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\section{Definition und Eigenschaften}
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\dfn{Determinante \cite{Gradinaru2024}}{
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Die Determinante ist eine Funktion
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\[
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\text{det : } \underbrace{\mathbb{R} ^{n} \times \mathbb{R} ^{n} \times ... \times \mathbb{R} ^{n}}_{n} \rightarrow \mathbb{R}
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\]
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mit folgenden Eigenschaften:
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\begin{itemize}
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\item[D1] $\text{det } \mathbf{I}_n = 1$
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\item[D2] det wechselt das Vorzeichen, wenn zwei Zeilen oder Spalten vertauscht werden (Antisymmetrie).
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\item[D3] det ist linear in jeder Zeile und Spalte:
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\[
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\text{det} \begin{bmatrix}
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ta & tb\\
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c & d\\
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\end{bmatrix} = t \cdot \text{det} \begin{bmatrix}
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a & b\\
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c & d\\
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\end{bmatrix}
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.\]
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\[
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\text{det} \begin{bmatrix}
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a + \tilde{a} & b + \tilde{b}\\
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c & d\\
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\end{bmatrix} = \text{det} \begin{bmatrix}
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a & b\\
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c & d\\
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\end{bmatrix} + \text{det} \begin{bmatrix}
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\tilde{a} & \tilde{b}\\
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c & d\\
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\end{bmatrix}
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.\]
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\end{itemize}
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}
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Was ist genau die Determinante und was ist der Konzept dahinter?
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\\
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Die Determinante ist ein Hilfsmittel um eine lineare Transformation besser verstehen zu können, genauer um welchen Faktor die Fläche sich vergrössert. Betrachten wir es anhand einer Grafik.
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Wir wissen von D1, dass $\text{det } \mathbf{I}_2 = 1$. Versuchen wir mal dies in einer Grafik darzustellen.
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_5.png}
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$\mathbf{I}_2$ bildet im Koordinatensystem eine Fläche mit einer Grösse von 1. Wir nehmen nun einfachtshalber mal eine willkürliche Dreiecksmatrix $\mathbf{A}$. Diese Zeichnen wir auch in das Koordinatensystem ein.
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_6.png}
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Wir sehen, dass die Matrix $\mathbf{A}$ eine Fläche aufspannt mit Grösse 6. Somit ist det 6. Wir nehemen nun eine andere Matrix $\mathbf{B}$.
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_7.png}
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Wir sehen, dass die Matrix eine lineare Transformation ist, jedoch bleibt die Fläche gleich gross da det 1 ist. Somit würden die Flächen ihre Grösse nach der Transformation nicht verändern.
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Was ist mit negativen det. Gibt es negative det und wie soll man sich negative det sich vorstellen?
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Wir betrachten neben der $\mathbf{I}_2$ die Matrix $\mathbf{C}$.
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_8.png}
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Wir sehen, dass die Fläche, welche die Matrix $\mathbf{C}$ bildet in vergleich zu Matrix $\mathbf{B}$ gespiegelt ist. Daraus kann man ziehen, dass negative det eine Skalierung und eine Spiegelung sind.
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Wie sieht es aus mit det die 0 sind?
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Betrachten wir die Matrix $\mathbf{D}$.
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_9.png}
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Die Matrix $\mathbf{D}$ hat keine Fläche, da die Vektoren, welche die Fläche bilden übereinander sind. In manchen Fällen können Determinanten auch ein Punkt bilden.
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Da wir das Konzept von Determinanten jetzt besser verstehen. Können wir mit ein paar wichtige Rechenregel für Determinanten fortfahren. Die Rechenregel sind ausführlich im Skript von Dr. Gradinaru \cite{Gradinaru2024} beschrieben.
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\begin{itemize}
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\item Falls zwei Spalten oder Zeilen einer Matrix identisch sind, so ist die Determinante der Matrix 0.
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\item Lineare Kombinationen von Zeilen der Matrix ändert die Determinante dieser Matrix nicht.
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\item Wenn eine Matrix eine Nullzeile oder eine Nullspalte hat, so ist ihre Determinante 0.
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\item Falls $\mathbf{A}$ eine Dreiecksmatrix ist, so ist die Determinante von A das Produkt der Diagonaleinträge.
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\item Falls A singulär ist, entsteht bei der Gauss-Elimination eine Nullzeile und die Determinante ist 0.
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\item det $\mathbf{A} \mathbf{B}$ = det $\mathbf{A} \cdot$ det $\mathbf{B}$.
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\item \[
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\text{det } \mathbf{A} ^{-1} = \frac{1}{\text{det } \mathbf{A}}
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.\]
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\item $\text{det } \mathbf{A} = a_{11} \cdot \text{det } \mathbf{A} _{11} - a_{12} \cdot \text{det } \mathbf{A} _{12} + ... + a_{1n} \cdot det \mathbf{A}_{1n}$
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\end{itemize}
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\nt{
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Es gibt noch ein paar Tricks um det zu berechnen:
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\begin{itemize}
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\item det einer $3 \times 3$ Matrix lässt sich auch so rechnen:
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig/Fig_10.png}
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\end{center}
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\item Die Regel mit der Dreiecksmatrix lässt sich ein wenig erweitern. Falls man Blöcke bilden kann so lässt sich det durch das Multiplizieren der einzelnen det der Blöcke berechnen.
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.3\textwidth]{fig/Fig_11.png}
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\end{center}
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\end{itemize}
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}
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