
\section{Basics}



\subsection{Trigonometrie}

\begin{minipage}{0.25\linewidth}
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Figures/Trigo_2.jpg}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.73\linewidth}
	\eqbox{$\sin(\alpha) = \dfrac{G}{H}, \qquad \cos(\alpha) = \dfrac{A}{H}, \qquad \tan(\alpha) = \dfrac{G}{A}$}
\end{minipage} \medskip

\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	\begin{tabular}{r c c c c c} \toprule
		deg/rad & 0$^\circ$/0 & 30$^\circ$/$\frac{\pi}{6}$ & $45^\circ$/$\frac{\pi}{4}$ & 60$^\circ$/$\frac{\pi}{3}$ & 90$^\circ$/$\frac{\pi}{2}$ \\ \midrule
		sin     & $0$         & $\frac{\sqrt{1}}{2}$       & $\frac{\sqrt{2}}{2}$       & $\frac{\sqrt{3}}{2}$       & $1$                        \\
		cos     & $1$         & $\frac{\sqrt{3}}{2}$       & $\frac{\sqrt{2}}{2}$       & $\frac{\sqrt{1}}{2}$       & $0$                        \\
		tan     & $0$         & $\frac{\sqrt{3}}{3}$       & 1                          & $\sqrt{3}$                 & -                          \\ \bottomrule
	\end{tabular}
\end{center}

Trigonometrische Identitäten: \eqbox{$\tan = \dfrac{\sin}{\cos}, \qquad \sin^2 + \cos^2 = 1$} \medskip

Ausserdem gilt: $\sin(-x) = -\sin(x), \quad  \cos(-x) = \cos(x)$


\subsection{Nützliche Geometrien}

Die normierten Einheitsvektoren für häufig vorkommende Winkel:

\begin{center}
	\includegraphics[width=0.32\textwidth]{Figures/Trigo_1.jpg}
\end{center}

Ähnliche Dreiecke (Dreiecke mit gleichen Winkeln): \eqbox{$\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$}

\begin{center}
	\includegraphics[width=0.13\textwidth]{Figures/Similar.jpg}
\end{center}


\subsection{Vektorgeometrie}

Man normiert einen Vektor, d.h. $|\vect{e}_v | = 1$, wie folgt: \eqbox{$\vect{e}_v = \dfrac{\vect{v}}{| \vect{v} |}$} \medskip

Trick in 2D: Orthogonaler Vektor zu einem Vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ ist $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$. \medskip

Verbindungsvektor zwischen 2 Punkten: \eqbox{$\vect{r}_{OA} = \vect{r}_A - \vect{r}_O$}
\vfill



\subsection{Analysis}

Konvention: \,
\begin{tabular}{l l} 
	$y'(x) = y'$     & Ableitung nach $x$ \\
	$y'(t) = \dot y$ & Ableitung nach $t$ \\ 
\end{tabular} \medskip

Kettenregel: \eqbox{$[g(f(x))]' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$} \medskip

Ist $\dot{y}$ abhängig von $x(t)$: \eqbox{$\dot{y} = \dfrac{dy(t)}{dt} = \dfrac{dy(t)}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dy(t)}{dx} \cdot \dot{x}$}


\section{Kinematik}


\subsection{Bahnkurve}

Die Parametrisierung der Lage eines Punktes nach Zeit:

\begin{center}
	Formell: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 \quad t \mapsto \vect{r}(t)$ wobei $\vect{r}(t) = \begin{pmatrix}x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$
\end{center}


\subsection{Geschwindigkeit und Schnelligkeit (in kart. Koordinaten)}

Die Geschwindigkeit beschreibt, wie sich der Ortsvektor ändert:

\begin{center}
	$\vect{v}(t) := \dfrac{d \vect{r}(t)}{d t} = \lim\limits_{dt \to 0} \dfrac{\vect{r}(t + dt) - \vect{r}(t)}{dt} = \vect{\dot r}(t) = \begin{pmatrix}\dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix}$
\end{center}

Geometrisch ist es die Tangente zur Bahnkurve. Achtung, die Geschwindigkeit ist \emph{nicht} immer senkrecht zum Ortsvektor (Gegenbsp. Gerade).

\begin{center}
	Schnelligkeit: \eqbox{$v = |\vect{v}| = \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2}$}
\end{center}


\subsection{Zylinderkoordinaten ($\rho, \varphi, z$)} 

\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	\begin{tabular}{r l} \toprule
		Ortsvektor:      & $\vect{r} = \rho \vect{e}_\rho(\varphi) + z \vect{e}_z$                                       \\
		Geschwindigkeit: & $\vect{v} = \dot \rho \vect{e}_\rho + \rho \dot \varphi \vect{e}_\varphi + \dot z \vect{e}_z$ \\
		Schnelligkeit:   & $v = \sqrt{\dot{\rho}^2 + \rho^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2}$                                \\ \bottomrule
	\end{tabular}

	\includegraphics[width=0.30\textwidth]{Figures/KoordinatenSys.jpg}
\end{center}

Transformationsregeln:

\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	\begin{tabular}{r l l l } \toprule
		$Z \to C$ & $x = \rho \cos(\varphi)$  & $y = \rho \sin(\varphi)$       & $z = z$ \\
		$C \to Z$ & $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ & $\varphi = \arctan\frac{y}{x}$ & $z = z$ \\ \bottomrule
	\end{tabular}
\end{center}

Alternativ, Einheitsvektoren transformieren:

\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	\begin{tabular}{r l l} \toprule
		$C \to Z$ & $\vect{e}_\rho = \cos(\varphi)\vect{e}_x + \sin(\varphi)\vect{e}_y$       & $\vect{e}_\varphi = -\sin(\varphi)\vect{e}_x + \cos(\varphi)\vect{e}_y$ \\
		$Z \to C$ & $\vect{e_x} = \cos(\varphi)\vect{e}_\rho - \sin(\varphi)\vect{e}_\varphi$ &
		$\vect{e_y} = \sin(\varphi)\vect{e}_\rho + \cos(\varphi)\vect{e}_\varphi$                                                                                       \\ \bottomrule
	\end{tabular}
\end{center}
\vfill



\subsection{Satz der projizierten Geschwindigkeiten (SdpG)}

Charakterisierung starrer Körper: \eqbox{$\forall P,Q \in SK: |\vect{r}_Q - \vect{r}_P| = \text{const.}$} \medskip

Die Projektionen $\mathbf{v}'_p, \mathbf{v}'_Q$ der Geschwindigkeit von zwei beliebigen Punkten $P, Q$ eines SKs auf ihre Verbindungsgerade sind gleich:

\begin{center}
	\eqboxf{$v'_P = v'_Q  \qquad (\vect{r}_P - \vect{r}_Q)(\vect{v}_P - \vect{v}_Q) = 0$}

	\includegraphics[width=0.15\textwidth]{Figures/SdPG.jpg}
\end{center}


\subsection{Momentane Bewegungsarten eines Starrkörpers}

Solange der Körper \emph{wenigstens} momentan ein SK ist, gilt momentan:

\begin{tabular}{r l} \toprule
	i)   & Starre Bewegung: SdpG immer erfüllt!                                   \\
	ii)  & Translation: $\vect{v}_p = \vect{v} \quad \forall P \in SK$ \quad (Alle Geschw. parallel)            \\
	iii) & Rotation: Starre Bewegung mit ruhender Rotationsachse                  \\
	iv)  & Ebene Bewegung: - Alle $\vect{v}$ sind zur Ebene $E$ parallel.         \\
	     & - Alle $P$ auf einer Normalen zur Ebene $E$ haben gleiches $\vect{v}$. \\ \bottomrule
\end{tabular}

Momentan bedeutet zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ ('Snapshot').


\subsection{Satz vom Momentanzentrum (Rotation)}

Das Momentanzentrum $M$ eines SK ist beim Punkt (kann ausserhalb SK sein), wo momentan $v = 0$ gilt. Die Geschwindigkeit $\vect{v}_P$ eines beliebigen Punktes im SK steht stehts sekrecht auf der Verbindungsgerade mit $M$.

\begin{center}
	\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Figures/Momentanzentrum.jpg}
\end{center}

Jeder SK besitzt ein \emph{eigenes} $M$ und mit eigener Rotationsschnelligkeit $\omega$, welche stehts CCW dreht (Rechte Hand Regel).

\begin{center}
	\eqboxf{$\vect{v}_P = \vect{\omega} \times \vect{r}_P \qquad (\text{2D}: v_P = \omega \cdot r_P)$}
\end{center}

Die \emph{Rotationsachse} ist eine Gerade in Richtung der Rotationsgeschwindigkeit $\vect{\omega}$, auf welcher alle Punkte momentan $v = 0$ besitzen.

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	\eqbox{\begin{tabular}{l}
			Parallelogrammregel:                                                         \\
			$\vect{\omega}_2 = \vect{\omega}_4 \qquad \vect{\omega}_1 = \vect{\omega}_3$ \\
		\end{tabular}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Figures/Parallelogramm.jpg}
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.35\linewidth}
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Figures/RollenOhneGleiten.jpg}
\end{minipage} 
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
	\eqbox{\begin{tabular}{l}
			Rollen ohne gleiten:                           \\
			- $\vect{v}_A = 0 \Rightarrow$ Momentanzentrum \\
			- Der Körper \emph{haftet} am Boden            \\
		\end{tabular}}
\end{minipage}
\vfill



\pagebreak



\subsection{Freiheitsgrad (FG)}

Der Freiheitsgrad ist die minimale Anzahl Koordinaten für die eindeutige Bestimmung der Lage eines bestimmten Systems. Ein unbehinderter Starrkörper besitzt in 2D einen FG von 3 und in 3D einen FG von 6.

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.2\linewidth}
		\eqboxf{$f = n - b$} 
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}{0.75\linewidth}
		\begin{tabular}{l}
			$f$: Freiheitsgrad gebundenes System \\
			$n$: Anzahl SK $\cdot$ deren FG (2D: FG 3, 3D: FG 6) \\
			$b$: Anzahl der linear unabhängigen Bindungen    \\
		\end{tabular}
	\end{minipage}
\end{center}


\includegraphics[width=0.32\textwidth]{Figures/FG.jpg} 


\subsection{Kreiselung}

Die Kreiselung ist eine spezielle Starrkörperbewegung, die dadurch charakterisiert ist, dass \emph{nur ein} Punkt des Körpers fixiert bleibt. \medskip

Eine Kreiselung ist \emph{momentan} eine Rotation. 


\subsection{Starrkörperformel und Kinemate}

Für jeden Punkt \emph{innerhalb} einem SK gilt für die Geschwindigkeit: 

\begin{center}
	\eqboxf{$\vect{v}_P = \vect{v}_B + \vect{\omega} \times \vect{r}_{BP} \quad \forall P,B \in SK$} 

	\includegraphics[width=0.20\textwidth]{Figures/SKFormel.jpg}
\end{center} 

Die Kinemate von Punkt $B$ ist \eqboxf{$\{\vect{v}_B,\vect{\omega}\}$} \medskip

Mit den \emph{Invarianten}, d.h. der Wert ist unabhängig vom Punkt im SK: 

\begin{center}
	\eqbox{$\vect{I}_1 = \vect{\omega}$}  und  \eqbox{$I_2 = \vect{v}_P \cdot \vect{\omega}$} \medskip
	
	\begin{tabular}{r l l } \toprule
		Translation: & $\vect{I}_1 = \vect{0}$ und $I_2 = 0$       & $\Rightarrow \vect{\omega} = \vect{0}$                                      \\
		Rotation:    & $\vect{I}_1 \neq \vect{0}$ und $I_2 = 0$    & $\Rightarrow \vect{\omega} \perp \vect{v}_P$ \\
		Schraubung:  & $\vect{I}_1 \neq \vect{0}$ und $I_2 \neq 0$                                                                               \\ \bottomrule
	\end{tabular}
\end{center} 

Alle Punkte auf der \emph{Zentralachse} besitzen die gleiche Geschwindigkeit. 

\begin{center}
	\includegraphics[width=0.1\textwidth]{Figures/Zentralachse.jpg}
\end{center} 
\vfill



\subsection{Kräfte}

Kräfte werden durch einen Vektor dargestellt, welcher einen Angriffspunkt und eine Wirkungslinie besitzt. 

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	\begin{center}
	\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Figures/Kraft.jpg}
\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	Einheit: $[F] = N = \frac{m \cdot kg}{s^2}$
\end{minipage} 

\textbf{Reaktionsprinzip}: Wenn ein Körper $K_1$ eine Kraft auf einen anderen Körper $K_2$ ausübt, dann übt $K_2$ auch auf $K_1$ eine gleich grosse, aber entgegengesetze Kraft aus. \medskip

Kräfte werden \emph{abhängig vom betrachteten System} unterteilt in:

\begin{center}
	\begin{tabular}{r l} \toprule
		\textbf{Äussere Kräfte}: & Reaktionskraft \emph{nicht} im betrachteten System. \\
		\textbf{Innere Kräfte}:  & Reaktionskraft \emph{auch} im betrachteten System.  \\ \bottomrule
	\end{tabular}
\end{center}


\subsection{Leistung}

Die Leistung ist: \eqboxf{$P = \vect{F} \cdot \vect{v}$} \quad Einheit: $[P] = W = \frac{J}{s} = \frac{N \cdot m}{s}$ \medskip

Eine \emph{leistungslose Kraft} ($P = 0$) hat die Eigenschaft $\vect{F} \perp \vect{v}$. 


\subsection{Moment}

Das Moment beschreibt die Drehwirkung einer Kraft $F$ auf einen Körper in einem Punkt $P$ und ist vom Bezugspunkt $O$ abhängig:  

\begin{center}
	\eqboxf{$\vect{M}_O(P) = \vect{r}_{OP} \times \vect{F}_P$} \quad Einheit: $[M] = Nm$

	$F$ darf man auf der Wirkungslinie verschieben!
\end{center} 

Transformationsregel vom Moment: \eqbox{$\vect{M}_B = \vect{M}_O + \vect{r}_{BO} \times \vect{R}$} \medskip

Bei einer reinen Rotation gilt: $P = \vect{M}_O \cdot \vect{\omega}$ 

\begin{center}
	\includegraphics[width=0.32\textwidth]{Figures/2D_Moment.jpg}
\end{center}

Der Betrag von Moment $M_0$ einer Kraft $F$ mit Angriffspunkt $P$ ist: 

\begin{center}
	\eqbox{$|\vect{M}_O| = F \cdot r_{OP} \cdot \sin\gamma = \pm F \cdot d  \qquad  d = | \vect{r}_{OP} \times \vect{e}_{F} |$}

	Wobei $\pm$ durch die Rechte Hand Regel bestimmt wird
\end{center}

Hier bezeichnet $d$ den kürzesten Abstand der Wirkungslinie der Kraft vom Bezugspunkt $O$. Diese Länge nennt man \emph{Hebelarm}. 
\vfill



\subsection{Resultierende}

\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{2}
	\begin{tabular}{r l} \toprule
		Resultierende Kraft: & $\vect{R} = \sum\limits_{i = 1}^n \vect{F}_i$ \\
		Resultierendes Moment: & $\vect{M}_O^{tot} = \sum\limits_{i = 1}^n \vect{M}^i_O$ \\
		Gesamtleistung: & $P_{tot} = \sum\limits_{i = 1}^n P_i = \sum\limits_{i = 1}^n \vect{F}_i \cdot \vect{v}_i$ \\ \bottomrule
	\end{tabular}
\end{center} 

Die Gesamtleistung eines Starrkörpers ist:

\begin{center}
	\eqbox{$P_{tot} = \vect{R} \cdot \vect{v}_B + \vect{M}_B \cdot \vect{\omega}$} 
	
	mit Kinemate $\{ \vect{v}_B, \vect{\omega} \}$ und Dyname $\{\vect{R}, \vect{M}_B \}$
\end{center}
\vfill