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\section{Karnaugh-Diagramme}
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\subsection{Einführung und Regeln}
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Karnaugh Diagramme werden zur Vereinfachung von logischen Gleichungen verwendet. Wir haben zwar in Kapitel \ref{sec:verein} und \ref{sec:morgan} eine Methode gelernt, logische Gleichungen zu vereinfachen. Die Karnaugh Diagramme sind eine andere Methode, welche in manchen Fällen schneller ist.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\matrix (kv) [
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matrix of nodes,
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nodes in empty cells,
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column sep=-\pgflinewidth, row sep=-\pgflinewidth,
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nodes = {
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rectangle,
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draw = black,
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text width = 5mm,
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text height = 5mm,
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align = center
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}
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]{
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$0$ & $1$ & $X$ & \\
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& & & \\
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& $\textcolor{blue}{1}$ & & \\
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& & & \\
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};
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\path[draw, decorate, decoration=brace] (kv-1-1.north west) -- (kv-1-2.north east) node [midway, above] {$\bar{A}$};
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\path[draw, decorate, decoration=brace] (kv-1-3.north west) -- (kv-1-4.north east) node [midway, above] {$A$};
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\path[draw, decorate, decoration=brace] (kv-2-1.south west) -- (kv-1-1.north west) node [midway, left] {$\bar{C}$};
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\path[draw, decorate, decoration=brace] (kv-4-1.south west) -- (kv-3-1.north west) node [midway, left] {$C$};
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\path[draw, decorate, decoration=brace] (kv-2-4.north east) -- (kv-3-4.south east) node [midway, right] {$D$};
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\path[draw, decorate, decoration=brace] (kv-1-4.north east) -- (kv-1-4.south east) node [midway, right] {$\bar{D}$};
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\path[draw, decorate, decoration=brace] (kv-4-4.north east) -- (kv-4-4.south east) node [midway, right] {$\bar{D}$};
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\path[draw, decorate, decoration=brace] (kv-4-3.south east) -- (kv-4-2.south west) node [midway, below] {$B$};
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\path[draw, decorate, decoration=brace] (kv-4-1.south east) -- (kv-4-1.south west) node [midway, below] {$\bar{B}$};
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\path[draw, decorate, decoration=brace] (kv-4-4.south east) -- (kv-4-4.south west) node [midway, below] {$\bar{B}$};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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Karnaugh Diagramme können für logische Gleichungen mit mehreren Eingangsvariablen gebildet werden. Grundsätzlich gilt für $n$ Eingangsvariablen hat das Karnaugh Diagram $2 ^n$ Felder. Jedes Feld im Karnaugh Diagramm ist für ein Minterm oder ein Maxterm gedacht. Dabei gilt wie bei der Wahrheitstablle wenn die Ausgangsvariable 1 ist handelt es sich um ein Minterm. Ist die Ausgangsvariable 0, so ist es ein Maxterm.
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\\
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Das interessante an Karnaugh Diagrammen ist, dass man mit den Min- bzw. Maxtermen "Päckchen" bilden kann. Päckchen können wie folgt gebildet werden.
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\begin{enumerate}
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\item Päckchen haben eine Grösse von $2 ^{n}$
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\item Die Päckchen bestehen entweder nur aus Min- bzw. Maxtermen.
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\item Es soll immer das grösstmögliche Päckchen gebildet werden.
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\item Päckchen können sich schneiden.
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\end{enumerate}
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Durch das Bilden von Päckchen können neue Min- bzw. Maxterme gebildet werden, da in Päckchen Variablen in ihrer negierten und nicht negierten Form vorkommen. Diese gleichen sich aus und verschwinden.
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\nt{
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Karnaugh Diagramme bestehend aus mehreren Eingangsvariablen können "eigenartige" Päckchen haben.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_6.png} \cite{Luisier2024}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_7.png} \cite{Luisier2024}
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\end{minipage}
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}
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\nt{
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Karnaugh Diagramme können unendlich viele Eingangsvariablen haben, jedoch beschränken wir uns auf maximal fünf Eingangsvariablen, da Karnaugh Diagramme mit mehr als fünf Eingangsvariablen unübersichtlich wird.
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}
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Um das Karnaugh Diagramm mit einer Wahrheitstablle auszufüllen, gibt es eine bestimmte Vorgehensweise.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\matrix (kv) [
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matrix of nodes,
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nodes in empty cells,
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column sep=-\pgflinewidth, row sep=-\pgflinewidth,
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nodes = {
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rectangle,
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draw = black,
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text width = 5mm,
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text height = 5mm,
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align = center,
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text = gray
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}
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]{
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\node[kvbinhead] {}; & \node[kvbinhead] {00}; & \node[kvbinhead] {01}; & \node[kvbinhead] {11}; & \node[kvbinhead] {10}; \\
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\node[kvbinhead] {00}; & & & & \\
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\node[kvbinhead] {01}; & & & & \\
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\node[kvbinhead] {11}; & & & & \\
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\node[kvbinhead] {10}; & & & & \\
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};
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\node[] at ($(kv-1-1.north east) + (-6mm, +2mm)$) {AB};
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\node[] at ($(kv-1-1.south west) + (-1mm, +5mm)$) {CD};
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\draw[] ($(kv-1-1.north west) + (-3mm, 3mm)$) -- ($(kv-1-1.south east) + (-3.5mm, 3.5mm)$);
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\begin{pgfonlayer}{tl3}
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\draw[thick, blue, ->, > = stealth] (kv-2-2.center) -- (kv-3-2.center) to[out = 180, in = 180] (kv-5-2.center) -- (kv-4-2.center);
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\draw[thick, blue, ->, > = stealth] (kv-2-3.center) -- (kv-3-3.center) to[out = 180, in = 180] (kv-5-3.center) -- (kv-4-3.center);
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\draw[thick, blue, ->, > = stealth] (kv-2-5.center) -- (kv-3-5.center) to[out = 180, in = 180] (kv-5-5.center) -- (kv-4-5.center);
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\draw[thick, blue, ->, > = stealth] (kv-2-4.center) -- (kv-3-4.center) to[out = 180, in = 180] (kv-5-4.center) -- (kv-4-4.center);
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\end{pgfonlayer}
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\begin{pgfonlayer}{tl2}
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\draw[thick, darkgreen, ->, > = stealth] (kv-4-2.center) -- (kv-2-3.center);
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\draw[thick, red, ->, > = stealth] (kv-4-3.center) -- (kv-2-5.center);
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\draw[thick, darkgreen, ->, > = stealth] (kv-4-5.center) -- (kv-2-4.center);
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\end{pgfonlayer}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\matrix (kv) [
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matrix of nodes,
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nodes in empty cells,
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|
column sep=-\pgflinewidth, row sep=-\pgflinewidth,
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|
nodes = {
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|
rectangle,
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|
draw = black,
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text width = 5mm,
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text height = 5mm,
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align = center,
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text = gray
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}
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]{
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\node[kvbinhead] {}; & \node[kvbinhead] {00}; & \node[kvbinhead] {01}; & \node[kvbinhead] {11}; & \node[kvbinhead] {10}; \\
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\node[kvbinhead] {00}; & & & & \\
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\node[kvbinhead] {01}; & & & & \\
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\node[kvbinhead] {11}; & & & & \\
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\node[kvbinhead] {10}; & & & & \\
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};
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\node[] at ($(kv-1-1.north east) + (-6mm, +2mm)$) {CD};
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\node[] at ($(kv-1-1.south west) + (-1mm, +5mm)$) {AB};
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\draw[] ($(kv-1-1.north west) + (-3mm, 3mm)$) -- ($(kv-1-1.south east) + (-3.5mm, 3.5mm)$);
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\begin{pgfonlayer}{tl3}
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\draw[thick, blue, ->, > = stealth] (kv-2-2.center) -- (kv-2-3.center) to[out = 90, in = 90] (kv-2-5.center) -- (kv-2-4.center);
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\draw[thick, blue, ->, > = stealth] (kv-3-2.center) -- (kv-3-3.center) to[out = 90, in = 90] (kv-3-5.center) -- (kv-3-4.center);
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\draw[thick, blue, ->, > = stealth] (kv-5-2.center) -- (kv-5-3.center) to[out = 90, in = 90] (kv-5-5.center) -- (kv-5-4.center);
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\draw[thick, blue, ->, > = stealth] (kv-4-2.center) -- (kv-4-3.center) to[out = 90, in = 90] (kv-4-5.center) -- (kv-4-4.center);
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\end{pgfonlayer}
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\begin{pgfonlayer}{tl2}
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\draw[thick, darkgreen, ->, > = stealth] (kv-2-4.center) -- (kv-3-2.center);
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\draw[thick, red, ->, > = stealth] (kv-3-4.center) -- (kv-5-2.center);
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\draw[thick, darkgreen, ->, > = stealth] (kv-5-4.center) -- (kv-4-2.center);
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\end{pgfonlayer}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{minipage}
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