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\section{Basics}
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\subsection{Trigonometrie}
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\begin{minipage}{0.25\linewidth}
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\includegraphics[width=1\textwidth]{Figures/Trigo_2.jpg}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.73\linewidth}
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\eqbox{$\sin(\alpha) = \dfrac{G}{H}, \qquad \cos(\alpha) = \dfrac{A}{H}, \qquad \tan(\alpha) = \dfrac{G}{A}$}
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\end{minipage} \medskip
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\begin{center}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
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\begin{tabular}{r c c c c c} \toprule
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deg/rad & 0$^\circ$/0 & 30$^\circ$/$\frac{\pi}{6}$ & $45^\circ$/$\frac{\pi}{4}$ & 60$^\circ$/$\frac{\pi}{3}$ & 90$^\circ$/$\frac{\pi}{2}$ \\ \midrule
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sin & $0$ & $\frac{\sqrt{1}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ \\
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cos & $1$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{1}}{2}$ & $0$ \\
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tan & $0$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & - \\ \bottomrule
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\end{tabular}
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\end{center}
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Trigonometrische Identitäten: \eqbox{$\tan = \dfrac{\sin}{\cos}, \qquad \sin^2 + \cos^2 = 1$} \medskip
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Ausserdem gilt: $\sin(-x) = -\sin(x), \quad \cos(-x) = \cos(x)$
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\subsection{Nützliche Geometrien}
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Die normierten Einheitsvektoren für häufig vorkommende Winkel:
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.32\textwidth]{Figures/Trigo_1.jpg}
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\end{center}
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Ähnliche Dreiecke (Dreiecke mit gleichen Winkeln): \eqbox{$\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.13\textwidth]{Figures/Similar.jpg}
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\end{center}
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\subsection{Vektorgeometrie}
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Man normiert einen Vektor, d.h. $|\vect{e}_v | = 1$, wie folgt: \eqbox{$\vect{e}_v = \dfrac{\vect{v}}{| \vect{v} |}$} \medskip
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Trick in 2D: Orthogonaler Vektor zu einem Vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ ist $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$. \medskip
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Verbindungsvektor zwischen 2 Punkten: \eqbox{$\vect{r}_{OA} = \vect{r}_A - \vect{r}_O$}
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\vfill
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\subsection{Analysis}
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Konvention: \,
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\begin{tabular}{l l}
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$y'(x) = y'$ & Ableitung nach $x$ \\
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$y'(t) = \dot y$ & Ableitung nach $t$ \\
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\end{tabular} \medskip
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Kettenregel: \eqbox{$[g(f(x))]' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$} \medskip
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Ist $\dot{y}$ abhängig von $x(t)$: \eqbox{$\dot{y} = \dfrac{dy(t)}{dt} = \dfrac{dy(t)}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dy(t)}{dx} \cdot \dot{x}$}
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\section{Kinematik}
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\subsection{Bahnkurve}
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Die Parametrisierung der Lage eines Punktes nach Zeit:
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\begin{center}
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Formell: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 \quad t \mapsto \vect{r}(t)$ wobei $\vect{r}(t) = \begin{pmatrix}x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$
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\end{center}
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\subsection{Geschwindigkeit und Schnelligkeit (in kart. Koordinaten)}
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Die Geschwindigkeit beschreibt, wie sich der Ortsvektor ändert:
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\begin{center}
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$\vect{v}(t) := \dfrac{d \vect{r}(t)}{d t} = \lim\limits_{dt \to 0} \dfrac{\vect{r}(t + dt) - \vect{r}(t)}{dt} = \vect{\dot r}(t) = \begin{pmatrix}\dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix}$
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\end{center}
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Geometrisch ist es die Tangente zur Bahnkurve. Achtung, die Geschwindigkeit ist \emph{nicht} immer senkrecht zum Ortsvektor (Gegenbsp. Gerade).
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\begin{center}
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Schnelligkeit: \eqbox{$v = |\vect{v}| = \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2}$}
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\end{center}
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\subsection{Zylinderkoordinaten ($\rho, \varphi, z$)}
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\begin{center}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
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\begin{tabular}{r l} \toprule
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Ortsvektor: & $\vect{r} = \rho \vect{e}_\rho(\varphi) + z \vect{e}_z$ \\
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Geschwindigkeit: & $\vect{v} = \dot \rho \vect{e}_\rho + \rho \dot \varphi \vect{e}_\varphi + \dot z \vect{e}_z$ \\
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Schnelligkeit: & $v = \sqrt{\dot{\rho}^2 + \rho^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2}$ \\ \bottomrule
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\end{tabular}
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\includegraphics[width=0.30\textwidth]{Figures/KoordinatenSys.jpg}
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\end{center}
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Transformationsregeln:
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\begin{center}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
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\begin{tabular}{r l l l } \toprule
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$Z \to C$ & $x = \rho \cos(\varphi)$ & $y = \rho \sin(\varphi)$ & $z = z$ \\
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$C \to Z$ & $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ & $\varphi = \arctan\frac{y}{x}$ & $z = z$ \\ \bottomrule
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\end{tabular}
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\end{center}
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Alternativ, Einheitsvektoren transformieren:
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\begin{center}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
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\begin{tabular}{r l l} \toprule
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$C \to Z$ & $\vect{e}_\rho = \cos(\varphi)\vect{e}_x + \sin(\varphi)\vect{e}_y$ & $\vect{e}_\varphi = -\sin(\varphi)\vect{e}_x + \cos(\varphi)\vect{e}_y$ \\
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$Z \to C$ & $\vect{e_x} = \cos(\varphi)\vect{e}_\rho - \sin(\varphi)\vect{e}_\varphi$ &
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$\vect{e_y} = \sin(\varphi)\vect{e}_\rho + \cos(\varphi)\vect{e}_\varphi$ \\ \bottomrule
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\end{tabular}
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\end{center}
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\vfill
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\subsection{Satz der projizierten Geschwindigkeiten (SdpG)}
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Charakterisierung starrer Körper: \eqbox{$\forall P,Q \in SK: |\vect{r}_Q - \vect{r}_P| = \text{const.}$} \medskip
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Die Projektionen $\mathbf{v}'_p, \mathbf{v}'_Q$ der Geschwindigkeit von zwei beliebigen Punkten $P, Q$ eines SKs auf ihre Verbindungsgerade sind gleich:
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\begin{center}
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\eqboxf{$v'_P = v'_Q \qquad (\vect{r}_P - \vect{r}_Q)(\vect{v}_P - \vect{v}_Q) = 0$}
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\includegraphics[width=0.15\textwidth]{Figures/SdPG.jpg}
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\end{center}
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\subsection{Momentane Bewegungsarten eines Starrkörpers}
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Solange der Körper \emph{wenigstens} momentan ein SK ist, gilt momentan:
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\begin{tabular}{r l} \toprule
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i) & Starre Bewegung: SdpG immer erfüllt! \\
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ii) & Translation: $\vect{v}_p = \vect{v} \quad \forall P \in SK$ \quad (Alle Geschw. parallel) \\
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iii) & Rotation: Starre Bewegung mit ruhender Rotationsachse \\
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iv) & Ebene Bewegung: - Alle $\vect{v}$ sind zur Ebene $E$ parallel. \\
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& - Alle $P$ auf einer Normalen zur Ebene $E$ haben gleiches $\vect{v}$. \\ \bottomrule
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\end{tabular}
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Momentan bedeutet zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ ('Snapshot').
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\subsection{Satz vom Momentanzentrum (Rotation)}
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Das Momentanzentrum $M$ eines SK ist beim Punkt (kann ausserhalb SK sein), wo momentan $v = 0$ gilt. Die Geschwindigkeit $\vect{v}_P$ eines beliebigen Punktes im SK steht stehts sekrecht auf der Verbindungsgerade mit $M$.
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Figures/Momentanzentrum.jpg}
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\end{center}
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Jeder SK besitzt ein \emph{eigenes} $M$ und mit eigener Rotationsschnelligkeit $\omega$, welche stehts CCW dreht (Rechte Hand Regel).
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\begin{center}
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\eqboxf{$\vect{v}_P = \vect{\omega} \times \vect{r}_P \qquad (\text{2D}: v_P = \omega \cdot r_P)$}
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\end{center}
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Die \emph{Rotationsachse} ist eine Gerade in Richtung der Rotationsgeschwindigkeit $\vect{\omega}$, auf welcher alle Punkte momentan $v = 0$ besitzen.
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\begin{minipage}{0.45\linewidth}
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\eqbox{\begin{tabular}{l}
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Parallelogrammregel: \\
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$\vect{\omega}_2 = \vect{\omega}_4 \qquad \vect{\omega}_1 = \vect{\omega}_3$ \\
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\end{tabular}}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.45\linewidth}
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\includegraphics[width=1\textwidth]{Figures/Parallelogramm.jpg}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.35\linewidth}
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\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Figures/RollenOhneGleiten.jpg}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\eqbox{\begin{tabular}{l}
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Rollen ohne gleiten: \\
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- $\vect{v}_A = 0 \Rightarrow$ Momentanzentrum \\
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- Der Körper \emph{haftet} am Boden \\
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\end{tabular}}
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\end{minipage}
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\vfill
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\pagebreak
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\subsection{Freiheitsgrad (FG)}
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Der Freiheitsgrad ist die minimale Anzahl Koordinaten für die eindeutige Bestimmung der Lage eines bestimmten Systems. Ein unbehinderter Starrkörper besitzt in 2D einen FG von 3 und in 3D einen FG von 6.
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\begin{center}
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\begin{minipage}{0.2\linewidth}
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\eqboxf{$f = n - b$}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.75\linewidth}
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\begin{tabular}{l}
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$f$: Freiheitsgrad gebundenes System \\
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$n$: Anzahl SK $\cdot$ deren FG (2D: FG 3, 3D: FG 6) \\
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$b$: Anzahl der linear unabhängigen Bindungen \\
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\end{center}
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\includegraphics[width=0.32\textwidth]{Figures/FG.jpg}
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\subsection{Kreiselung}
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Die Kreiselung ist eine spezielle Starrkörperbewegung, die dadurch charakterisiert ist, dass \emph{nur ein} Punkt des Körpers fixiert bleibt. \medskip
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Eine Kreiselung ist \emph{momentan} eine Rotation.
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\subsection{Starrkörperformel und Kinemate}
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Für jeden Punkt \emph{innerhalb} einem SK gilt für die Geschwindigkeit:
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\begin{center}
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\eqboxf{$\vect{v}_P = \vect{v}_B + \vect{\omega} \times \vect{r}_{BP} \quad \forall P,B \in SK$}
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\includegraphics[width=0.20\textwidth]{Figures/SKFormel.jpg}
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\end{center}
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Die Kinemate von Punkt $B$ ist \eqboxf{$\{\vect{v}_B,\vect{\omega}\}$} \medskip
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Mit den \emph{Invarianten}, d.h. der Wert ist unabhängig vom Punkt im SK:
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\begin{center}
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\eqbox{$\vect{I}_1 = \vect{\omega}$} und \eqbox{$I_2 = \vect{v}_P \cdot \vect{\omega}$} \medskip
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\begin{tabular}{r l l } \toprule
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Translation: & $\vect{I}_1 = \vect{0}$ und $I_2 = 0$ & $\Rightarrow \vect{\omega} = \vect{0}$ \\
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Rotation: & $\vect{I}_1 \neq \vect{0}$ und $I_2 = 0$ & $\Rightarrow \vect{\omega} \perp \vect{v}_P$ \\
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Schraubung: & $\vect{I}_1 \neq \vect{0}$ und $I_2 \neq 0$ \\ \bottomrule
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\end{tabular}
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\end{center}
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Alle Punkte auf der \emph{Zentralachse} besitzen die gleiche Geschwindigkeit.
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.1\textwidth]{Figures/Zentralachse.jpg}
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\end{center}
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\vfill
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\subsection{Kräfte}
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Kräfte werden durch einen Vektor dargestellt, welcher einen Angriffspunkt und eine Wirkungslinie besitzt.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Figures/Kraft.jpg}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.45\linewidth}
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Einheit: $[F] = N = \frac{m \cdot kg}{s^2}$
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\end{minipage}
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\textbf{Reaktionsprinzip}: Wenn ein Körper $K_1$ eine Kraft auf einen anderen Körper $K_2$ ausübt, dann übt $K_2$ auch auf $K_1$ eine gleich grosse, aber entgegengesetze Kraft aus. \medskip
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Kräfte werden \emph{abhängig vom betrachteten System} unterteilt in:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{r l} \toprule
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\textbf{Äussere Kräfte}: & Reaktionskraft \emph{nicht} im betrachteten System. \\
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\textbf{Innere Kräfte}: & Reaktionskraft \emph{auch} im betrachteten System. \\ \bottomrule
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\end{tabular}
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\end{center}
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\subsection{Leistung}
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Die Leistung ist: \eqboxf{$P = \vect{F} \cdot \vect{v}$} \quad Einheit: $[P] = W = \frac{J}{s} = \frac{N \cdot m}{s}$ \medskip
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Eine \emph{leistungslose Kraft} ($P = 0$) hat die Eigenschaft $\vect{F} \perp \vect{v}$.
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\subsection{Moment}
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Das Moment beschreibt die Drehwirkung einer Kraft $F$ auf einen Körper in einem Punkt $P$ und ist vom Bezugspunkt $O$ abhängig:
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\begin{center}
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\eqboxf{$\vect{M}_O(P) = \vect{r}_{OP} \times \vect{F}_P$} \quad Einheit: $[M] = Nm$
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$F$ darf man auf der Wirkungslinie verschieben!
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\end{center}
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Transformationsregel vom Moment: \eqbox{$\vect{M}_B = \vect{M}_O + \vect{r}_{BO} \times \vect{R}$} \medskip
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Bei einer reinen Rotation gilt: $P = \vect{M}_O \cdot \vect{\omega}$
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.32\textwidth]{Figures/2D_Moment.jpg}
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\end{center}
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Der Betrag von Moment $M_0$ einer Kraft $F$ mit Angriffspunkt $P$ ist:
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\begin{center}
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\eqbox{$|\vect{M}_O| = F \cdot r_{OP} \cdot \sin\gamma = \pm F \cdot d \qquad d = | \vect{r}_{OP} \times \vect{e}_{F} |$}
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Wobei $\pm$ durch die Rechte Hand Regel bestimmt wird
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\end{center}
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Hier bezeichnet $d$ den kürzesten Abstand der Wirkungslinie der Kraft vom Bezugspunkt $O$. Diese Länge nennt man \emph{Hebelarm}.
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\subsection{Resultierende}
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\begin{center}
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\renewcommand{\arraystretch}{2}
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\begin{tabular}{r l} \toprule
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Resultierende Kraft: & $\vect{R} = \sum\limits_{i = 1}^n \vect{F}_i$ \\
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Resultierendes Moment: & $\vect{M}_O^{tot} = \sum\limits_{i = 1}^n \vect{M}^i_O$ \\
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Gesamtleistung: & $P_{tot} = \sum\limits_{i = 1}^n P_i = \sum\limits_{i = 1}^n \vect{F}_i \cdot \vect{v}_i$ \\ \bottomrule
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\end{tabular}
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\end{center}
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Die Gesamtleistung eines Starrkörpers ist:
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\begin{center}
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\eqbox{$P_{tot} = \vect{R} \cdot \vect{v}_B + \vect{M}_B \cdot \vect{\omega}$}
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mit Kinemate $\{ \vect{v}_B, \vect{\omega} \}$ und Dyname $\{\vect{R}, \vect{M}_B \}$
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\end{center}
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\vfill |