule
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|
$\displaystyle\int\limits_0^T \sin(n \omega t) \sin(m \omega t) dt = \begin{cases}
|
|
0 & n \neq m \\ \frac{T}{2} & n = m \\
|
|
\end{cases}$ & \hspace*{+20pt} & $\displaystyle\int\limits_0^T \cos(n \omega t) \cos(m \omega t) dt = \begin{cases}
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|
0 & n \neq m \\ \frac{T}{2} & n = m \\
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|
\end{cases}$ \\
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|
\midrule
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|
$\displaystyle\int\limits_0^T \sin(n \omega t) \cos(m \omega t) dt = 0$ \\
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|
\toprule
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\end{tabular}
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\end{center}
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\vfill\null
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\columnbreak
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\subsection{Liste von Trigonometrischen Integralen}
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Man kann diese Integrale \emph{normalerweise} benutzen bei der Prüfung, solange man auf die Identität vermerkt. Man setzt dabei einfach die Integralgrenzen ein, wie man es intuitiv machen würde.
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\begin{center}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
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\begin{tabular}{l c l} \toprule
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$\displaystyle \int \sin^2(x) dx = \dfrac{x - \sin(x)\cos(x)}{2} + C$ & \hspace*{+10pt} & $\displaystyle \int\frac{1}{\sin{(x)}}dx =\ln{\vert\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}+1}\vert} + C$ \\
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$\displaystyle \int \cos^2(x) dx = \dfrac{x + \sin(x)\cos(x)}{2} + C$ & \hspace*{+10pt} & $\displaystyle \int\frac{1}{\cos{(x)}}dx =\ln{\vert\frac{-\cos{(x)}}{\sin{(x)}-1}\vert} + C$ \\
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|
$\displaystyle \int \sin(x) \cos(x) dx = \dfrac{sin^2(x)}{2} + C$ & \hspace*{+10pt} & $\displaystyle \int \frac{1}{\tan(x)} dx =\ln\vert \sin(x) \vert + C$ \\
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|
$\displaystyle \int \sin^2(x)\cos(x)dx = \frac{1}{3}\sin^3(x) + C$ & \hspace*{+10pt} & $\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2(x)}dx =\tan(x) + C$ \\
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|
$\displaystyle \int \sin(x)\cos^2(x)dx = -\frac{1}{3}\cos^3(x) + C$ & \hspace*{+10pt} & $\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2{(x)}}dx =-\frac{1}{\tan{(x)}} + C$ \\
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|
$\displaystyle \int \sin^2(x)\cos^2(x)dx = \frac{1}{32}(4x-\sin(4x)) + C$ & \hspace*{+10pt} & $\displaystyle \int \arcsin(x)dx = x\cdot \arcsin(x)+\sqrt{1-x^2} + C$ \\
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|
$\displaystyle \int \arccos(x)dx =x\cdot \arccos(x)-\sqrt{1-x^2} + C$ & \hspace*{+10pt} & $\displaystyle \int \arctan(x)dx =x\cdot \arctan(x)-\frac{1}{2}\ln \vert x^2+1\vert + C$ \\
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|
\midrule
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|
$\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^4(t)\text{dt} =\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^4(t)dt = \frac{3\pi}{4}$ & \hspace*{+10pt} & $\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^3(t)\text{dt} =\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^3(t)dt = 0$ \\
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|
$\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^2(t)\text{dt} =\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^2(t)dt = \pi$ & \hspace*{+10pt} & $\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin(t)\cos^2(t)\text{dt} =\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos(t)\sin^2(t)dt=0$ \\
|
|
$\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin(t)\cos(t)\text{dt} =0$ & \hspace*{+10pt} & \\
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|
\toprule
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|
\end{tabular}
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\end{center}
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\subsubsection{Tabelle von ausgewerteten Integralen}
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Mit der Begründung ''Symmetrie'' ist es normalerweise erlaubt die \emph{Nullintegrale} der Tabelle zu benutzen. \medskip
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Den Rest der Tabelle würde ich nur zur Überprüfung der Resultate an der Prüfung verwenden. Denke nicht, dass es Pünkte gibt, wenn man direkt das Resultat schreibt.
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\begin{center}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
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\begin{tabular}{ r c c c c c c c }\toprule
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|
\textbf{Funktion:} & \multicolumn{5}{l}{\textbf{Integralgrenzen:}} \\
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\midrule
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& $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}$ & $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}$ & $\displaystyle\int_0^{\pi}$ & $\displaystyle\int_0^{2\pi}$ & $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$ & $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ & $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$ \\
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|
\midrule
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$\sin(x)$ & $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$ & $1$ & $2$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\
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$\sin^2(x)$ & $\frac{\pi-2}{8}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\pi$ & $\frac{\pi-2}{4}$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\pi$ \\
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|
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|
$\sin^3(x)$ & $\frac{8-5\sqrt{2}}{12}$ & $\frac{2}{3}$ & $\frac{4}{3}$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\
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$\cos(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{2}}$ & $1$ & $0$ & $0$ & $\sqrt{2}$ & $2$ & $0$ \\
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$\cos^2(x)$ & $\frac{2+\pi}{8}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\pi$ & $\frac{2+\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\pi$ \\
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|
|
|
$\cos^3(x)$ & $\frac{5}{6\sqrt{2}}$ & $\frac{2}{3}$ & $0$ & $0$ & $\frac{5}{3\sqrt{2}}$ & $\frac{4}{3}$ & $0$ \\
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|
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|
$\sin \cdot \cos(x)$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\
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|
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|
$\sin^2 \cdot \cos(x)$ & $\frac{1}{6\sqrt{2}}$ & $\frac{1}{3}$ & $0$ & $0$ & $\frac{1}{3\sqrt{2}}$ & $\frac{2}{3}$ & $0$ \\
|
|
|
|
$\sin \cdot \cos^2(x)$ & $\frac{4-\sqrt{2}}{12}$ & $\frac{1}{3}$ & $\frac{2}{3}$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
\end{multicols*}
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\begin{multicols*}{3}
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\section{Relevante Plots}
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\subsection{Trigonometrische Funktionen}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Trigonometric_functions.png}
|
|
\end{center}
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|
\subsection{Einheitskreis}
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\begin{center}
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|
\includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/unit-circle.jpg}
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|
\end{center}
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|
\vfill\null
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|
\columnbreak
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|
|
\subsection{Hyperbelfunktionen}
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|
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\begin{center}
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|
\includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Sinh_cosh_tanh.png}
|
|
\end{center}
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|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
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|
|
\subsection{Areafunktionen (Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen)}
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|
|
|
\begin{center}
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|
\includegraphics[width=0.95\linewidth]{Bilder/arsinh.png}
|
|
\end{center}
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|
|
|
\begin{center}
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|
\includegraphics[width=0.95\linewidth]{Bilder/arcosh.png}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.95\linewidth]{Bilder/artanh.png}
|
|
\end{center}
|
|
\end{multicols*}
|
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|
\begin{multicols*}{3}
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|
\subsection{Kochrezepte}
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\subsubsection{Überprüfung auf Differenzierbarkeit}
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Meistens ist der Ursprung $(0,0)$ gefragt mit Funktionen, welche bis auf den Ursprung differenzierbar sind. Das allgemeine Vorgehen ist: \medskip
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i) Auf Stetigkeit überprüfen. \textbf{Polarkoordinantentrick}:
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\begin{center}
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$r^2 = x^2+y^2$ mit $x = r \cdot \cos(\varphi)$ und $y = r \cdot \sin(\varphi)$
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\end{center}
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\medskip
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Falls $\lim\limits_{r \to r_0}$ unabhängig von $\varphi$ existiert, dann ist $f$ stetig in $(x_0,y_0)$. \medskip
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\emph{Unstetigkeit zeigen}: Man untersucht die Grenzwerte verschiedener Folgen $(\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ und $(0,\frac{1}{n})$ und zeigt, dass zwei Unterschiedliche Grenzwerte vorhanden sind. \medskip
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ii) Differenzierbarkeit überprüfen: Partielle Ableitungen bestimmen und Definition Differenzierbarkeit einsetzen (evtl. Polarkoordinantentrick für Grenzwert benutzen). \medskip
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\emph{Nicht differenzierbar} zeigen: Neben Unstetigkeit in $(x_0,y_0)$ oder Unstetigkeit von $\partial_x f, \partial_y f$ kann man auch zeigen, dass für $\vec{v} = h\cdot(v_1,v_2)$:
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\begin{center}
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$\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(h v_1,h v_2)-f(x_0)}{h}$
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\end{center}
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unterschiedliche Werte, z.B. links- und rechtsseitiger Grenzwert sind nicht gleich, besitzt. Oder man zeigt, dass die Richtungsableitungen nicht linear von $v$ abhängen.
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\subsubsection{Überprüfen auf Stetigkeit}
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Neben den schon oben erwähnten Tricks, gibt es noch ein Paar weitere Hinweise: \medskip
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Beim $\delta,\epsilon$-Kriterium oder gleichmässige Konvergenz benötigt man oft die Dreiecksungleichung (oft mit einer verschwindenden $\pm$-Term Addition) oder die binomischen Formeln.
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\subsubsection{Überprüfung Gleichmässige Konvergenz}
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\begin{enumerate}
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\item Punktweisen Limes von $f_n$ auf $\Omega$ für fixes $x\in\Omega$ berechnen, d.h.
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$$f(x) =\lim \limits_{n\to\infty} f_n(x)$$
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Kann verschiedene Werte annehmen, je nach Punkt $x_0$!
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\item Prüfe $f_n$ auf gleichmässige Konvergenz. Vorgehen:
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\begin{enumerate}
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\item Berechne $\sup \limits_{x\in\Omega} |f_n(x)-f(x)|$. Oft ist es von Vorteil die \textbf{Ableitung} $\frac{d}{dx} |f_n(x)-f(x)|$ zu berechnen und \textbf{gleich Null zu setzen}, um das Maximum der Menge zu bestimmen.
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\item Bilde den Limes für $n\to\infty$: $\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in\Omega}|f_n(x)-f(x)|$, konvergiert dies für $n\to \infty$ so gilt gleichmässige konvergenz.
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\end{enumerate}
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Indirekte Methoden:
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\begin{enumerate}
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\item $ f$ unstetig $\Rightarrow$ keine gleichmässige Konvergenz
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\item $f$ stetig, $f_n(x)\leq f_{n+1}(x),\quad\forall x \in\Omega $ und $\Omega$ kompakt $\Rightarrow$ gleichmässige Konvergenz
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\vfill\null
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\columnbreak
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\end{multicols*}
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