\section{Mengenlehre}

\subsection{Grundlagen}

Eine Menge ist eine ungeordnete Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die in einer Menge enthaltenen Objekte nennen wir ihre Elemente. \cite{Ziltner2024}
\\
\\
\thm{Schreibweise einer Menge}{
	Nehmen wir an, dass $x_1, x_2, ... x_{n}$ Elemente sind. Dann ist die Menge, bestehend aus den Elementen $x_1, x_2, ... x_{n}$

	\[
		\{ x_1, x_2, ... x_{n} \}
		.\]
}

\exa{}{
	\begin{itemize}
		\item $\{ 1,0 \}$
		\item $\emptyset$
		\item $\{ \emptyset \}$
	\end{itemize}
}

\nt{
	Mengen können wiederholende Elemente besitzen.
}

\dfn{Beschreibende Mengenschreibweise}{
	Die beschreibende Mengenschreibweise ist eine Aussageform, welche Elemente $x$ definiert, die in einer Menge enthalten sein können und eine Bedingung $P(x)$ erfüllen.

	\begin{equation}
		\{ x | P(x) \} \text{Für die Menge aller $x$, für die $P(x)$ gilt.}
	\end{equation}
}

\exa{}{
	\begin{itemize}
		\item $\{ n | n \in \mathbb{N}_0 : n \text{ ist gerade} \}$
	\end{itemize}
}

\subsection{Mengenoperationen und Teilmengenrelation}

Wie in Kapitel \ref{cha:logic} haben Mengen auch Logikoperationen. Sie sind sehr ähnlich zu den "normalen" Logikoperationen.

\begin{tabular}{ c  c }
	$A \cup B$      & $\{ x | x \in A \land x \in B \}$ = Durchschnitt \\
	$A \cap B$      & $\{ x | x \in A \lor x \in B \}$ = Vereinigung   \\
	$A \setminus B$ & $\{ x \in A | x \notin B \}$ = Differenz         \\
\end{tabular}

Wenn die Menge $A$ auch in der Menge $B$ liegt, so ist $A$ eine Teilmenge von $B$.

\[
	A \subseteq B
	.\]

\thm{Das Komplementär einer Menge}{
	Das Komplementär einer Menge definiert eine Menge $A$, welche die Elemente einer anderen Menge $B$ nicht beinhaltet.

	\[
		B ^{\complement} = A \setminus B
		.\]
}

\thm{De-Morganschen Gesetze}{
	\begin{itemize}
		\item $(A \cup B)^\complement = A ^\complement \cap B ^\complement$
		\item $( A \cap B ) ^\complement = A ^\complement \cup B ^\complement$
	\end{itemize}
}

\thm{Tupel}{
	Wenn wir eine Liste von Elementen, bestehen aus $x_1, ..., x_{n}$ haben, so nennen wir diese Liste ein Tupel. Die Anzahl von Elementen $n$ sowie die Anordunng der Elementen spielt eine Rolle.

	\begin{itemize}
		\item Für $n = 2$ nennen wir den Tupel ein Paar.
		\item Für $n = 3$ nennen wir den Tupel ein Trippel.
		\item Für alle anderen $n$ bezeichnet man die Liste als n-Tupel.
	\end{itemize}

	Wie schon vorher erwähnt spielt die Anordung eine grosse Rolle. ($(x_1, x_2) \neq (x_2, x_1)$)
}

\thm{Karthesisches Produkt}{
	Das Produkt zweier Mengen (\textit{karthesische Produkt}) $X$ und $Y$ kann als eine Menge bestehend aus den Permutationen den Elementen der beiden Mengen dargestellt werden.
}

\exa{Karthesisches Produkt}{
	Sei $X := \{ 0,1 \}$ und $Y := \{ \text{Apfel}, \text{Berg} \}$.

	\[
		X \times Y  = \{ (0,\text{Apfel}), (0,\text{Berg}), (1, \text{Apfel}), (1, \text{Berg}) \}
		.\]
}

\nt{
	Für Potenzen gilt das gleiche Prinzip, i.e $X ^{2} = X \times X$, $X ^{3} = (X \times X) \times X$, usw.
}

\dfn{Euklidische Norm}{
Die euklidische Norm $|| \cdot ||$ ist die Distanz von einem Punkt, z.B. $\nu$ zu ihrem Ursprung und wird wie folgt berechnet.

\[
	||\nu|| := \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}v_i ^{2}}
	.\]

}

\newpage

\thm{Offener und abgeschlossener Ball, Sphäre}{
	E
	in Ball oder eine Sphäre ist eine Menge von Punkten in einen $n$-Dimensionalen Raum, welche einen bestimmten Abstand zum Mittelpunkt des Balles bzw. der Sphäre haben.

	\begin{enumerate}
		\item Der offene Ball ist eine Menge von Punkten, deren Abstand zum Mittelpunkt $x_0$ kleiner als der Radius $r$ ist.

		      \[
			      B_r(x_0) := B ^{n} _r(x_0) := \{ x \in \mathbb{R} ^{n} | ||x-x_0|| < r \}
			      .\]

		\item Der abgeschlossene Ball ist eine Menge von Punkten, deren Abstand zum Mittelpunkt $x_0$ kleiner oder gleich dem Radius ist.

		      \[
			      \bar{B}_r(x_0) := \bar{B} ^{n} _r(x_0) := \{ x \in \mathbb{R} ^{n} | ||x - x_0|| \leq r \}
			      .\]

		\item Die Sphäre ist eine Menge von Punkten, deren Abstand zum Mittelpunkt $x_0$ gleich dem Radius ist.

		      \[
			      S ^{n-1} _r (x_0) := \{ x \in \mathbb{R}^{n}| ||x - x_0|| = r \}
			      .\]
	\end{enumerate}


}

\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_1.png}
	\end{center}
	\caption{Von links nach rechts: Offener Ball, abgeschlossener Ball, Sphäre}
\end{figure}

\nt{
	Das die Sphäre eine Dimension verliert ($n-1$) ist auf dem ersten Blick verwirrend, macht aber Sinn. Bei einer Sphäre wird nur der Mantel betrachtet. Dadurch wird der Freiheitsgrad verringert was dazu führt, dass eine Dimension verloren geht i.e. der Mantel einer Kugel ist eine Fläche oder der Rand einer Kreisscheibe ist eine Linie.
}

\thm{Fall $r = 0$ und $r = \infty$}{
	Falls $r = 0$ gilt für den Ball
	\begin{itemize}
		\item $B_0(x_0) = \emptyset$ da die euklidische Norm nicht kleiner als 0 sein kann
		\item $\bar{B}_0(x_0) = \{ x_0 \}$ da der einzige Punkt dessen Abstand zum Mittelpunkt null ist der Mittelpunkt selbst ist.
	\end{itemize}

	Falls $r = \infty$, dann gilt

	\begin{itemize}
		\item $B_{\infty}(x_0) = \mathbb{R} ^{n}$
		\item $\bar{B}_{\infty}(x_0) = \mathbb{R} ^{n}$
	\end{itemize}
}

\nt{
	Obwohl $\mathbb{R}^{n}$ ein offener und auch ein geschlossener Ball sein kann bedeutet es nicht, dass $B_{\infty} (x_0) = \bar{B}_{\infty} (x_0)$ ist. Das Problem ist, dass kein Rand existiert für einen Kreis mit $r = \infty$. Deshalb ist $\mathbb{R}^{n}$ beides.
}

