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TeX
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\section{Basisfunktion}
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\subsection{Nützliche Konzepte}
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\dfn{Schaltfunktion}{
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Eine Schaltfunktion $f$ nimmt mehrere Variablen $X_i$, z.B. $N$, als Eingang und produziert eine einzige Variable $Y$ als Ausgang.
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\begin{equation}
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Y = f(X_0, X_1, X_2, ... , X_{N-1})
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\end{equation}
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Der Informationsgehalt der Variablen beträgt ein Bit (1 oder 0). \cite{Luisier2024}
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}
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Schaltfunktionen sind nichts anderes als eine Codierung. Damit man die Verschiedenen Codierungen zu bestimmten Ausgängen zuteilen kann, verwendet man Wahrheitstabellen.
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\\
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\\
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Wahrheitstabellen nehmen in den linken Spalten die Wertekombinationen der Variablen $X_i$. In der rechten Spalte befindet sich das Ergebnis der Ausgangsvariable $Y$. Die grösse der Wahrheitstabelle hängt von der Anzahl der Variablen $X_i$ ab. Grundsätzlich kann man sich folgendes Merken für die Anzahl Spalten $S$ und Anzahl Zeilen $Z$.
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\[
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S = i + 1
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.\]
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\[
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Z = 2 ^{i}
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.\]
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\subsection{UND, ODER, NICHT Verknüpfung} \label{sec:verk}
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In diesem Kapitel schauen wir uns verschiedene Verknüpfungen an. Diese sind relevant für das Verständnis von Schaltfunktionen.
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\dfn{AND Verknüpfung}{
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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Wenn Aussage $A$ (Eingang) wahr \textbf{und} Aussage $B$ (Eingang) wahr sind, dann ist Aussage $Y$ (Ausgang) wahr. \cite{Luisier2024}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| c | c | c |}
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$A$ & $B$ & $Y$ \\
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\hline
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0 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 0 \\
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1 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 1 \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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In einer logischen Gleichung wird das UND wie folgt gekennzeichnet.
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\[
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A \land B = Y
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.\]
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Das UND wird mit dem folgenden Schaltzeichen gekennzeichnet.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[circuit logic IEC]
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\node[and gate] (and) at (0,0) {};
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\node[] (iA) at (-1, 0.4) {A};
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\node[] (iB) at (-1, -0.4) {B};
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\node[] (oZ) at (1, 0) {Z};
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\draw (iA.east) --++ (right:2mm) |- (and.input 1);
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\draw (iB.east) --++ (right:2mm) |- (and.input 2);
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\draw (and.output) -- (oZ);
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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|
\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_30.png} \cite{Luisier2024}
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\end{minipage}
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}
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\dfn{OR Verknüpfung}{
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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Wenn Aussage $A$ (Eingang) wahr oder Aussage $B$ (Eingang) wahr ist, dann ist Aussage $Y$ (Ausgang) wahr. \cite{Luisier2024}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| c | c | c |}
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$A$ & $B$ & $Y$ \\
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\hline
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0 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 1 \\
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1 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 1 \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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In einer logischen Gleichung wird das ODER wie folgt gekennzeichnet.
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\[
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Y = A \lor B
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.\]
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Das ODER wird mit dem folgenden Schaltzeichen gekennzeichnet.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[circuit logic IEC]
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\node[or gate] (or) at (0,0) {};
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\node[] (iA) at (-1, 0.4) {A};
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|
\node[] (iB) at (-1, -0.4) {B};
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|
\node[] (oZ) at (1, 0) {Z};
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|
\draw (iA.east) --++ (right:2mm) |- (and.input 1);
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|
\draw (iB.east) --++ (right:2mm) |- (and.input 2);
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|
\draw (and.output) -- (oZ);
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\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_31.png} \cite{Luisier2024}
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\end{minipage}
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}
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\dfn{NICHT Verknüpfung}{
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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Wenn Aussage $A$ (Eingang) wahr ist, dann ist Aussage $Y$ (Ausgang) falsch. \cite{Luisier2024}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| c | c |}
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$A$ & $Y$ \\
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\hline
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0 & 1 \\
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1 & 0 \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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In einer logischen Gleichung wird das NICHT wie folgt gekennzeichnet.
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\[
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\bar{A} = Y
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.\]
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Das NICHT wird mit dem folgenden Schaltzeichen gekennzeichnet.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[circuit logic IEC]
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\node[not gate] (not) at (0,0) {};
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\node[] (iA) at (-0.8, 0) {A};
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|
\node[] (oZ) at (0.8, 0) {Z};
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\draw (iA.east) -- (not.input);
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|
\draw (not.output) -- (oZ);
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|
\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\end{minipage}
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}
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