\section{Äquivalenz und Reduktion von Kräftegruppen}

\dfn{Kräftegruppe}{
	Eine Kräftegruppe ist eine Sammlung an Kräften, welche an einem Starrkörper wirken.

	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_19.png}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\begin{equation}
			\{ \vec{F}_i \} = \{ \vec{F_1}, \vec{F_2}, ... , \vec{F_N} \}
		\end{equation}
	\end{minipage}

	\nt{
		Um die resultierende Kraft an einem Punkt $P_i$ zu bestimmen, wären sehr rechenaufwendige Prozesse nötig, welche mit grosser Wahrscheinlichkeit hier nicht besprochen wurden.
	}

}

\dfn{Zentrale Kräftegruppe}{
	Wenn alle Wirkungslinien aller Kräfte einer Kräftegruppe durch einen Punkt gehen, so kann der Punkt als Angriffspunkt gesehen werden. In Kapitel \ref{sec:kraft} haben wir gelernt, dass eine Kraft entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden kann, weshalb die Kräfte auf einen Punkt wirken. Aus diesem Grund kann die resultierende Kraft $\vec{R}$ sehr einfach berechnet werden.

	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_20.png}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\[
			\vec{R} = \sum_i \vec{F_i} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} \neq 0
			.\]

		\[
			\vec{M_p} = \vec{0}
			.\]
	\end{minipage}
}

\dfn{Kräftepaar}{
	Bei einem Kräftepaar haben die zwei Kräfte den gleichen Betrag aber die entgegengesetzte Richtung. Ihre Wirkungslinie müssen sich nicht schneiden.

	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_21.png}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\[
			\vec{R} = 0
			.\]

		\[
			\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}
			.\]

		\[
			|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = |F|
			.\]

		\[
			\vec{F_1} = - \vec{F_2} = \vec{F}
			.\]
	\end{minipage}
}

\dfn{Nullsystem}{
Ein Nullsystem bezeichnet ein Starrkörper oder eine Kräftegruppe, welche im Gleichgewicht ist. Dies setzt die folgenden Bedingungen vorraus.

\[
	\vec{R} = \vec{0}
	.\]

\[
	\vec{M}_0 ^{tot} = \vec{0}
	.\]
}

\dfn{Statische Äquivalenz}{
	Statische Äquivalenz bezeichnet zwei Kräftegruppen, deren Gesamtleistung gleich ist.

	\[
		P(\{ \vec{F_i} \}) = P(\{ \vec{G_i} \})
		.\]

	Dies bedeutet, dass wenn zwei Kräftegruppen in einem beliebigen Punkt die gleiche Dyname haben, sind sie statisch äquivalent. \cite{Windt2023}
}

Wenn wir die Statische Äquivalenz von zwei Kräften betrachten, so muss folgendes gelten.

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_22.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	$\vec{F_A}$ und $\vec{F_B}$ sind statisch äquivalent.
\end{minipage}