
\section{Dynamik}


\subsection{Beschleunigung}

Die Beschleunigung beschreibt, wie sich der Geschwindigkeitsvektor ändert:

\begin{center}
	$\vect{a}(t) := \dfrac{d \vect{v}(t)}{d t} = \lim\limits_{dt \to 0} \dfrac{\vect{v}(t + dt) - \vect{v}(t)}{dt} = \vect{\ddot r}(t) = \begin{pmatrix}\ddot x(t) \\ \ddot y(t) \\ \ddot z(t) \end{pmatrix}$
\end{center}

In Zylinderkoordinaten ist die Beschleunigung:

\begin{center}
	\eqbox{$\vect{a} = \underbrace{(\ddot \rho - \rho \dot\varphi^2)}_{\text{Radiale Beschl.}} \vect{e}_\rho + \underbrace{(2\dot\rho \dot\varphi + \rho \ddot \varphi)}_{\text{Azimutale Beschl.}} \vect{e}_\varphi + \ddot z \vect{e}_z$}
\end{center}


\subsection{Beschleunigte Kreisbewegung}

Für eine Kreisbewegung muss man $r$ konstant halten, d.h. eine nach innen gerichtete radiale Beschleunigung ist notwendig. 

\begin{minipage}{0.35\linewidth}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=1\textwidth]{Figures/Kreisbewegung.jpg}
	\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.60\linewidth}
	\begin{center}
		\eqbox{$\vect{v} = r \dot \varphi \vect{e}_\varphi \qquad \vect{a} = -\underbrace{r \dot\varphi^2}_{a_r} \vect{e}_r + r \ddot \varphi \vect{e}_\varphi$} \medskip

		\eqboxf{$a_r = r \dot \varphi^2 = \dfrac{v^2}{r}$}
	\end{center}
\end{minipage}






\subsection{Impulssatz}

Der Impuls eines Massenpunktes: \eqbox{$\vect{P}(t) = m(t) \cdot \vect{v}(t)$} \medskip

\begin{center}
	\eqboxf{$\dfrac{d\vect{P}}{dt} = \dot{\vect{P}} = \vect{R}$ \qquad Falls $m(t) = m \,\,\, \forall t$: $m \cdot \vect{a} = \vect{R}$}

	wobei $\vect{R}$ die Resultierende der äusseren Kräfte ist
\end{center}

Um die Lösung der Bewegungsdifferentialgleichung eindeutig festzulegen, benötigt man noch die Anfangsbedingungen:

\begin{center}
	\eqbox{$\vect{x}(0) = \vect{x}_0$ \quad und \quad $\vect{\dot x}(0) = \vect{v_0}$}
\end{center}

Für die Geschwindigkeit (bzw. Ortsvektor) integriert man die Beschleunigung (bzw. Geschwindigkeit) zwischen null und einem beliebigen Zeitpunkt $t$.


\subsection{Mathematisches Pendel}

Annahmen: Undehnbares und massenloses Seil, ebene Bewegung ohne Reibung.

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.35\linewidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Figures/MathPendel.jpg}
		\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.60\linewidth}
		Homogene lineare DGL 2ter Ordnung:

		\begin{center}
			\eqbox{$\ddot \varphi + \underbrace{\dfrac{g}{l}}_{=\omega^2} \overbrace{\varphi}^{\approx \, \sin\varphi} = 0$}

			unter der Annahme $\varphi << 1: \varphi \approx \sin\varphi$
		\end{center}
	\end{minipage}
\end{center}
\vfill \null
\columnbreak


\subsection{Federschwinger}

Eine lineare Feder übt bei einer Verlängerung um $\delta l$ aus der ungespannten Lage eine Kraft von folgendem Betrag aus:

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.4\linewidth}
		\begin{center}
			\eqbox{$|F| = c \,|\delta l|$} ($\delta l = x - l$)

			\begin{small} wobei $c$ die Federkonstante ist \end{small}
		\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.58\linewidth}
		\begin{tabular}{l}
			$\delta l > 0$: Feder zieht am Körper       \\
			$\delta l < 0$: Feder drückt auf den Körper \\
		\end{tabular}
	\end{minipage}
\end{center}

Annahme: Der Massenpunkt $m$ gleitet reibungsfrei.

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.4\linewidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[width=1\textwidth]{Figures/Federschwinger.jpg}
		\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.58\linewidth}
		Inhomogene lineare DGL 2ter Ordnung:

		\begin{center}
			\eqbox{$\ddot x + \underbrace{\dfrac{c}{m}}_{\omega^2} x = \underbrace{\dfrac{c}{m}}_{\omega^2} l$}
		\end{center}
	\end{minipage}
\end{center}


\subsection{Lineare DGLs 2ter Ordnung}

Bei harmonischen Schwingungen (Mathematische Pendel, Federschwinger, \dots) ist die homogene Lösung folgende Linearkombination:

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		Homogene DGL 2ter Ordnung:
	
		\begin{center}
			\eqbox{$\ddot x + a \dot x + b x(t) = 0$} 
		\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\begin{center}
			\eqboxf{$x_h(t) = C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)$}
		\end{center}
	\end{minipage}
\end{center}

Bei inhomogenen DGL, d.h. es gibt eine Störfunktion $g(t)$, gilt:

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		Inhomogene DGL 2ter Ordnung:
	
		\begin{center}
			\eqbox{$\ddot x + a \dot x + b x(t) = g(t)$} 
		\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		\begin{center}
			\eqbox{$x(t) = x_h(t) + x_p(t)$}
		\end{center}
	\end{minipage}
\end{center} 
 
Die partikuläre Lösung $x_p(t)$ der DGL ist abhängig von der Störfunktion $g(t)$. Hier sind es (nur?) Polynomfunktionen von Grad 0. Lösungansatz:

\begin{center}
	$x_p(t) = \begin{cases}
			P_n(t)           & \text{falls } b \neq 0        \\
			x \cdot P_n(t)   & \text{falls } a \neq 0, b = 0 \\
			x^2 \cdot P_n(t) & \text{falls } a = b = 0       \\
		\end{cases}$ \quad [$P_n(t)$ gleicher Grad wie $g(t)$]
\end{center}

\begin{tabular}{r l}
	i)   & $P_n, \dot P_n, \ddot P_n$ für $x, \dot x, \ddot x$ in die DGL einsetzen \\
	ii)  & Koeffizientenvergleich mit der Störfunktion $g(t)$                       \\
	iii) & $x_p(t) = P_n$ mit den herausgefunden Koeffizienten                      \\
\end{tabular} \medskip

Eine \textbf{gekoppelte DGL}, d.h. die Gleichung ist abhängig von zwei Funktionen, ist unmöglich zu lösen. In einem solchen Fall muss man sie zuerst entkoppeln, indem man eine neue Funktion einführt, welche eine linearkombination der ursprünglichen zwei Funktionen ist. 


\subsection{Eigenschaften der Harmonischen Schwingungen}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
	\begin{tabular}{r l} \toprule
		A,B      & Amplitude      \\
		$\omega$ & Kreisfrequenz  \\
		T        & Periode     \\ \bottomrule
	\end{tabular} wobei \eqbox{$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
	\begin{center}
			\includegraphics[width=1\textwidth]{Figures/Harmonisch.jpg}
	\end{center}
\end{minipage}
\vfill \null
\columnbreak

\subsection{Prinzip der virtuellen Leistungen}

Trägheitskraft bei homogener Beschleunigung: \eqbox{$\vect{F}^T = m \vect{a}$} \medskip

Die Gesamtleistung aller wirklichen Kräfte und aller (für die Beschleunigungen der wirklichen Bewegung berechneten) Trägheitskräfte verschwindet für jeden virtuellen Bewegungszustand. 

\begin{center}
	\eqboxf{{$\tilde{P}^{i} + \tilde{P}^{a} + \underbrace{\tilde{P}^{T}}_{\vect{F}^T \vect{\tilde{v}}} = 0 \quad \forall \{\tilde{\vect{v}}\}$}} 
\end{center}

Das PdvL gilt auch für Mehrkörpersysteme!


\subsection{Kinematische Relationen} 

Gibt es mehr Koordinaten als Freiheitsgrade, so sind diese voneinander abhängig. Der Freiheitsgrad ist die Anzahl der Minimalkoordinaten, die nötig sind, um die Lage des Systems eindeutig zu beschreiben. \medskip

Die Kinematischen Relationen erstellt man in solchen Fällen durch Anwendung der Gesetze der Kinematik. 


\subsection{Massenmittelpunktsatz}

Bei einem Körper/System gilt: 

\begin{center}
	$m \cdot \ddot{\vect{r}}_C = \vect{R} \Rightarrow$ \eqboxf{$m \cdot \vect{a}_C = \vect{R}$}

	wobei $\vect{a}_C$ die Beschleunigung im Schwerpunkt des Körpers ist
\end{center}


\subsection{Drallsatz für inertialen Punkt $O$}

Drall eines Körpers bezüglich einem Festpunkt $O$ (Punkt $O$ ist in Ruhe):

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Figures/Drall.jpg}
	\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		\begin{center}
			\eqbox{$\vect{L}_O = \displaystyle\iiint \vect{r}_{OP} \times \vect{v} \d m$}
		\end{center}
	\end{minipage}
\end{center}

Drallsatz für einen Starrkörper: \quad \eqboxf{$\dot{\vect{L}}_O = \vect{M}_O$} 


\subsection{Drallsatz für körperfesten Punkt $C$}

Oft ist es praktisch den Drall bezüglich Schwerpunkt $C$ anzuwenden: 

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Figures/Drall2.jpg}
	\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		\begin{center}
			\eqbox{$\vect{L}_C = \displaystyle\iiint \vect{r}' \times \vect{v}' \d m$}
		\end{center}
	\end{minipage}
\end{center}

Drallsatz bezüglich dem Schwerpunkt $C$: \quad \eqboxf{$\dot{\vect{L}}_C = \vect{M}_C$} \medskip

Transformationsformel des Dralls: 

\begin{center}
	\eqbox{$\vect{L}_O = \vect{r}_{OC} \times \vect{P} + \vect{L}_C$} 
\end{center}
\vfill\null
\columnbreak


\subsection{Physikalischer Pendel}

Annahmen: Gelenk reibungsfrei, Starrer Stab und Masse homogen verteilt. 

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.35\linewidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/PhysPendel.jpg}
		\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.60\linewidth}
		Homogene lineare DGL 2ter Ordnung:

		\begin{center}
			\eqbox{$\ddot \varphi + \underbrace{\dfrac{3g}{2l}}_{=\omega^2} \overbrace{\varphi}^{\approx \, \sin\varphi} = 0$}

			unter der Annahme $\varphi << 1: \varphi \approx \sin\varphi$
		\end{center}
	\end{minipage}
\end{center} 


\subsection{Ebene Kinetik}

Das Massenträgheitsmoment gibt an, wie ''schwer'' es ist, den Körper um den Punkt zu drehen. 

\begin{center}
	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		$O$ ist ein Fixpunkt: 

		\begin{center}
			Trägheitsmoment: \eqbox{$I_O = \displaystyle \iint r^2 \d m$} \medskip

			\eqboxf{$\vect{L}_O = \omega \, I_O \, \vect{e}_z$} 

			$\dot{\vect{L}}_O = I_O \dot \omega = I_O \ddot \varphi$
		\end{center}
	\end{minipage}
	\vline \qquad
	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		$C$ ist der Schwerpunkt: 

		\begin{center}
			Trägheitsmoment: \eqbox{$I_C = \displaystyle \iint r'^2 \d m$} \medskip

			\eqboxf{$\vect{L}_C = \omega \, I_C \, \vect{e}_z$}

			$\dot{\vect{L}}_C = I_C \dot \omega = I_C \ddot \varphi$
		\end{center}
		\vfill
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Satz von Steiner}

\begin{center}
	\eqboxf{$I_O = mr^2_{OC} + I_C$}
\end{center}

\begin{center}
	\begin{tabular}{r l l} \toprule
		Massepunkt & $I_C = 0$ & $I_O = m L^2$ \\
		Stange & $I_C = \dfrac{1}{12} m L^2$ & $I_O = \dfrac{1}{3} m L^2$ \\
		Gleichmässige Scheibe & $I_C = m \dfrac{R^2}{2}$ & $I_O = \dfrac{3}{2} m R^2$ \\
		Kreisring & $I_C = m R^2$ & $I_O = 2 mR^2$ \\ \bottomrule
	\end{tabular} \medskip

	\includegraphics[width=1\linewidth]{Figures/Steiner.jpg}
\end{center}
\vfill\null
\columnbreak 