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\section{Satz vom Momentanzentrum}
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In Kapitel \ref{sec:evenm} haben wir einen wichtigen Satz in der Technischen Mechanik kennengelernt. Dabei haben wir zwischen Translation und Rotation geredet. Dabei kam die Gleichung \ref{eq:rot} ins Spiel. Wir werden nun diese Gleichung genauer betrachten.
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Bevor wir weiterfahren klären wir zuerst, was das Momentanzentrum ist.
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\dfn{Momentanzentrum}{
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Das Momentanzentrum ist der Punkt eines Starkörpers, welcher momentan in Ruhe ist d.h. keine Geschwindigkeit besitzt.
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\begin{minipage}{0.7\linewidth}
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_7.png}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\[
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\vec{v}_{MZ} = 0
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.\]
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\end{minipage}
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\nt{
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Ein Punkt, der den Boden oder die Wand berührt, ist ein Momentanzentrum. Im Dreidimensionalen ist das Momentanzentrum eine Kontaktlinie.
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}
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}
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\dfn{Satz vom Momentanzentrum}{
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_8.png}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\[
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\vec{v}_p = \vec{\omega} \times \vec{r}_p
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.\]
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\end{minipage}
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Die Formel besagt, dass die Geschwindigkeit bei einer Rotation an einem Punkt durch das Kreuzprodukt der Rotationsgeschwindigkeit und dem Vektor vom Momentanzentrum zum Punkt bestimmt werden kann.
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\nt{
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Das Kreuzprodukt darf nicht vertauscht werden.
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}
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Aufgrund des Kreuzproduktes und SdpG sind die Geschwindigkeitsvektoren immer senkrecht zum Verbindungsvektor zwischen dem Momentanzentrum und dem Punkt.
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}
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Die Rotationsschnelligkeit kann durch den Betrag der Rotationsgeschwindigkeit berechnet werden (Kapitel \ref{sec:spee}) oder durch die zeitliche Ableitung des Rotationswinkels $\Theta$. ($\omega = \dot{\Theta} = \frac{d \Theta}{dt}$)
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Die Schnelligkeit eines Punktes kann durch die Multiplikation der Winkelschnelligkeit und der Distanz vom Momentanzentrum zum Punkt. ($v_p = \omega \cdot r_p$)
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\nt{
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Es hat immer nur ein $\omega$ pro Starrkörper.
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}
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\subsection{Die Parallelogrammregel}
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\dfn{Parallelogrammregel}{
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Wenn Starrkörper ein Parallelogramm bilden, so haben die parallel stehenden Starrkörper dieselbe Winkelgeschwindigkeit.
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\[
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\omega_1 = \omega_3 \text{ und } \omega_2 = \omega_4
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.\]
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.7\linewidth}
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_9.png}
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\end{minipage}
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}
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\nt{
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Die Vorzeichen der x und y Komponente des Geschwindigkeitsvektors kann man entweder grafisch oder über das Kreuzprodukt bestimmen.
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}
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\subsection{Winkelgeschwindigkeit $\omega$} \label{sec:wige}
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$\omega$ kann durch die rechte Hand bestimmt werden. Dies folgt aus dem Fakt, dass $\vec{\omega}$ nur eine z Komponente besitzt.
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_10.png}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.7\linewidth}
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Die ursprüngliche Richtung von $\omega$ kann selbst bestimmt werden. Diese Richtung bestimmt imnachhinein die Richtung von $\vec{\omega}$.
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\end{minipage}
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