1900 lines
77 KiB
TeX
1900 lines
77 KiB
TeX
\documentclass[a4paper, fontsize = 8pt, landscape]{scrartcl}
|
|
\usepackage[german]{babel}
|
|
\usepackage[landscape, margin=0.5cm]{geometry}
|
|
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
|
|
% Hyperref links, pdf metadata
|
|
\usepackage{hyperref}
|
|
\usepackage{amscd, amsmath, amssymb, blindtext, empheq, enumitem, multicol}
|
|
\usepackage{mathrsfs}
|
|
\usepackage{mathtools}
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|
\usepackage{tikz}
|
|
\usepackage{array} %for bigger tabular spacings
|
|
\usepackage{multirow} % for multirow cells in tabular
|
|
%% Formal tables
|
|
\usepackage{booktabs}
|
|
%% Colorbox
|
|
\usepackage[most]{tcolorbox}
|
|
|
|
% make document compact
|
|
\parindent 0pt
|
|
\pagestyle{empty}
|
|
\setlength{\unitlength}{1cm}
|
|
\setlist{leftmargin = *}
|
|
% define some colors
|
|
\definecolor{title}{RGB}{229,140,140}
|
|
\definecolor{subtitle}{RGB}{234,165,165}
|
|
\definecolor{subsubtitle}{RGB}{249,210,210}
|
|
\definecolor{text}{RGB}{0,0,0}
|
|
\definecolor{formulabox}{RGB}{182,225,189}
|
|
|
|
% section color box
|
|
\setkomafont{section}{\mysection}
|
|
\newcommand{\mysection}[1]{\vspace*{-3pt}% Space before Box
|
|
\Large\normalfont \sffamily \bfseries%
|
|
\setlength{\fboxsep}{0cm}%already boxed
|
|
\colorbox{title}{%
|
|
\begin{minipage}{\linewidth}%
|
|
\vspace*{2pt}%Space before
|
|
\leftskip2pt %Space left
|
|
\rightskip\leftskip %Space right
|
|
{\color{text} #1}
|
|
\vspace*{1pt}%Space after
|
|
\end{minipage}%
|
|
}}
|
|
%subsection color box
|
|
\setkomafont{subsection}{\mysubsection}
|
|
\newcommand{\mysubsection}[1]{\vspace*{-3pt}% Space before Box
|
|
\normalsize \normalfont \sffamily \bfseries%
|
|
\setlength{\fboxsep}{0cm}%already boxed
|
|
\colorbox{subtitle}{%
|
|
\begin{minipage}{\linewidth}%
|
|
\vspace*{2pt}%Space before
|
|
\leftskip2pt %Space left
|
|
\rightskip\leftskip %Space right
|
|
{\color{text} #1}
|
|
\vspace*{1pt}%Space after
|
|
\end{minipage}%
|
|
}}
|
|
%subsubsection color box
|
|
\setkomafont{subsubsection}{\mysubsubsection}
|
|
\newcommand{\mysubsubsection}[1]{\vspace*{-5pt}% Space before Box
|
|
\normalsize \normalfont \sffamily %
|
|
\setlength{\fboxsep}{0cm}%already boxed
|
|
\colorbox{subsubtitle}{%
|
|
\begin{minipage}{\linewidth}%
|
|
\vspace*{2pt}%Space before
|
|
\leftskip2pt %Space left
|
|
\rightskip\leftskip %Space right
|
|
{\color{text} #1}
|
|
\vspace*{1pt}%Space after
|
|
\end{minipage}%
|
|
}}
|
|
|
|
|
|
% equation box
|
|
\newcommand{\eqbox}[1]{\fcolorbox{black}{white}{\hspace{0.2em}#1\hspace{0.2em}}}
|
|
\newcommand{\eqboxf}[1]{\fcolorbox{black}{formulabox}{\hspace{0.2em}#1\hspace{0.2em}}}
|
|
|
|
%Laplace Operator
|
|
\newcommand{\LAPB}[1]{\text{\textbf{L}}\left\{ #1 \right\}}
|
|
\newcommand{\LAPZ}[1]{\text{\textbf{L}}^{-1}\left\{ #1 \right\}}
|
|
|
|
%macros
|
|
\newcommand{\vect}[1]{\mathbf{\underline{#1}}}
|
|
\newcommand{\liminfty}[1]{\lim\limits_{#1 \to \infty}}
|
|
\renewcommand{\Im}[1]{\text{Im}(#1)}
|
|
\renewcommand{\Re}[1]{\text{Re}(#1)}
|
|
\renewcommand{\arg}[1]{\text{arg}(#1)}
|
|
\newcommand{\Arg}[1]{\text{Arg}(#1)}
|
|
\newcommand{\Log}[1]{\text{Log}(#1)}
|
|
\newcommand{\Res}[1]{\text{Res}(#1)}
|
|
\newcommand{\R}[0]{\mathbb{R}}
|
|
\newcommand{\N}[0]{\mathbb{N}}
|
|
\newcommand{\Z}[0]{\mathbb{Z}}
|
|
\newcommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
|
|
|
|
\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
|
|
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
|
|
\newcolumntype{R}[1]{>{\raggedleft\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
|
|
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\setcounter{secnumdepth}{0} %no enumeration of sections
|
|
\begin{multicols*}{3}
|
|
\begin{center}
|
|
\Large{Komplexe Analysis} \\
|
|
\tiny{von P.Bölsterli, Fehler bitte an \href{mailto:pbolsterli@student.ethz.ch}{pbolsterli@student.ethz.ch}}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\section{Komplexe Zahlen}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Normalform}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathbb{C} := \{a + i b: a,b \in \mathbb{R}\}$} wobei \eqboxf{$i = \sqrt{-1}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Sei $z \in \mathbb{C}$ mit $z = a + ib$. Es gelten folgende Rechenregel:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{tabular}{r l} \toprule
|
|
Realteil & $\Re{z} = a = \dfrac{z + \overline{z}}{2}$ \\
|
|
Imaginärteil & $\Im{z} = b = \dfrac{z - \overline{z}}{2i}$ \\ \midrule
|
|
Komplexe Konjugation & $\overline{z} = a - ib$ \\
|
|
& $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$, \, $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ \\ \midrule
|
|
Addition & $z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)$ \\
|
|
Multiplikation & $z_1 \cdot z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_2 b_1 + a_1 b_2)$ \\
|
|
Division & $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}}$ \\ \midrule
|
|
Dreiecksungleichung & $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ \\ \midrule
|
|
Absolutbetrag & $| z | = \sqrt{z \overline{z}} = \sqrt{\Re{z}^2 + \Im{z}^2}$ \\
|
|
& $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ \\
|
|
Phase & $\varphi = \arctan \left( \dfrac{\Im{z}}{\Re{z}} \right)$ \\ \bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Eulersche Formel und Eulers Identität}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{minipage}{0.47 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i \sin\varphi$}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.47 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$e^{i \pi} = -1$} \qquad \eqbox{$e^{2 \pi i} = 1$}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Trigonometrische- und Hyperbelfunktionen}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{minipage}{0.47 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{r l}
|
|
$\sin(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$ \\
|
|
\\
|
|
$\cos(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ \\
|
|
\\
|
|
$\tan(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{\sin(z)}{\cos(z)}$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.47 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{r l}
|
|
$\sinh(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{e^{z} - e^{-z}}{2}$ \\
|
|
\\
|
|
$\cosh(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{e^{z} + e^{-z}}{2}$ \\
|
|
\\
|
|
$\tanh(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{\sinh(z)}{\cosh(z)}$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Trigonometrische Funktionen: Wertetabelle}
|
|
|
|
Die Sinus- und Cosninusfunktionen sind beide $2\pi$-periodisch.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{tabular}{r c c c c c} \toprule
|
|
deg/rad & 0$^\circ$/0 & 30$^\circ$/$\frac{\pi}{6}$ & $45^\circ$/$\frac{\pi}{4}$ & 60$^\circ$/$\frac{\pi}{3}$ & 90$^\circ$/$\frac{\pi}{2}$ \\ \midrule
|
|
sin & $0$ & $\frac{\sqrt{1}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ \\
|
|
cos & $1$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{1}}{2}$ & $0$ \\
|
|
tan & $0$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $1$ & $\sqrt{3}$ & - \\ \bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\begin{tabular}{r c c c c} \toprule
|
|
deg/rad & 120$^\circ$/$\frac{2\pi}{3}$ & 135$^\circ$/$\frac{3\pi}{4}$ & $150^\circ$/$\frac{5\pi}{6}$ & 180$^\circ$/$\pi$ \\ \midrule
|
|
sin & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ \\
|
|
cos & $- \frac{1}{2}$ & $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ & $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $-1$ \\
|
|
tan & $-\sqrt{3}$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $0$ \\ \bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Polarform}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{minipage}{0.47 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Euler.jpg}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.47 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
Die Polarform lautet: \medskip
|
|
|
|
\eqbox{ \begin{tabular}{r l}
|
|
$z$ & \hspace*{-10pt}$= |z| \cdot e^{i\varphi}$ \\
|
|
& \hspace*{-10pt}$= |z| \cdot (\cos\varphi + i \sin\varphi)$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Die Exponentialfunktion ist $2\pi i$-periodisch, deswegen wird definiert:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{r l} \toprule
|
|
Argument & $\arg{z} = \{\varphi + 2 k \pi , k \in \mathbb
|
|
{Z}\}$ \\
|
|
Hauptwert des Argument & $\Arg{z} = \varphi \in (-\pi, \pi]$ \\ \bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Rechenregeln in der Polarform (Exponentialform)}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
|
|
\begin{tabular}{r l} \toprule
|
|
Realteil & $\Re{z} = \cos(\varphi)$ \\
|
|
Imaginärteil & $\Im{z} = \sin(\varphi)$ \\ \midrule
|
|
Komplex Konjugation & \hspace*{-10pt} $\overline{z} = | z | e^{-i\varphi} = |z| \cdot (\cos\varphi - i\sin\varphi)$ \\ \midrule
|
|
Multiplikation & \hspace*{-10pt} $z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$ \\
|
|
Division & \hspace*{-10pt} $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \cdot e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$ \\ \midrule
|
|
Potenzieren & \hspace*{-10pt} $(|z|e^{i\varphi})^n = |z|^n \cdot e^{i (n \cdot \varphi)}$ \\
|
|
n-te Wurzel & \hspace*{-10pt} $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \cdot e^{i(\frac{\varphi}{n} + \frac{2 \pi k}{n})}, \, k = 0, \dots, n-1$ \\ \midrule
|
|
Logarithmus & \hspace*{-10pt} $\log(z) = \log|z| + i (\varphi + 2 \pi k)$ \\
|
|
Hauptwert des Log & \hspace*{-10pt} $\Log{z} = \log|z| + i \varphi$ \\ \midrule
|
|
Potenzen mit $z,w \in \mathbb{C}$ & \hspace*{-10pt} $z^w := e^{w \cdot \log(z)}$ \\
|
|
Hauptwert der Potenz & \hspace*{-10pt} $p.v.(z^w) = e^{w \cdot \Log{z}}$ \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Logarithmusgesetze gelten \textbf{nicht} beim komplexwertigen Logarithmus!
|
|
|
|
|
|
\subsection{Komplexe Folgen und Reihen}
|
|
|
|
Sei eine komplexe Folge ($z_n = x_n + i y_n$). Der Grenzwert existiert, wenn
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = y \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} z_n = x + iy$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Absoluten Konvergenz gilt auch für komplexwertige Reihen, \emph{solange man den komplexen Absolutbetrag nimmt}.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Offene Kreisscheibe}
|
|
|
|
Die offene Kreisscheibe mit Zentrum $z_0 \in \C$ und Radius $r \in \R^+$ ist:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{minipage}{0.45 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Bilder/Kreisscheibe.jpg}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.52 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$B(z_0,r) := \{z \in \mathbb{C}: |z - z_0| < r\}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Sei $z_0 = x_0 + i \, y_0$. Dann ist eine äquivalente Kreisgleichung:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Fundamentalsatz der Algebra}
|
|
|
|
Jedes Polynom vom Grad $g$ hat genau $g$ Nullstellen. Falls ein Polynom eine komplexe Nullstelle $z_0$ besitzt, dann ist $\overline{z_0}$ auch eine Nullstelle.
|
|
|
|
\subsubsection{Mitternachtsformel}
|
|
|
|
Die Nullstellen eines Polynom zweiter Ordnung ($az^2 + b z + c = 0$) sind:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$z_\pm = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{-b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2 - 4 ac}{4a^2}}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Binomische Formeln}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{tabular}{r l}
|
|
$z^2 = (a + ib)^2$ & $= a^2 - b^2 + i2ab$ \\
|
|
$z^3 = (a + ib)^3$ & $= a^3 - 3ab^2 + i(3a^2 b - b^3)$ \\
|
|
$z^4 = (a + ib)^4$ & $= a^4 - 6a^2b^2 + b^4 + i(4a^3b - 4ab^3)$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Grenzwert einer Funktion}
|
|
|
|
Sei $f: U \setminus \{z_0\} \to \C$ eine Funktion, wobei $U \subset \C$ und $z_0 \in U$. Der Grenzwert von $f(z_0)$ ist $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = a$, falls
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\forall \epsilon > 0 \,\, \exists \delta > 0, \text{ s.d. } \forall z \in U: |z - z_0| < \delta \Rightarrow \, |f(z) - a| < \epsilon$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Bemerkung: Sei $a = a_1 + i a_2 \in \C$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = a \Leftrightarrow \left(\lim\limits_{z \to z_0} \Re{f(z)} = a_1\right) \land \left(\lim\limits_{z \to z_0} \Im{f(z)} = a_2\right)$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Stetigkeit}
|
|
|
|
Sei eine offene Menge $U \in \mathbb{C}$ und $f: U \to \mathbb{C}$. $f(z)$ ist stetig im Punkt $z_0 \in U$, genau dann wenn
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
$f(z)$ ist auf $U$ stetig, falls $f(z)$ an jeder Stelle $z_0 \in U$ stetig ist.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{r p{0.87\linewidth}} \toprule
|
|
i) & \hspace*{-10pt} Summe, Differenz und Produkt stetiger Funktionen sind stetig. \\
|
|
ii) & \hspace*{-10pt} Komposition von stetigen Funktionen ist stetig. \\
|
|
iii) & \hspace*{-10pt} Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn sowohl Realteil als auch Imaginärteil stetig sind. \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Zeigen von Stetigkeit}
|
|
|
|
Falls $f$ an der Stelle $z_0$ stetig ist, gilt $\forall w \in \C$: $\lim\limits_{t \to 0} f(z_0 + t w) = f(z_0)$
|
|
|
|
Mit dem Kontrapositiv zeigt man oft, dass $f$ an $z_0$ nicht stetig ist:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.125}
|
|
\eqbox{\begin{tabular}{r p{0.8\linewidth}}
|
|
i) & \hspace*{-10pt} Um zu zeigen, dass $f$ an der Stelle $z_0$ nicht stetig ist, muss man eine Richtung finden, in der $f$ nicht stetig ist. \\
|
|
& \hspace*{-10pt} Oder man muss zwei Richtungen finden, auf denen die Grenzwerte unterschiedlich sind. \\
|
|
ii) & \hspace*{-10pt} Um die Stetigkeit einer Funktion an Stelle $z_0$ zu zeigen, benutzt man oft die Polarkoordinanten $z = r e^{it}$. Falls $\lim\limits_{r \to r_0}$ unabhängig von $t$ existiert, dann ist $f$ stetig in $z_0$. \\
|
|
\end{tabular}}
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
|
|
\section{$\C$-Differenzierbarkeit und Holomorph}
|
|
|
|
Man kann eine komplexwertige Funktion als zwei reellwertige Funktionen darstellen:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$f(z) = f(x + i\, y) = u(x,y) + i \, v(x,y)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsection{$\C$-Differenzierbarkeit}
|
|
|
|
Sei eine offene Menge $U \subseteq \mathbb{C}$ und $f: U \to \mathbb{C}$ stetig. $f$ ist $\mathbb{C}$-differenzierbar in $z_0 \in U$ falls folgender Grenzwert existiert:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\lim\limits_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = f'(z_0)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Bem: $\R$-Differenzierbarkeit in $z_0$ ist notwendig für $\C$-Differenzierbarkeit.
|
|
|
|
\subsubsection{Satz}
|
|
|
|
$f(z)$ ist $\C$-differenzierbar $\Rightarrow$ $f(z)$ ist stetig.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Rechenregeln Ableitung}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
|
|
\begin{tabular}{r l} \toprule
|
|
Linearität: & $(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'$ \\
|
|
Produktregel: & $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$ \\
|
|
Quotientenregel: & $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$ \\
|
|
Kettenregel: & $(f(g(z)))' = f'(g(z)) \cdot g'(z)$ \\
|
|
Potenzreihen (*): & $\displaystyle\left(\sum\limits_{n = 0}^\infty c_n(z - z_0)^n\right)' = \sum\limits_{n = 0}^\infty n \, c_n (z-z_0)^{n - 1}$ \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Bem (*): Potenzreihen nur innerhalb Konvergenzradius differenzierbar!
|
|
|
|
|
|
\subsection{Partielle Ableitung}
|
|
|
|
Partielle Ableitung von $f(z)$ nach $x$ an der Stelle $x_0, y_0$:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\dfrac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x} = \partial_x f = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0,y_0)}{h}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Partielle Ableitung nach $y$ an der Stelle $x_0, y_0$:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\dfrac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y} = \partial_y f = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0,y_0)}{h}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Holomorph}
|
|
|
|
Sei eine offene Menge $U \subseteq \C$ und $f: U \to \mathbb{C}$.
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{tabular}{r p{0.85\linewidth}} \toprule
|
|
i) & \hspace*{-10pt} $f$ heisst holomorph auf $U$, falls sie auf $U$ $\mathbb{C}$-differenzierbar ist. \\
|
|
ii) & \hspace*{-10pt} $f$ heisst holomorph in $z_0$, falls $f$ holomorph in einer offenen Menge $U_1 \ni z_0$ ist. \\
|
|
iii) & \hspace*{-10pt} Eine holomorphe Funktion ist beliebig oft $\mathbb{C}$-differenzierbar und lässt sich als eine Potenzreihe entwickeln. \\
|
|
iv) & \hspace*{-10pt} Eine \emph{ganze Funktion} ist eine Funktion, die auf $\C$ holomorph ist. \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Bem: Falls die Funktion $\overline{z}$ enthält, ist die Funktion \textbf{nie} holomorph.
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Cauchy-Riemann Gleichungen (CRG)}
|
|
|
|
Sei $f: U \to \mathbb{C}$ holomorph und $f(x + iy) = u(x,y) + i v(x,y)$. So existieren die partiellen Ableitungen an jeder Stelle $z_0 \in U$ und erfüllen die CRG:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\partial_x u (x_0, y_0) = \partial_y v(x_0, y_0) \quad \partial_y u(x_0, y_0) = - \partial_x v(x_0, y_0)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Kriterium für $\C$-Differenzierbarkeit}
|
|
|
|
Sei $f: U \to \C$ und sei $z_0 \in U$. Wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{\begin{tabular}{r p{0.84\linewidth}}
|
|
1) & \hspace*{-10pt} $\partial_x u, \partial_y u, \partial_x v, \partial_y v$ existieren in einer offenen Menge um $z_0$. \\
|
|
2) & \hspace*{-10pt} $\partial_x u, \partial_y u, \partial_x v, \partial_y v$ sind stetig in $z_0$ und erfüllen die CRG in $z_0$. \\
|
|
\end{tabular}}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Dann existiert $f'(z_0)$, d.h. $f$ ist $\C$-differenzierbar in $z_0$.
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Konsequenzen der CRG}
|
|
|
|
Sei $f,g: B(z_0,r) \to \C$ holomorph für $z_0 \in \C$ und $r > 0$.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{tabular}{r l} \toprule
|
|
i) & \hspace*{-10pt} Falls $\Re{f} = u$ konstant ist, dann ist $f$ auch konstant. \\
|
|
ii) & \hspace*{-10pt} Sei $\Re{f} = \Re{g}$. Dann gilt $f = g + ic$ wobei $c \in \R$. \\
|
|
iii) & \hspace*{-10pt} Falls $\overline{f}: B(z_0,r) \to \C$ holomorph ist, ist $f$ konstant. \\
|
|
iv) & \hspace*{-10pt} Falls $|f(z)|$ konstant ist, ist $f(z)$ konstant. \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Sei $f: U \to \C$ holomorph. Dann gelten folgende Gleichungen
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \quad \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Harmonische Funktionen}
|
|
|
|
Eine Funktion $g: U \to \R$ heisst \emph{harmonisch} auf $U$, wenn $U \subset \R^2$ und
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 0$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\section{Kurvenintegral}
|
|
|
|
Sei $f: [a,b] \to \C$. So gilt: \eqbox{$\int\limits_a^b f(t) dt := \int\limits_a^b \Re{f(t)}dt + i \cdot \int\limits_a^b \Im{f(t)}dt$}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Pfade}
|
|
|
|
Ein Pfad ist eine stetige Abbildung $\gamma:[a,b] \to \C$. Eigenschaften:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
|
|
\begin{tabular}{r p{0.85\linewidth}} \toprule
|
|
i) & \hspace*{-10pt} Ein Pfad ist \emph{einfach}, falls aus $\gamma(t_1) = \gamma(t_2)$ folgt, dass $t_1 = t_2$ oder $\{t_1,t_2\} = \{a,b\}$. (Pfad ohne Selbstschnittpunkte) \\
|
|
ii) & \hspace*{-10pt} Falls $\gamma(a) = \gamma(b)$ heisst der Pfad \emph{geschlossen}. \\
|
|
|
|
iii) & Der Pfad ist differenzierbar auf $(a,b)$, wenn $\gamma'(t)$ für jedes $t \in (a,b)$ existiert. $\gamma'(t_0)$ heisst Tangentialvektor. \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Parametrisierung}
|
|
|
|
Gerade von $a$ nach $b$: \eqbox{$\gamma(t) = (1-t) \cdot a + t \cdot b, \, t \in [0,1]$} \medskip
|
|
|
|
Kreis mit Zentrum $z_0$ und Radius $r$ im positiven Sinne/positive Umlaufrichtung (Gegenuhrzeigersinn): \eqbox{$\gamma(t) = z_0 + r \cdot e^{2\pi i t}, \, t \in [0,1]$}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Kurvenintegral}
|
|
|
|
Sei $U \subseteq \C$ offen, $f: U \to \C$ stetig und sei $\gamma: [0,1] \to U$ ein stückweise stetig differenzierbarer Pfad. Das Kurvenintegral von $f$ entlang $\gamma$ ist
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle\int_{\gamma} f(z) dz := \int\limits_0^1 f(\gamma(t)) \cdot \dot \gamma(t) dt$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Homotopie}
|
|
|
|
Sei $U \subseteq \C$ offen und $\gamma, \delta: [a,b] \to U$ zwei Pfade mit $\gamma(a) = \delta(a) = \alpha \in \C$ und $\gamma(b) = \delta(b) = \beta \in \C$. Man sagt $\gamma$ ist \emph{homotop} zu $\delta$, falls
|
|
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{minipage}{0.59\linewidth}
|
|
i) $H: [0,1] \times [a,b] \to U$ stückweise \textbf{stetig} \medskip
|
|
|
|
ii) $\forall t \in [a,b]: \begin{cases}
|
|
H(0,t) = \gamma(t) \\
|
|
H(1,t) = \delta(t) \\
|
|
\end{cases}$\medskip
|
|
|
|
iii) $\forall s \in [a,b]: \begin{cases}
|
|
H(s,0) = \alpha \\
|
|
H(s,1) = \beta \\
|
|
\end{cases}$
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Homotopie.jpg}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Die Funktion $H$ ist die sogenannte \emph{Homotopie} von $\gamma$ und $\delta$.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
Parametrisierung durch $s$: $H(s,t) = (1 - s) \cdot \gamma(t) + s \cdot \delta(t)$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Wegzusammenhängend}
|
|
|
|
Eine Menge $U$ heisst \emph{wegzusammenhängend}, falls es für jedes Paar $z_1, z_2 \in U$ einen Pfad $\gamma(t)$ gibt, der die zwei Punkte verbindet.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Einfach zusammenhängend}
|
|
|
|
Eine Teilmenge $U \subseteq \C$ heisst \emph{einfach zusammenhängend}, falls sie \emph{wegzusammenhängend} ist und für alle $\alpha, \beta \in U$ alle Pfade von $\alpha$ nach $\beta$ \emph{homotop} zu einander sind.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Hauptsatz der komplexen Integralrechnung}
|
|
|
|
Sei $U \subseteq \C$ eine offene \emph{wegzusammenhängende} Menge, $f: U \to \C$ stetig und $\gamma:[0,1] \to U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{tabular}{r p{0.85\linewidth}} \toprule
|
|
& \hspace*{-10pt} Für jede geschlossene Kurve $\gamma(t): [0,1] \to U$ gilt $\int_\gamma f(z) dz = 0$.
|
|
\\
|
|
$\Leftrightarrow$ & \hspace*{-10pt} Das Kurvenintegral $\int_\gamma f(z)dz$ ist unabhängig vom Pfad.
|
|
\\
|
|
$\Leftrightarrow$ & \hspace*{-10pt} Es gibt eine $\C$-diffbare Funktion $F: U \to \C$ mit $F'(z) = f(z)$
|
|
\\
|
|
$\Leftrightarrow$ & \hspace*{-10pt} $F$ ist eine Stammfunktion von $f$ und
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \int_\gamma f(z) dz = F(\gamma(1)) - F(\gamma(0))$}
|
|
\end{center}
|
|
\\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Bem: Eine Stammfunktion ist eindeutig bis auf eine Konstante $c \in \C$.
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Integralsatz von Cauchy}
|
|
|
|
Sei $U \subseteq \C$ eine \emph{einfache zusammenhängende} offene Teilmenge und $f: U \to \C$ eine \emph{holomorphe} Funktion. Dann gilt:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.125}
|
|
\eqboxf{\begin{tabular}{C{0.8\linewidth}}
|
|
$f$ besitzt eine Stammfunktion $F$ und die dazu äquivalenten Eigenschaften. \\
|
|
\end{tabular}}
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Eigenschaften des Kurvenintegrals}
|
|
|
|
Für KI1-KI4: Sei $\gamma: [0,1] \to U$ ein Pfad und $f: U \to \C$ stetig. Zusätzlich für KI5-KI7: Sei $U \subset \C$ eine offene wegzusammenhängende Menge. \medskip
|
|
|
|
KI1 (Linearität): Seien $\alpha, \beta \in \C$. Es gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \int_\gamma [\alpha f(z) + \beta g(z)] dz = \alpha \int_\gamma f(z) dz + \beta \int_\gamma g(z) dz$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
KI2 (Umkehrrichtung): Sei $\delta: [0,1] \to U$ mit $\delta(t) := \gamma(1 - t)$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \int_\delta f(z)dz = - \int_\gamma f(z)dz$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
und man schreibt $\delta = \gamma^{-1}$ oder $\delta = -\gamma$. \medskip
|
|
|
|
KI3 (Verkettung): Sei $\delta: [0,1]$ ein Pfad mit $\gamma(1) = \delta(0)$. Dann ist
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\gamma * \delta (t) := \begin{cases}
|
|
y(2t) & t \in [0, \frac{1}{2}] \\
|
|
\delta(2t - 1) & t \in (\frac{1}{2}, 1] \\
|
|
\end{cases}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
die Verkettung \textbf{und} es gilt $\displaystyle \int_{\gamma * \delta} f(z) dz = \int_\gamma f(z) dz + \int_\delta f(z) dz$. \medskip
|
|
|
|
KI4 (Unabhängigkeit der Parametrisierung): Sei $\delta:[0,1] \to U$ eine andere Parametrisierung des Bildes von $\gamma$. Dann gilt:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \int_\delta f(z) dz = \int_\gamma f(z) dz$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
KI5 (Cauchy Schwarz): Sei $\gamma:[a,b] \to U$ ein Pfad. Es gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \left| \int\limits_a^b f(\gamma(t)) \cdot \dot \gamma(t) dt \right| \leq \int\limits_a^b \left| f(\gamma(t)) \cdot \dot \gamma(t) \right| dt$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
KI6 (Standardabschätzung): Sei $L(\gamma) := \int\limits_a^b |\dot\gamma(t)| dt$ die Länge vom Pfad $\gamma$. Wenn $|f(z)| \leq M$ für jedes $z \in U$ gilt, dann folgt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \left| \int\limits_\gamma f(z) dz \right| \leq M \cdot L$ \quad wobei $M = \max\limits_{t \in [a,b]} |f(\gamma(t))| < \infty$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
KI7 a) Seien $\gamma, \delta$ zwei \emph{einfach geschlossene} gleich orientierte Kurven und sei $U$ die Menge, die die äussere Kurve umschliesst. Dann
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$f: U \to \C$ holomorph $\displaystyle\Rightarrow \int_\gamma f(z) dz = \int_\delta f(z) dz$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
KI7 b) Sei $\delta \subseteq U$ eine geschlossene Kurve, die in ihrem Inneren nur Punkte enthält, wo $f$ holomorph ist, dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \int_\delta f(z) dz = 0$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Cauchy Integralformel}
|
|
|
|
Sei $U \subseteq \C$ eine einfach zusammenhängende offene Menge und $z_0 \in U$. Sei $\gamma: [0,1] \to U \setminus \{z_0\}$ ein Pfad, der $z_0$ einmal im positivem Sinne umläuft. Sei $f: U \to \C$ holomorph. Dann gilt:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle\int_\gamma \dfrac{g(z)}{z - z_0} dz = 2\pi i \cdot g(z_0)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Wobei $z_0$ eine Singularität der Menge $U$ ist und $g(z) = f(z) \cdot z - z_0$.
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Allgemeine Cauchy Integralformel}
|
|
|
|
Sei $U \subseteq \C$ eine einfach zusammenhängende offene Menge und $z_0 \in U$. Sei $f:U \to \C$ holomorph und $\gamma:[0,1] \to U \setminus \{z_0\}$ ein Pfad, der $z_0 \in U$ einmal im positivem Sinne umläuft. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle\int_\gamma \dfrac{g(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz = \dfrac{2 \pi i}{n!} g^{(n)}(z_0)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
wobei $g^{(n)}$ die n-te Ableitung ist und $g(z) = f(z) \cdot (z - z_0)^{n+1}$
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Korollar}
|
|
|
|
Sei $f$ holomorph, dann sind alle Ableitungen $f^{(n)}$ auch holomorph und $u:=\Re{f}$, $v:= \Im{f}$ besitzen unendlich viele partielle Ableitungen.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Windungszahl}
|
|
|
|
Die Windungszahl $W(\gamma, z_k)$ einer Kurve $\gamma$ um einen Punkt $z_k$ sagt aus, wie oft sich $\gamma$ um $z_k$ im \emph{positivem Sinne} dreht. Es gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle\int_{\gamma} f(z) dz = \sum\limits_k^n W(\gamma, z_k) \cdot \int_{\gamma_k} f(z) dz$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
wobei $\gamma_k$ ein Pfad ist, der nur die Singularität $z_k$ umkreist.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Der Mittelwertsatz}
|
|
|
|
Sei $U \subset \C$ eine offene Menge und $f: U \to \C$ holomorph (bzw. \emph{harmonisch}). Seien $z_0 \in U$ und $r > 0$ s.d. $\overline{B(z_0,r)} \subseteq U$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$f(z_0) = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi} f(\underbrace{z_0 + r e^{2 \pi i t}}_{= \partial B(z_0,r)}) dt$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Jeder Punkt von $u(x,y), v(x,y)$ ist ein Mittelwert von der umgebenden Kreisscheibe $B(z_0, r)$.
|
|
|
|
\subsubsection{Lemma}
|
|
|
|
Sei $f:B(z_0,r) \to \C$ holomorph. Falls für jedes $z \in B(z_0,r)$ gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$|f(z)| \leq |\underbrace{f(z_o)}_{\text{Mittelwert}}| \quad \Rightarrow f(z) = const. = f(z_0)$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
In Worten: Falls der Mittelwert der grösste Wert auf der Kreisscheibe ist, dann muss die $f(z)$ konstant sein.
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Maximum Modulus Prinzip}
|
|
|
|
Sei $U$ eine wegzusammenhängende Menge. Sei $f: U \to \C$ holomorph und \emph{nicht konstant}. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$|f(z)|$ besitzt sein Maximum auf $\partial U$ (Rand von $U$)}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Korollar}
|
|
|
|
Sei $f$ eine nicht konstante und stetige Funktion auf einer kompakten Menge $K$, die holomorph auf dem Inneren von $K$ ist.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\Rightarrow \max\limits_{z \in K} |f(z)|$ wird auf $\partial K$ erreicht.}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Maximum bestimmen auf einer Kreisscheibe}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Bedingungen überprüfen (Holomorph und Wegzusammenhängend).
|
|
\item Man trifft folgende Vereinfachung (dann nur eine 1D-Optimisierung!):
|
|
\begin{center}
|
|
$\max\limits_{z \in B(0,R)} | f(z) | \Rightarrow \max\limits_{\varphi \in [0, 2\pi)} | f(R \, e^{i\varphi}) |$
|
|
\end{center}
|
|
\item Bestimmen der Kandidaten für ein Maximum:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Die Ableitung $\frac{d}{dx} | f(R \, e^{i\varphi}) |$ berechnen.
|
|
\item Ableitung = 0 setzen: $0 = \frac{d}{dx} | f(R \, e^{i\varphi}) |$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Die Kandidaten einsetzen in $|f(z)|$ um Maximum (theoretisch auch Minimum) zu bestimmen. Durch Einsetzen in $R e^{i \varphi}$ kann man den Punkt $z_0$ bestimmen.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Satz von Liouville}
|
|
|
|
Sei $f: \C \to \C$ beschränkt und eine \emph{ganze} Funktion $\Rightarrow f$ konstant. \medskip
|
|
|
|
Bemerkung: Dieser Satz gilt \emph{nicht} für $f: \R^n \to \R$.
|
|
\vfill\null
|
|
|
|
|
|
\subsection{Tipps }
|
|
|
|
Bei nicht geschlossenen Kurvenintegralen von Funktionen mit Singularitäten ist KI4 nützlich in Kombination mit der Cauchy Integralformel.
|
|
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\section{Reihenentwicklungen}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Potenzreihen}
|
|
|
|
Potenzreihen sind Reihen der folgenden Form:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \dots = \sum\limits_{n = 0}^\infty c_n z^n$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Konvergenzradius}
|
|
|
|
Der Konvergenzradius $R \geq 0$ von Potenzreihen ist
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$R:= \dfrac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}$} $\begin{cases}
|
|
|z| < R & \text{konvergiert absolut} \\
|
|
|z| > R & \text{divergiert} \\
|
|
R = \infty & \text{konvergiert } \forall z \in \mathbb{C} \\
|
|
\end{cases}$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
mit dem Wurzelkriterium und mit dem Quotientenkriterium ist es:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$R:= \dfrac{1}{\lim\limits_{n \to \infty}\vert \dfrac{c_{n + 1}}{c_n} \vert} \begin{cases}
|
|
|z| < R & \text{konvergiert absolut} \\
|
|
|z| > R & \text{divergiert} \\
|
|
R = \infty & \text{konvergiert } \forall z \in \mathbb{C} \\
|
|
\end{cases}$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\emph{Das Quotientenkriterium gilt zu vermeiden}, wenn der Koeffizient $c_n$ auf zwei oder mehr Arten definiert ist. \medskip
|
|
|
|
Innerhalb vom Konvergenzradius darf man stetige Funktionen austauschen!
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Analytische Funktionen}
|
|
|
|
Eine Funktion heisst \textbf{analytisch} (impliziert holomorph), falls sie sich durch eine Potenzreihe darstellen lässt. \medskip
|
|
|
|
Eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$ definiert eine analytische Funktion auf der offenen Kreisscheibe $\Omega := \{ z \in \C; |z| < R\}$:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle f: \Omega \to \mathbb{C} \qquad f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty c_n z^n$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Wichtige Potenzreihen}
|
|
|
|
Folgende Funktionen besitzen für alle $z \in \C$ konvergente Potenzreihen:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
|
|
\begin{minipage}{0.47 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{r l}
|
|
$\exp(z)$ & \hspace*{-10pt}$ := \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{z^n}{n!}$ \\
|
|
$\sin(z)$ & \hspace*{-10pt}$:= \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n \dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ \\
|
|
$\cos(z)$ & \hspace*{-10pt}$:= \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.47 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{r l}
|
|
$\sinh(z)$ & \hspace*{-10pt}$:= \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ \\
|
|
$\cosh(z)$ & \hspace*{-10pt}$:= \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Geometrische Reihe}
|
|
|
|
Die Geometrische Reihe ist für $|z| < 1$ konvergent und es gilt:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^\infty z^k = \dfrac{1}{1-z}$} \qquad\qquad $\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^n z^k = \dfrac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}$
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Taylorreihe}
|
|
|
|
Sei $f:B(z_0,R_0) \to \C$ holomorph und $R_0 > 0$. Dann besitzt $f(z)$ für jedes $z \in B(z_0,R_0)$ eine Taylorreihe:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{1}{n!} f^{(n)}(z_0) (z- z_0)^n$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Insbesondere konvergiert die Reihe absolut $\forall z \in B(z_0,R_0)$.
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{MacLaurin-Reihe}
|
|
|
|
Falls $z_0 = 0$, dann heisst es MacLaurin-Reihe und es gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{1}{n!} f^{(n)}(0) (z)^n$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Laurent-Reihe}
|
|
|
|
Sei $f$ holomorph auf dem Kreisring $r < |z - z_0| < R$ und $\gamma$ eine geschlossene Kurve, die im Kreisring enthalten ist und $z_0$ einmal im positivem Sinn umläuft. Dann besitzt $f$ für jedes $z$ im Kreisring eine Laurent-Reihe:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{minipage}{0.74 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a^n (z - z_0)^n + \sum\limits_{n = 1}^\infty b_n \dfrac{1}{(z - z_0)^n}$} \medskip
|
|
|
|
$\displaystyle a_n = \dfrac{1}{2 \pi i} \displaystyle\int_\gamma \dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz$ \medskip
|
|
|
|
$\displaystyle b_n = \dfrac{1}{2 \pi i} \displaystyle\int_\gamma \dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{-n+1}} dz$
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.25 \linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Laurent_series.png}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Man kann die Laurent-Reihe auch kompakter schreiben:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle f(z) = \sum\limits_{n = - \infty}^\infty c_n (z - z_0)^n$ mit $\displaystyle c_n = \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_\gamma \dfrac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}} d z$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Entwickeln einer Laurent-Reihe}
|
|
|
|
Zuerst die rationale Funktion durch Partialbruchzerlegung zerlegen, dann eine Fallunterscheidung je nach Singularität des Einzelbruchs: \medskip
|
|
|
|
i) Singularität ist \textbf{ausserhalb} vom Kreisring:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
Gesuchte Form: $\displaystyle \dfrac{1}{1 - \frac{z}{a}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty \dfrac{z^k}{a^k}, \text{konvergent für } | z | < a$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
ii) Singularität ist \textbf{umschlossen} vom Kreisring:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
Gesuchte Form: $\displaystyle \dfrac{1}{1 - \frac{b}{z}} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{b^n}{z^n}, \text{ konvergent für } \left| \frac{b}{z} \right| < 1 \Leftrightarrow |z| > |b|$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Kreisring mit verschobenem Zentrum $w_0$}
|
|
|
|
Ist das Gebiet $r < | z - w_0 | < R$, dann Substitution $u = z - w_0$ benutzen!
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Singularität}
|
|
|
|
Sei $f$ nicht holomorph in $z_0$. Falls $f$ holomorph in mindestens einem Punkt in \emph{irgendeiner} möglichen Kreisscheibe $B(z_0, \epsilon)$ ist, heisst $z_0$ eine \emph{Singularität}.
|
|
|
|
\subsubsection{Isolierte Singularität}
|
|
|
|
Eine Singularität heisst isoliert, falls es ein $\epsilon > 0$ gibt, so dass $f(z)$ auf $B(z_0, \epsilon) \setminus \{z_0\}$ holomorph ist.
|
|
|
|
\subsubsection{Klassifizierungen}
|
|
|
|
Sei $U \subseteq \C$ offen und $z_0 \in U$, und sei $f$ holomorph auf $U \setminus \{z_0\}$. So besitzt $f$ eine Laurententwicklung auf $U \setminus \{z_0\}$.
|
|
|
|
Sei $c_k = 0$ für alle $k < n$ und $c_n \neq 0$. Dann gilt:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{tabular}{r p{0.85\linewidth}} \toprule
|
|
i) & \hspace*{-10pt} $0 < n \Rightarrow z_0$ ist eine \emph{Nullstelle n-ter Ordnung}.
|
|
\\
|
|
ii) & \hspace*{-10pt} $n = 0 \Rightarrow z_0$ ist eine \emph{hebbare Singularität}. \\
|
|
iii) & \hspace*{-10pt} $n < 0 \Rightarrow z_0$ ist ein \emph{Pol n-ter Ordnung}. \\
|
|
iv) & \hspace*{-10pt} Falls für alle $c_k = 0$ ein $c_m \neq 0$ mit $m < k$ existiert, dann ist $z_0$ eine \emph{wesentliche Singularität}. \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Singularitaet.png}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Hebbarkeitsatz von Riemann}
|
|
|
|
Sei $z_0$ eine isolierte Singularität von $f: U \setminus \{z_0\} \to \C$. Es ist äquivalent:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{tabular}{r p{0.8\linewidth}} \toprule
|
|
& \hspace*{-10pt} $z_0$ ist eine hebbare Singularität von $f$. \\
|
|
$\Leftrightarrow$ & \hspace*{-10pt} $\lim\limits_{z \to z_0} f(z)$ existiert in $\C$ (holomorph fortsetzbar in $z_0$) \\
|
|
$\Leftrightarrow$ & \hspace*{-10pt} $f$ ist auf einer punktierten Scheibe $B(z_0,\epsilon) \setminus \{z_0\}$ beschränkt. \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Meromorph}
|
|
|
|
Eine holomorphe Funktion auf $U \setminus \{z_0, \dots, z_N\}$ heisst \emph{meromorph} auf $U$, falls $z_0, \dots, z_N$ Pole oder hebbare Singularitäten sind.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Satz von Picard}
|
|
|
|
Sei $z_0$ eine wesentliche Singularität von $f(z)$. In jeder noch so kleinen punktierten Scheibe $B(z_0, \epsilon) \setminus \{z_0\}$ nimmt $f(z)$ jeden Wert in $\C$, bis auf höchstens eine Ausnahme, unendlich oft an.
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\section{Der Residuensatz}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Das Residuum}
|
|
|
|
Sei $z_0$ eine isolierte Singularität von $f$. Man nennt den Koeffizient $c_{-1}$ der Laurent-Reihe, das \emph{Residuum} von $f$ an der Stelle $z_0$.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \Res{f, z_0}:= c_{-1} = \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_\gamma f(\xi) d \xi$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Der Residuensatz}
|
|
|
|
Sei $U \subset \C$ eine offene wegzusammenhängende Menge, $\gamma \subset U$ eine positiv orientierte geschlossene Kurve die $z_1, \dots, z_n \in U$ mit der jeweiligen Windungszahl $W(\gamma,z_k)$ umschliesst. Sei $f: U \setminus \{z_1, \dots, z_n\} \to \C$ holomorph. Dann gilt:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle\int\limits_\gamma f(z) dz = 2 \pi i \sum\limits_{k = 1}^n W(\gamma,z_k) \cdot \Res{f,z_k}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Polstellen}
|
|
|
|
Sei $z_0$ eine isolierte Singularität von $f(z)$. Die Stelle $z_0$ ist ein Pol der Ordnung $m \geq 1$ genau dann, wenn es eine in der Umgebung von $z_0$ holomorphe Funktion $\phi$ gibt, mit
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$f(z) = \dfrac{\phi(z)}{(z - z_0)^m}$ wobei $\phi(z_0) \neq 0$} \medskip
|
|
|
|
Bzw: \eqboxf{$\phi(z_0) = \lim\limits_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z) \neq 0$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Ist $\phi(z_0) = 0$, dann muss man über die Laurententwicklung gehen.
|
|
|
|
\subsubsection{Korollar}
|
|
|
|
Falls $z_0$ ein Pol der Ordnung $m$ der Funktion $f$ ist, gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\Res{f, z_0} = \dfrac{\phi^{(m - 1)}(z_0)}{(m - 1)!}$} \medskip
|
|
|
|
Bzw: \eqboxf{$\Res{f, z_0} = \dfrac{1}{(m-1)!} \lim\limits_{z \to z_0} \dfrac{d^{(m-1)}}{dz^{m-1}}\left[(z - z_0)^m f(z)\right]$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Nullstellen}
|
|
|
|
Sei $f: U \to \C$ holomorph an der Stelle $z_0 \in U$. $f$ hat in $z_0$ eine Nullstelle der Ordnung $m$ genau dann, wenn es ein $g: U \to \C$ holomorph gibt, mit
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$f(z) = (z - z_0)^m g(z)$ wobei $g(z_0) \neq 0$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Korollar}
|
|
|
|
Seien $p(z),q(z)$ holomorph an der Stelle $z_0$ mit $p(z_0) \neq 0$ und sei $z_0$ eine Nullstelle der Ordnung $m$ für $q(z)$.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\Rightarrow z_0$ ein Pol der Ordnung $m$ für $\dfrac{p(z)}{q(z)}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Bem: Nützlicher Alternativer Weg zur Ermittlung der Ordnung vom Pol in $z_0 = 0$ von Termen mit bekannten Potenzreihen ($\exp, \sin, \cos$).
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Anwendung: Bedingungen unter denen $f(z) \equiv 0$}
|
|
|
|
\subsubsection{Lemma}
|
|
|
|
Sei $f: B(z_0, \epsilon) \to \C$ holomorph und $f(z_0) = 0$. Dann ist entweder $f(z) \equiv 0 \,\, \forall z \in B(z_0, \epsilon)$ oder $z_0$ ist eine isolierte Nullstelle von $f$.
|
|
|
|
\subsubsection{Satz}
|
|
|
|
Sei $U$ wegzusammenhängend und $f: U \to \C$ holomorph. Falls $f(z) \equiv 0$ auf einer offenen Menge oder Geradenstrecke ist, dann ist $f \equiv 0$ auf $U$.
|
|
|
|
\subsubsection{Identitätsprinzip für holomorphe Funktionen}
|
|
|
|
Sei $U \subseteq \C$ offen und seien $f,g: U \to \C$ holomorph. Falls $f(z) = g(z)$ auf einer offenen Menge oder Geradenstrecke in $U$, dann gilt $f(z) \equiv g(z)$.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Eigentliche Integrale mit Sinus und Cosinus}
|
|
|
|
Die Strategie ist es das reelle Integral in ein Kurvenintegral zu wandeln und dieses mit dem Residuensatz zu lösen.
|
|
|
|
Sei ein Pfad $\gamma(t) = e^{it}$ mit $t \in [0, 2\pi]$, so dass $\dot \gamma(t) = i e^{i t} dt$ ist, dann erhaltet man mit der Substitution $z = e^{it}$:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle\int\limits_0^{2\pi} F(cos(t),sin(t)) dt = \int\limits_\gamma F(\dfrac{z + z^{-1}}{2}, \dfrac{z - z^{-1}}{2i}) \dfrac{dz}{i z}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Anwendung: Uneigentliche Integrale}
|
|
|
|
Das Uneigentliche Integral ist, wie folgt definiert:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) dx = \lim\limits_{R \to \infty} \int\limits_{-R}^0 f(x) dx + \lim\limits_{R \to \infty} \int\limits_{0}^R f(x) dx$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Sei $\gamma_R = R e^{i \pi t}$ und $\gamma_{[-R,R]} = 2 R t - R$ mit $t \in [0,1]$. Die Idee ist es alle Pole in der oberen Halbebene über die geschlossene Kurve $\gamma_R * \gamma_{[-R,R]}$ zu integrieren und den Residuensatz zu verwenden:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{minipage}{0.70\linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
$\displaystyle \lim\limits_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} f(x) dx + \int\limits_{-R}^R f(x) dx = 2 \pi i \sum\limits_{k = 1}^n \Res{f, z_k}$
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.29\linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/UneigentlicheIntegrale.png}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Ist $\lim\limits_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} f(x) dx = 0$ so vereinfacht sich das Kurvenintegral zu:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle \lim\limits_{R \to \infty} \int\limits_{-R}^R f(z) dz = P.V. \int\limits_{-\infty}^\infty f(z) dz = 2\pi i \sum\limits_{\Im{z_k} > 0} \Res{f, z_k}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
wobei $z_k$ alle Polstellen in der oberen Halbebene sind ($\Im{z_k} > 0$).
|
|
|
|
\subsubsection{Bemerkung: Gerade Funktionen}
|
|
|
|
Für gerade Funktionen ($f(x) = f(-x)$) gilt ausserdem immer:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle P.V. \int\limits_{-\infty}^\infty f(z) dz = 2 \cdot \int\limits_{0}^\infty f(x) dx$}
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Lemma}
|
|
|
|
Sei $f(z):= \dfrac{p(z)}{q(z)} h(z)$ mit den Polynomen $p(z), q(z)$. Wenn folgendes gilt:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
|
|
\begin{tabular}{r l} \toprule
|
|
1. & $\deg(p) + 2 \leq \deg(q)$ \\
|
|
2. & $q(z)$ hat keine Nullstellen auf der Reellen Achse. \\
|
|
3. & $|h(z)|$ ist auf $\{z \in \C; \Im{z} \geq 0\}$ beschränkt. \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Dann ist die Vorraussetzung $\displaystyle \lim\limits_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} f(z) dz = 0$ erfüllt. \medskip
|
|
|
|
Wenn $|h(z)|$ auf $\{z \in \C: \Im{z} \leq 0\}$ beschränkt ist, dann gilt:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{minipage}{0.69\linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle P.V. \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) dx = - 2\pi i \sum\limits_{\Im{z_j} < 0} \Res{f, z_j}$}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/UneigentlicheIntegrale2.png}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Bem: Falls $q(z)$ eine Nullstelle auf der Reellen Achse besitzt, muss man ein Kurvenintegral anschauen, welches nur einen einzigen Pol umschliesst (Kurve der Form eines Kreiskegel zum Beispiel).
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Uneigentliche Integrale mit Sinus und Cosinus}
|
|
|
|
Die Idee ist folgende Gleichung mit dem oberen Lemma anzuwenden:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty g(x) \cos(\alpha x) dx + i \int\limits_{-\infty}^\infty g(x) \sin(\alpha x) dx = \int\limits_{-\infty}^\infty g(x) e^{i \alpha x} dx$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Dabei ist $f(z) := \dfrac{p(z)}{q(z)} h(z)$ mit: $h(z) = e^{i \alpha x}$ und $g(x) = \dfrac{p(z)}{q(z)}$. \medskip
|
|
|
|
Mit der Fallunterscheidung für $|h(z)|$ kommt man dann auf folgendes:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty g(x) \cos(\alpha x) dx = \begin{cases}
|
|
\text{Re}\left(2\pi i \sum\limits_{\Im{z_j} > 0} \Res{f(z), z_j}\right) & , \alpha > 0 \\
|
|
\text{Re}\left(-2\pi i \sum\limits_{\Im{z_j} < 0} \Res{f(z), z_j}\right) & , \alpha < 0 \\
|
|
\end{cases}$ \medskip
|
|
|
|
$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty g(x) \sin(\alpha x) dx = \begin{cases}
|
|
\text{Im}\left(2\pi i \sum\limits_{\Im{z_j} > 0} \Res{f(z), z_j}\right) & , \alpha > 0 \\
|
|
\text{Im}\left(-2\pi i \sum\limits_{\Im{z_j} < 0} \Res{f(z), z_j}\right) & , \alpha < 0 \\
|
|
\end{cases}$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Ergänzung zum Verfahren}
|
|
|
|
Vorgehen um zu zeigen, dass $\displaystyle \lim\limits_{R \to \infty} \int_{\gamma_[-R,R]} f(z) dz = \lim\limits_{R \to \infty} \int\limits_{-R}^R f(x) dx$:
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Kurvenintegral aufstellen für $\gamma_{[-R,R]} = 2 R t - R$ mit $t \in [0,1]$.
|
|
\item Substitutionregel anwenden mit $x = 2Rt - R$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\vfill\null
|
|
\pagebreak
|
|
|
|
\section{Fourier Analysis}
|
|
|
|
\subsection{Periodische Funktionen}
|
|
|
|
Sei $h: \R \to \C$. $h$ ist periodisch, falls es ein $T \in \R$ gibt, sodass
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$h(t + T) = h(t) \quad \forall t \in \R$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
$T$ heisst die Periode von $h$. Die kleinste Periode heisst \emph{Fundamentalperiode}. Die \emph{Frequenz} von $h$ ist $f = \frac{1}{T}$.
|
|
|
|
\subsubsection{Bemerkung}
|
|
|
|
Die Summe und das Produkt periodischer Funktionen ist genau dann periodisch, wenn alle Perioden ein gemeinsames Vielfaches haben.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Fourierreihe}
|
|
|
|
Die Fourierreihe (bzw. trigonometrische Reihe) ist eine Reihe der Form
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle f(t) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos(\frac{2 \pi}{T} n t) + b_n \sin(\frac{2 \pi}{T} n t)\right) = \sum\limits_{n = -\infty}^\infty c_n e^{i \frac{2 \pi}{T} n t}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
mit $a_b, b_n \in \R$ und $c_n \in \C$.
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Koeffizienten der Fourierreihe}
|
|
|
|
Sei $t_0$ der Startzeitpunkt der Periode $T$ und $n \in \N$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle a_n = \dfrac{2}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T} f(t) \cos(\dfrac{2 \pi}{T} n t) \, dt$}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle b_n = \dfrac{2}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T} f(t) \sin(\dfrac{2 \pi}{T} n t) \, dt$} \medskip
|
|
|
|
\eqboxf{$\displaystyle a_0 = \dfrac{1}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T} f(t) \, dt$} \qquad\quad
|
|
\eqbox{$\displaystyle c_n = \dfrac{1}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T} f(t) \exp(-i \dfrac{2 \pi}{T} n t) \, dt$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Symmetrieeigenschaften}
|
|
|
|
Falls $f(t)$ \textbf{gerade} ist, dann gilt:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle a_n = \dfrac{4}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T/2} f(t) \cos(\dfrac{2 \pi}{T} n t) \, dt$ \qquad $b_n = 0$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Falls $f(t)$ \textbf{ungerade} ist, dann gilt:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$a_n = 0$ \qquad $\displaystyle b_n = \dfrac{4}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T/2} f(t) \sin(\dfrac{2 \pi}{T} n t) \, dt$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Koeffizientenumrechnung}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{r l}
|
|
$c_{-n}$ & \hspace*{-12pt} $= \frac{1}{2}(a_n + i b_n)$ \\
|
|
$c_0$ & \hspace*{-12pt} $= a_0$ \\
|
|
$c_{n}$ & \hspace*{-12pt} $= \frac{1}{2}(a_n - i b_n)$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1}
|
|
\end{minipage} \vline
|
|
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{tabular}{r l}
|
|
$a_0$ & \hspace*{-12pt} $= c_0$ \\
|
|
$a_n$ & \hspace*{-12pt} $= c_n + c_{-n}$ \\
|
|
$b_n$ & \hspace*{-12pt} $= i(c_n - c_{-n})$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Begriffe}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{tabular}{R{0.5\linewidth} l}
|
|
Mittelwert von $f$ auf einer Periode: & $a_0$ \\
|
|
1. Harmonische oder 1. Grundschwingung: & $a_1 \cos(\dfrac{2 \pi}{T} t) + b_1 \sin(\dfrac{2 \pi}{T} t)$ \\
|
|
$n$-te Harmonische oder $n-1$-te Oberschwingung: & $a_n \cos(\dfrac{2 \pi}{T} n t) + b_n \sin(\dfrac{2 \pi}{T} n t)$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Satz von Dirichlet}
|
|
|
|
Sei $f$ eine $2L$-periodische Funktion auf $[-L,L]$. Sei $f$ stückweise stetig und es existiert eine linke und rechte Ableitung an \emph{jedem Punkt} in $[-L,L]$. Dann ist die Fourierreihe von $f$ auf $[-L,L]$ \emph{konvergent} und
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \sum\limits_{n = -\infty}^\infty c_n e^{i \frac{n \pi}{L} t} = \begin{cases}
|
|
f(t) & f \text{ ist stetig} \\ \frac{1}{2} \left(f(t^-) + f(t^+)\right) & f \text{ ist nicht stetig} \\
|
|
\end{cases}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
wobei $f(t^-) := \lim\limits_{t \to t^-_0} f(t)$ und $f(t^+) := \lim\limits_{t \to t^+_0} f(t)$.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Trigonometrisches Polynom}
|
|
|
|
Ein trigonometrisches Polynom $N$-ten Grades ist
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle f(t) \approx a_0 + \sum\limits_{n = 1}^N \left(a_n \cos(\frac{2 \pi}{T} n t) + b_n \sin(\frac{2 \pi}{T} n t)\right) = \sum\limits_{n = -N}^N c_n e^{i \frac{2 \pi}{T} n t}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Gibbsches Phänomen}
|
|
|
|
In der Nähe einer Sprungstelle treten immer Überschwingungen ('Gibbs tower') auf. Die Höhe der Überschwingungen wird \emph{immer} etwa $18\%$ der Sprunghälfte betragen:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\sup\limits_{t \in [-L,L]} | f(t) - s_N(t) | \approx 0.18 \cdot \frac{1}{2} \left(f(t^-) + f(t^+)\right)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Gibbs tower verschwinden erst bei unendlich vielen Termen (Punktweise Konvergenz), sie nähern sich mit mehr Termen nur der Sprungstelle an.
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Beste Approximation}
|
|
|
|
Das trigonometrische Polynom vom Grad $N$, welches am besten eine $2\pi$-periodische Funktion $f$ auf dem Intervall $[-\pi,\pi]$ approximiert, ist die partielle Summe $s_N$ der Fourierreihe von $f$. Der kleinste quadratischen Fehler $E^*_N(f)$ ist
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle E^*_N(f) := \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi |f(t)|^2 \, dt - \frac{1}{2}\left( a_0^2 + \sum\limits_{n = 1}^N (a_n^2 + b_n^2)\right)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
wobei $E^*_N(f)$ monoton abnimmt mit zunehmendem $N$.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Satz von Parseval}
|
|
|
|
Die ''Energie'' vom Signal ist in Zeit- und Frequenzbereich gleich:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\hspace*{-1.5pt}\displaystyle |f(t)|^2 = \frac{1}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T} |f(t)|^2 \, dt = \sum\limits_{n = -\infty}^\infty |c_n|^2 = a_0^2 + \frac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^\infty (|a_n|^2 + |b_n|^2)\hspace*{-1.5pt}$}
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Sonstiges}
|
|
|
|
\subsubsection{Gerade und ungerade Funktionen}
|
|
|
|
Eine Funktion $f(t)$ heisst:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
|
|
\begin{tabular}{l} \toprule
|
|
i) \emph{gerade} falls $f(t) = f(-t)$ (Symmetrisch zur $y$-Achse). \\
|
|
ii) \emph{ungerade} falls $f(t) = -f(-t)$ (Punktsymm. zum Ursprung). \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Es gelten die folgenden Eigenschaften: \medskip
|
|
|
|
- Das Produkt zweier geraden oder ungeraden Funktionen ist gerade.
|
|
|
|
- Das Produkt einer geraden und ungeraden Funktion ist ungerade.
|
|
|
|
- Falls $g(t)$ gerade ist, gilt $\int\limits_{t_0}^{t_0 + T} g(t) dt = 2 \int\limits_{t_0}^{t_0 + T/2} g(t) dt$.
|
|
|
|
- Falls $g(t)$ ungerade ist, gilt $\int\limits_{t_0}^{t_0 + T} g(t) dt = 0$.
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Orthonormalitätsrelationen}
|
|
|
|
Seien $n, m \in \Z$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{r l} \toprule
|
|
i) & $\dfrac{1}{2T} \int\limits_{-T}^T e^{i \frac{n \pi}{T} t} \, e^{-i \frac{m \pi}{T} t} dt =
|
|
\begin{cases}
|
|
1 & n = m \\ 0 & n \neq m \\
|
|
\end{cases}$ \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Seien $n, m \in \N_0$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{r l} \toprule
|
|
i) & $\displaystyle\int\limits_{-T}^T \cos(\dfrac{n \pi}{T}t) \cos(\dfrac{m \pi}{T} t) dt =
|
|
\begin{cases}
|
|
0 & n \neq m \\ T & n = m \neq 0 \\ 2T & n = m = 0 \\
|
|
\end{cases}$ \\
|
|
ii) & $\displaystyle\int\limits_{-T}^T \sin(\dfrac{n \pi}{T}t) \sin(\dfrac{m \pi}{T} t) dt =
|
|
\begin{cases}
|
|
0 & n \neq m \\ T & n = m \neq 0 \\
|
|
\end{cases}$
|
|
\\
|
|
iii) & $\displaystyle\int\limits_{-T}^T \cos(\dfrac{n \pi}{T}t) \sin(\dfrac{m \pi}{T} t) dt = 0, \, \forall n,m$ \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Tipps/Ergänzungen aus Serien}
|
|
|
|
Die Fourierreihe eines Terms der Form $\sin(t)^a \cos(t)^b$ berechnet man am schnellsten, indem man $\sin(t) = \dfrac{e^{it} - e^{-it}}{2i}$ und $\cos(t) = \dfrac{e^{it} + e^{-it}}{2}$ benutzt. \medskip
|
|
|
|
Sei $f(x) = \sum\limits_{k = -\infty}^\infty c_k e^{i k x}$ eine Fourierreihe mit $c_k = c_{-k}$ und $c_k = \overline{c_k}$. Dann liegt eine Kosinus-Reihe mit reellen Koeffizienten vor. \medskip
|
|
|
|
Sei $f(x) = \sum\limits_{k = -\infty}^\infty c_k e^{i k x}$ eine Fourierreihe mit $-c_k = c_{-k}$ und $i c_k \in \R$. Dann liegt eine Sinus-Reihe mit reellen Koeffizienten vor.
|
|
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\section{Fourier-Transformation}
|
|
|
|
\subsection{Integraltransformation}
|
|
|
|
Eine Integraltransformation ist eine Transformation der Art
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle T f(y) := \int_X K(x,y) f(x) dx$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
wobei $f$ eine Funktion auf der Menge $X$ ist und $K$ auf $X \times Y$. Die Funktion $K(x,y)$ heisst der \emph{Kern} der Integraltransformation. \medskip
|
|
|
|
Bei der Fourier-Transformation ist $X = \R = Y$ und $K(x,y) = e^{-i x y}$.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Absolut integrierbar}
|
|
|
|
Die Funktion $f: \R \to \C$ heisst \emph{absolut integrierbar}, falls
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)| dt < \infty$}$ \qquad \left(\Rightarrow \lim\limits_{t \to \pm \infty} f(t) = 0 \right)$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Fourier-Transformation}
|
|
|
|
Sei $f: \R \to \C$ absolut integrierbar. Die \emph{Fourier Transformation} $\hat{f}$ ist
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle \hat{f}(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} (\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) \, e^{-i \omega t} \, dt$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Inverse Fourier-Transformation}
|
|
|
|
Sei $\hat{f}$ auch absolut integrierbar. Die \emph{inverse Fourier Transformation} ist
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$f(t) = \displaystyle \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}(\omega)\}(t) := \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \hat{f}(\omega) \, e^{i \omega t} \, d\omega$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Bemerkung: Der Faktor $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ kann man bei $\mathcal{F}\{f(t)\}$ weglassen und anstelle diesem bei $\mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}(\omega)\}$ den Faktor $\frac{1}{2 \pi}$ nehmen (vice-versa auch).
|
|
|
|
|
|
\subsection{Satz von Dirichlet für die Fourier Transformation}
|
|
|
|
Sei $f: \R \to \C$ eine \emph{stückweise} stetige absolut integrierbare Funktion, die eine linke und rechte Ableitung an \emph{jedem Punkt} hat. Dann gilt abhängig von der Stetigkeit vom Punkt $t_0 \in \R$:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$f(t) = \begin{cases}
|
|
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(\nu) e^{-i\omega \nu} \, d\nu\right) e^{-i \omega t} \, dt & f(t_0) \text{ stetig} \\
|
|
\dfrac{1}{2} \left( \lim\limits_{t \to t^-_0} f(t) + \lim\limits_{t \to t^+_0} f(t) \right) & f(t_0) \text{ nicht stetig} \\
|
|
\end{cases}$
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Satz von Plancherel}
|
|
|
|
Sei $f: \R \to \C$ eine absolut integrierbare Funktion deren Fourier-Transformation auch absolut integrierbar ist. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)|^2 dt = \int\limits_{-\infty}^\infty |\mathcal{F}\{f\}(\omega)|^2 d\omega$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Die Physikalische Interpretation ist, dass die Fouriertransformation die Gesamtenergie eines Zeitsignals erhält.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Eigenschaften der Fourier Transformation}
|
|
|
|
Seien $f,g: \R \to \C$ (und $\hat{f}, f^{(n)}$) absolut integrierbar. Dann gilt \medskip
|
|
|
|
FT1 (Linearität): Für jedes $\alpha, \beta \in \C$ gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{F}\{\alpha f + \beta g\}(\omega) = \alpha \mathcal{F}\{f\}(\omega) + \beta \mathcal{F} \{g\}(\omega)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
FT2 (Verschiebung in der t-Variable): Sei $\alpha \in \R$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{F}\{f(t - a)\}(\omega) = e^{-i \omega a} \cdot \mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
FT3 (Verschiebung in der $\omega$-Variabel): Sei $a \in \R$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{F}\{e^{i a t} f(t)\}(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\}(\omega - a)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
FT4 (Streckung) Sei $a \in \R$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{F}\{f(at)\} (\omega) = \dfrac{1}{|a|} \cdot \mathcal{F}\{f(t)\} \left(\dfrac{\omega}{a}\right)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
FT5 (Fouriertransformierte einer Fouriertransform) Es gilt:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{F}\{\mathcal{F} \{ f(t) \} \} = f(-t)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
FT6 (Fourier-Transformation der Ableitung $f^{(n)}$) Für $n \in N$ gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{F}\{ f^{(n)} (t)\}(\omega) = (i \omega)^n \cdot \mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
FT7 (Ableitung der Fourier-Transformation) Für $n \in N$ gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{F}\{t^n f(t)\}(\omega) = i^n \dfrac{d^n}{d\omega^n} \mathcal{F}\{f(t)\} (\omega)$}
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Faltung}
|
|
|
|
Seien $f,g: \R \to \C$ zwei absolut integrierbare Funktionen. Das Faltungsprodukt $f * g$ von $f$ und $g$ ist
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle (f * g)(x) := \int\limits_{-\infty}^\infty f(x - t) g(t) dt = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)g(x-t) dt$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Die Faltung ist ein gewichteter Mittelwert von $f$ mit Gewicht gegeben durch $g$.
|
|
|
|
\subsubsection{Bemerkungen}
|
|
|
|
i) Falls für jedes $t<0$ $f(t) = 0$ und $g(t) = 0$ gilt, dann folgt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$(f * g)(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t) g(t) dt = \int\limits_{0}^\infty f(x-t) g(t) dt = \int\limits_{0}^x f(x-t) g(t) dt$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
wobei die Beschränkungen vom Integral durch die Bedingungen oben gegeben sind. Der erste Schritt folgt durch $g(t) = 0$ und der zweite aus $f(x-t) = 0 \Rightarrow x - t < 0 \Rightarrow x < t$. \medskip
|
|
|
|
ii) $f*g$ ist mindestens so glatt, wie die glatteste der beiden Funktionen. Je öfters eine Funktion differenzierbar ist, desto glätter ist sie.
|
|
|
|
\subsubsection{Eigenschaften der Faltung}
|
|
|
|
Seien $f,g: \R \to \C$ absolut integrierbare Funktionen und $\alpha, \beta \in \C$. Dann
|
|
|
|
F1 (Kommutativität) Es gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$f * g = g * f$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
F2 (Assoziativität) Es gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$(f * g) * h = f * (g * h)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
F3 (Distributivität) Es gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$(\alpha f + \beta g) * h = \alpha f * h + \beta g * h$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
F4 Falls $(T_a f)(x) := f(x - a)$, dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$(T_a f) * g = T_a(f * g)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
F5 (Faltungssatz) Die Fouriertransformation der Faltung ist:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{F}\{f * g\} = \sqrt{2 \pi} \mathcal{F}\{f\} \mathcal{F}\{g\}$} \medskip
|
|
|
|
$\mathcal{F}^{-1}\{f * g\} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathcal{F}^{-1}\{f\} \mathcal{F}^{-1}\{g\}$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
F6 Seien $\mathcal{F}\{f\}$, $\mathcal{F}\{g\}$ und $f \cdot g$ auch absolut integrierbar, dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{F}\{f \cdot g\} = \sqrt{2 \pi} \cdot \mathcal{F}\{f\} * \mathcal{F}\{g\}$} \medskip
|
|
|
|
$\mathcal{F}^{-1}\{f \cdot g\} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \mathcal{F}^{-1}\{f\} * \mathcal{F}^{-1}\{g\}$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\vfill\null
|
|
|
|
|
|
\pagebreak
|
|
|
|
|
|
\section{Laplace-Transformation}
|
|
|
|
Der Unterschied zwischen der Laplace-Transformation und der Fourier-Transformation ist, dass man für die Laplace-Transformation auch wachsende Funktionen betrachten kann. \medskip
|
|
|
|
Sei $s \in \C$. Die Laplace-Transformation der Funktion $f: \R \to \C$ ist
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle\mathcal{L}\{f(t)\}(s) := \int\limits_0^\infty e^{-st} f(t) dt$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Sei $\mathcal{E}$ der Raum der Funktionen $f: \R \to \C$ mit folgenden Eigenschaften:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{r p{0.85\linewidth}} \toprule
|
|
1) & $f(t) = 0$ für jedes $t < 0$ \\
|
|
2) & Es gibt ein $\sigma \in \R$ und ein $M > 0$ für alle $t > 0$ mit
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$|f(t)| \leq M e^{\sigma t}$
|
|
\end{center} \\
|
|
3) & $f$ ist stückweise stetig und die Grenzwerte
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$\lim\limits_{t \to t_0^-} f(t)$ und $\lim\limits_{t \to t_0^+} f(t)$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
existieren an jeder Sprungstelle $t_0 \in \R_{> 0}$, \textbf{auch bei} $t_0 = 0$. \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Dann ist die Laplace-Transformation für jedes $f \in \mathcal{E}$ auf der Halbebene $\{s \in \C: \Re{s} > \sigma\}$ wohldefiniert und eine komplexe Analytische Funktion der Variable $s$. Ausserdem gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$\lim\limits_{\Re{s} \to \infty} \mathcal{L} \{f(t)\}(s) = 0$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Grundbegriffe}
|
|
|
|
Man nennt $\mathcal{E}$ \emph{Originalraum} und eine Funktion $f \in \mathcal{E}$ \emph{Originalfunktion} und der Definitionsbereich von $f$ heisst \emph{Zeitbereich}. Die Laplace-Transformation $\mathcal{L}\{f\}$ ist eine \emph{Bildfunktion} und der Definitionsbereich von $\mathcal{L}\{f\}$ heisst \emph{Bildbereich}.
|
|
|
|
\subsubsection{Wachstumskoeffizient}
|
|
|
|
Das kleinste $\sigma_f$, so dass $|f(t)| < Ce^{\sigma t}$ für jedes $\sigma_f < \sigma$ heisst Wachstumskoeffizient.
|
|
|
|
\subsection{Heaviside Funktion}
|
|
|
|
Falls $f \not\equiv 0$ für $t < 0$, kann man immer die Funktion zwingen die Bedingung zu erfüllen indem man die Funktion $f$ mit der Heaviside Funktion $H(t)$ multipliziert.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$H(t) := \begin{cases}
|
|
0 & t < 0 \\
|
|
1 & t > 0 \\
|
|
\end{cases}$}
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
\subsection{Eigenschaften der Laplace-Transformation}
|
|
|
|
Seien $f,g \in \mathcal{E}$, $\alpha, \beta \in \C$. Dann gilt \medskip
|
|
|
|
LT1 (Linearität):
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{L}\{\alpha f(t) + \beta g(t)\}(s) = \alpha \mathcal{L}\{f(t)\}(s) + \beta \mathcal{L} \{g(t)\}(s)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
LT2 (Verschiebung in der t-Variable): Sei $a \in \R$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\mathcal{L}\{f(t-a)\}(s) = e^{-a s} \mathcal{L}\{f(t)\}(s)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Bem: Bei der Rücktransformation mit $H(t - a)$ multiplizieren!
|
|
|
|
LT3 (Verschiebung in der $s$-Variabel):
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{L}\{e^{\alpha t} f(t)\}(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s - \alpha)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
LT4 (Ähnlichkeit) Sei $a \in \R^+$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{L}\{f(a t)\} (s) = \dfrac{1}{a} \mathcal{L}\{f(t)\} \left(\dfrac{s}{a}\right)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
LT5 (Laplace-Transformation der Ableitung) Sei $f' \in \mathcal{E}$ und $f(t)$ stetig für $t > 0$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{L}\{ f' (t)\}(s) = s \mathcal{L}\{ f (t)\}(s) - \lim\limits_{t \to 0^+} f(t)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Falls $f'', \dots, f^{(n)} \in \mathcal{E}$ und $f, \dots, f^{(n-1)}$ stetig für $t > 0$ sind, dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqboxf{$\displaystyle \mathcal{L}\{ f^{(n)} (t)\}(s) = s^n \mathcal{L}\{ f(t)\}(s) - \sum\limits_{k = 1}^n s^{n-k} \lim\limits_{t \to 0^+} f^{(k-1)}(t)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
LT6 (Ableitung der Laplace-Transformation) Für $n \in N$ gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\dfrac{d^n}{d s^n} \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = (-1)^n \mathcal{L}\{t^n f(t)\} (s)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
LT7 (Laplace-Transformation eines Integrals)
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \mathcal{L} \left\{ \int\limits_0^t f(\tau ) d \tau \right\} (s) = \dfrac{1}{s} \mathcal{L}\{f(t)\}(s)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
LT8 Sei $\sigma_f$ der Wachstumskoeffizient von $f$. Für $x > \sigma_f$ ($x \in \R$) gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \mathcal{L}\left\{ \dfrac{f(t)}{t} \right\} ( x + i y) = \int\limits_{x + iy}^{\infty + i y} \mathcal{L} \{f(t)\} (\tau) d\tau$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
LT9 Sei $f$ eine $T$-periodische Funktion ($f(t + T) = T$) für jedes $t \geq 0$. Dann gilt für jedes $s \in \C$ mit $\Re{s} > 0$.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\} (s) = \dfrac{1}{1 - e^{- s T}} \int\limits_0^T e^{-st} f(t) dt$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
LT10 (Faltungssatz)
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{L} \{f * g\}(s) = \mathcal{L}\{\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)d\tau\}(s) = \mathcal{L} \{f(t)\}(s) \cdot \mathcal{L} \{g(t)\}(s)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
LT11 (Dirac-Delta Funktion) Sei $a \in \R$. Dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\mathcal{L}\{\delta(t - a)\} (s) = e^{-as}$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Satz von Lerch (Eindeutigkeit der Laplace-Transformation)}
|
|
|
|
Seien $f_1, f_2 \in \mathcal{E}$ mit Wachstumskoeffizienten $\sigma_1, \sigma_2$. Gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$\mathcal{L} \{f_1(t)\}(s) = \mathcal{L} \{f_2(t)\} (s)$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
für jedes $s$ mit $\Re{s} > \max\{\sigma_1, \sigma_2\}$. Dann ist
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$f_1(t) = f_2(t)$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
an allen Stellen $t$ an denen $f_1$ und $f_2$ stetig sind.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Inverse Laplace-Transformation}
|
|
|
|
Sei $f \in \mathcal{E}$ mit Wachstumskoeffizient $\sigma_f$. Sei $\beta_c(y) := c + i y$ für $y \in (-\infty, \infty)$ ein Pfad, wobei $c > \sigma_f$ beliebig ist. Dann gilt an allen Stetigstellen $t \in (0, \infty)$ von $f$
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle f(t) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{\beta_c} e^{st} \mathcal{L}\{f(t)\}(s) \, ds$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
An den Unstetigstellen $t_0 \in (0, \infty)$ gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\displaystyle \frac{1}{2} \left(\lim\limits_{t \to t_0^-} \mathcal{L}\{f(t)\}(s) + \lim\limits_{t \to t_0^+} \mathcal{L}\{f(t)\}(s)\right) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{\beta_c} e^{st} \mathcal{L}\{f(t)\}(s) \, ds$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Die Inverse Laplace-Transformation kann entweder durch dieses Kurvenintegral berechnet werden oder über die Eigenschaften der Laplace-Transformation bzw. die Transformationstabelle.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Laplace-Transformationstabelle}
|
|
|
|
Bei der Rücktransformation \emph{immer} mit $H(t)$ multiplizieren!!!
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
|
|
\begin{tabular}{c c} \toprule
|
|
Originalraum $f(t)$ & Bildbereich $\mathcal{L}\{f(t)\}(s)$ \\
|
|
\midrule
|
|
$1$ & $\dfrac{1}{s}, s>0$ \\
|
|
\hline
|
|
$t^n$ & $\dfrac{n!}{s^{n+1}}, s>0$ \\
|
|
\hline
|
|
$\sin(at)$ & $\dfrac{a}{s^2+a^2}, s>0$ \\
|
|
\hline
|
|
$\cos(at)$ & $\dfrac{s}{s^2+a^2}, s>0$ \\
|
|
\hline
|
|
$e^{at}$ & $\dfrac{1}{s-a}, s>a$ \\
|
|
\hline
|
|
$e^{at}\cdot \sin(bt)$ & $\dfrac{b}{(s-a)^2+b^2}, s>a$ \\
|
|
\hline
|
|
$e^{at}\cdot \cos(bt)$ & $\dfrac{s-a}{(s-a)^2+b^2}, s>a$ \\
|
|
\hline
|
|
$t^ne^{at}$ & $\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}, s>a$ \\
|
|
\hline
|
|
$f'(t)$ & $s \mathcal{L}\{f(t)\}(s)-f(0)$ \\
|
|
\hline
|
|
$f''(t)$ & $s^2 \mathcal{L}\{f(t)\}(s)-sf(0)-f'(0)$ \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\subsection{Differentialgleichungen (DGL) lösen mit Laplace}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Die DGL in den Bildbereich transformieren (LT5).
|
|
\item Anfangswerte in transformierte DGL einsetzen.
|
|
\item DGL nach $\mathcal{L}\{y(t)\}(s) = Y(s)$ auflösen.
|
|
\item Partialbruchzerlegung
|
|
\item [4.5] Je nachdem wie die Transfomierte aussieht nach der Partialbruchzerlegung, muss man die Zerlegung zurücktransformieren, damit man Eigenschaften anwenden kann, um zur Lösung zu kommen. (z.B. LT2)
|
|
\item Rücktransformation mit Tabellen und mit $H(t)$ multiplizieren.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Dirac-Delta Funktion (Dirac-Impuls)}
|
|
|
|
Die Dirac-Delta Funktion ($\delta (t)$) ist, wie folgt definiert:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
$\delta_\epsilon (t) := \dfrac{1}{2\epsilon}\chi_{(-\epsilon,\epsilon)}(t)$ \qquad \eqbox{$\delta(t) := \lim\limits_{\epsilon \to 0} \delta_\epsilon (t)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Eigenschaften}
|
|
|
|
Die Eigenschaften D1 und D2 charakterisieren die Delta Dirac \emph{eindeutig}! \medskip
|
|
|
|
D1 Obwohl $\delta(t)$ im Ursprung ''unendlich'' ist, gilt trotzdem
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\int\limits_{-\infty}^\infty \delta(t) = 1$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
D2 Für jede stetige Funktion $f$ gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$\int\limits_{-\infty}^\infty \delta(t - t_0) f(t) dt = f(t_0)$}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
D3 Sei $H(t)$ die Heaviside Funktion, dann gilt
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\eqbox{$H(t) = \int\limits_{-\infty}^t \delta(s) ds$}
|
|
\end{center}
|
|
\vfill\null
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
|
|
\section{Sonstiges}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Tangens.png}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\end{multicols*}
|
|
\setcounter{secnumdepth}{2}
|
|
\end{document}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|