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TeX
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\section{Zahlensysteme}
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\subsection{Polyadische Systeme}
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Die Position einer Ziffer innerhalb einer Zahl gibt den Wert an, mit der die Basis des Zahlensystems an dieser Stelle potenziert wird. Umwandlung einer Zahl $D_{(R)}$ ins Dezimalsystem:
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\begin{center}
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\begin{minipage}{0.55\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{c l}
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$R$ & Basis/Radix von $D_{R}$ \\
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$b_i$ & Koeffizienten (''Ziffern'') \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.40\linewidth}
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\begin{center}
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\eqbox{$D_{(10)} = \sum\limits_{i = -\infty}^{\infty} b_i \cdot R^i$}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\end{center}
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Darstellung von $D_{(R)}$ in Basis $R$: $\dots b_2 b_1 b_0 . b_{-1} b_{-2} \dots _{R}$
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\begin{flushleft}
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\begin{tabular}{l c l}
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Dezimal & $10$ & $b_i \in \{0, 1, \dots, 9\}$ \\
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Dual/Binär & $2$ & $b_i \in \{0, 1\}$ \\
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Oktal & $8$ & $b_i \in \{0, 1, \dots, 7\}$ \\
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Hexa (0x) & $16$ & $b_i \in \{0, 1, \dots, 9, A, B, C, D, E, F\}$ \\
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\end{tabular}
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\end{flushleft}
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\vfill
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\subsection{Umwandlung Dezimal $\to$ Zahlensystem R}
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Für den Teil \emph{vor} dem Komma:
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Wiederholte ganzzahlige Division durch Basis $R$ mit Rest $r$, der jeweilige Rest $r$ entspricht der Ziffer im neuen
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Zahlensystem, beginnend mit dem \textbf{L}east \textbf{S}ignificant \textbf{D}igit (LSD).
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\begin{center}
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\eqbox{$\dfrac{D_{(10)}}{R} = Q_0 + r_0$ und dann Rekursiv: $\dfrac{Q_i}{R} = Q_{i+1} + r_{i+1}$}
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\end{center}
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Für den \emph{'Fraktionalteil'} $a_o$ hinter dem Komma:
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Wiederholte Multiplikation von $a_0$ mit der Zahlenbasis $R$ und ausführen der Abrundungsfunktion floor(x) zur Berechnung von $K$, welches der Ziffer im neuen Zahlensystem entspricht, beginnend mit dem \textbf{M}ost \textbf{S}ignificant \textbf{D}igit (MSD).
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\begin{center}
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\eqbox{$a_i \cdot R = P_i \quad \to \text{floor}(P_i) = K_{i - 1}$, $a_{i-1} = P_i - K_{i - 1}$}
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\end{center}
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Ein Zahlenbeispiel:
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\begin{center}
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\includegraphics[width = 0.32\textwidth]{images/UmwandlungZahlensys.jpg}
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\end{center}
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\subsubsection{Binär zu Dezimal}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c}
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$2^7$ & $2^6$ & $2^5$ & $2^4$ & $2^3$ & $2^2$ & $2^1$ & $2^0$ \\
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$128$ & $64$ & $32$ & $16$ & $8$ & $4$ & $2$ & $1$ \\
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\end{tabular} \medskip
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\begin{tabular}{c|c|c|c}
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$2^{-1}$ & $2^{-2}$ & $2^{-3}$ & $2^{-4}$ \\
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$0.5$ & $0.25$ & $0.125$ & $0.0625$ \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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\subsection{Zweierkomplement}
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Für negative Dualzahlen wird das Zweierkomplement verwendet. Das MSB (sign Bit) hat eine \emph{negative} Wertigkeit. \medskip
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Bildung Zweierkomplement für eine negative Zahl:
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\begin{tabular}{r l}
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i) & Absolutbetrag der Zahl in Dualzahl umwandeln \\
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ii) & Dualzahl bitweise invertieren und beim LSB '+1' \\
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iii) & Zuvorderst das sign Bit hinzufügen \\
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\end{tabular}
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\vfill
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\subsection{Darstellung Rationaler Zahlen als Dualzahl (Q-Format)}
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Vorzeichenbehaftete Zahlen mit rationalem Anteil werden im Q-Format dargestellt. Bei $m$ Vorkomma- und $n$ Nachkommabits sind insgesamt $k = 1 + m + n$ Binärstellen erforderlich.
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\begin{center}
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\eqbox{$\displaystyle D_{(10)} = \underbrace{- b_m \cdot 2^m}_{\text{sign Bit}} + \sum_{i = 0}^{m - 1} b_i \cdot 2^i + \sum_{i = 1}^{n} b_i \cdot 2^{-i}$}
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\end{center}
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\subsection{Binäre Rechenoperationen}
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\subsubsection{Addition}
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Schriftliche bitweise Addition mit Übertrag.
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\begin{center}
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\includegraphics[width = 0.2\textwidth]{images/Addition.jpg}
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\end{center}
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\subsubsection{Subtraktion}
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Addition, aber in 2er-Komplement Darstellung.
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\begin{center}
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\includegraphics[width = 0.2\textwidth]{images/Subtraktion.jpg}
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\end{center}
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Minuend und Subtrahend müssen über gleiche Stellenanzahl verfügen, sonst kürzere Zahl linksbündig mit Vorzeichenbit erweitern. Überträge nach dem Vorzeichenbit ignorieren!
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\subsubsection{Multiplikation}
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Multiplikation zweier vorzeichenloser Dualzahlen:
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\begin{center}
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\includegraphics[width = 0.25\textwidth]{images/Multiplikation.jpg}
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\end{center}
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\vfill
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