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%Laplace Operator
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\begin{document}

\setcounter{secnumdepth}{0} %no enumeration of sections
\begin{multicols*}{3}
    \begin{center}
        \Large{Komplexe Analysis} \\
        \tiny{von P.Bölsterli, Fehler bitte an \href{mailto:pbolsterli@student.ethz.ch}{pbolsterli@student.ethz.ch}}
    \end{center} 


    \section{Komplexe Zahlen}


    \subsection{Normalform}

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathbb{C} := \{a + i b: a,b \in \mathbb{R}\}$} wobei \eqboxf{$i = \sqrt{-1}$}
    \end{center}

    Sei $z \in \mathbb{C}$ mit $z = a + ib$. Es gelten folgende Rechenregel:

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
        \begin{tabular}{r l} \toprule
            Realteil             & $\Re{z} = a = \dfrac{z + \overline{z}}{2}$                                                                                    \\
            Imaginärteil         & $\Im{z} = b = \dfrac{z - \overline{z}}{2i}$                                                                                   \\ \midrule
            Komplexe Konjugation & $\overline{z} = a - ib$                                                                                                       \\
                                 & $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$, \, $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ \\ \midrule
            Addition             & $z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)$                                                                                      \\
            Multiplikation       & $z_1 \cdot z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_2 b_1 + a_1 b_2)$                                                                  \\
            Division             & $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}}$                                               \\ \midrule
            Dreiecksungleichung  & $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$                                                                                              \\ \midrule
            Absolutbetrag        & $| z | = \sqrt{z \overline{z}} = \sqrt{\Re{z}^2 + \Im{z}^2}$                                                                  \\
                                 & $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$                                                                                         \\
            Phase                & $\varphi = \arctan \left( \dfrac{\Im{z}}{\Re{z}} \right)$                                                                     \\ \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}


    \subsection{Eulersche Formel und Eulers Identität}

    \begin{center}
        \begin{minipage}{0.47 \linewidth}
            \begin{center}
                \eqboxf{$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i \sin\varphi$}
            \end{center}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.47 \linewidth}
            \begin{center}
                \eqbox{$e^{i \pi} = -1$} \qquad \eqbox{$e^{2 \pi i} = 1$}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}

    \subsubsection{Trigonometrische- und Hyperbelfunktionen}

    \begin{center}
        \begin{minipage}{0.47 \linewidth}
            \begin{center}
                \begin{tabular}{r l}
                    $\sin(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$ \\
                    \\
                    $\cos(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$  \\
                    \\
                    $\tan(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{\sin(z)}{\cos(z)}$     \\
                \end{tabular}
            \end{center}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.47 \linewidth}
            \begin{center}
                \begin{tabular}{r l}
                    $\sinh(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{e^{z} - e^{-z}}{2}$  \\
                    \\
                    $\cosh(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{e^{z} + e^{-z}}{2}$  \\
                    \\
                    $\tanh(z)$ & \hspace*{-10pt}$= \dfrac{\sinh(z)}{\cosh(z)}$ \\
                \end{tabular}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}


    \subsection{Trigonometrische Funktionen: Wertetabelle}

    Die Sinus- und Cosninusfunktionen sind beide $2\pi$-periodisch.

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
        \begin{tabular}{r c c c c c} \toprule
            deg/rad & 0$^\circ$/0 & 30$^\circ$/$\frac{\pi}{6}$ & $45^\circ$/$\frac{\pi}{4}$ & 60$^\circ$/$\frac{\pi}{3}$ & 90$^\circ$/$\frac{\pi}{2}$ \\ \midrule
            sin     & $0$         & $\frac{\sqrt{1}}{2}$       & $\frac{\sqrt{2}}{2}$       & $\frac{\sqrt{3}}{2}$       & $1$                        \\
            cos     & $1$         & $\frac{\sqrt{3}}{2}$       & $\frac{\sqrt{2}}{2}$       & $\frac{\sqrt{1}}{2}$       & $0$                        \\
            tan     & $0$         & $\frac{\sqrt{3}}{3}$       & $1$                        & $\sqrt{3}$                 & -                          \\ \bottomrule
        \end{tabular}
        \begin{tabular}{r c c c c} \toprule
            deg/rad & 120$^\circ$/$\frac{2\pi}{3}$ & 135$^\circ$/$\frac{3\pi}{4}$ & $150^\circ$/$\frac{5\pi}{6}$ & 180$^\circ$/$\pi$ \\ \midrule
            sin     & $\frac{\sqrt{3}}{2}$         & $\frac{\sqrt{2}}{2}$         & $\frac{1}{2}$                & $0$               \\
            cos     & $- \frac{1}{2}$              & $- \frac{\sqrt{2}}{2}$       & $- \frac{\sqrt{3}}{2}$       & $-1$              \\
            tan     & $-\sqrt{3}$                  & $\frac{\sqrt{3}}{3}$         & $-\frac{\sqrt{3}}{3}$        & $0$               \\ \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}


    \subsection{Polarform}

    \begin{center}
        \begin{minipage}{0.47 \linewidth}
            \begin{center}
                \includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Euler.jpg}
            \end{center}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.47 \linewidth}
            \begin{center}
                Die Polarform lautet: \medskip

                \eqbox{ \begin{tabular}{r l}
                        $z$ & \hspace*{-10pt}$= |z| \cdot e^{i\varphi}$                  \\
                            & \hspace*{-10pt}$= |z| \cdot (\cos\varphi + i \sin\varphi)$ \\
                    \end{tabular}
                }
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}

    Die Exponentialfunktion ist $2\pi i$-periodisch, deswegen wird definiert:

    \begin{center}
        \begin{tabular}{r l} \toprule
            Argument               & $\arg{z} = \{\varphi + 2 k \pi , k \in \mathbb
            {Z}\}$                                                                  \\
            Hauptwert des Argument & $\Arg{z} = \varphi \in (-\pi, \pi]$            \\ \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}

    \subsubsection{Rechenregeln in der Polarform (Exponentialform)}

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
        \begin{tabular}{r l} \toprule
            Realteil                          & $\Re{z} = \cos(\varphi)$                                                                                               \\
            Imaginärteil                      & $\Im{z} = \sin(\varphi)$                                                                                               \\ \midrule
            Komplex Konjugation               & \hspace*{-10pt} $\overline{z} = | z | e^{-i\varphi} = |z| \cdot (\cos\varphi - i\sin\varphi)$                          \\ \midrule
            Multiplikation                    & \hspace*{-10pt} $z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$                                         \\
            Division                          & \hspace*{-10pt} $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \cdot e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$                           \\ \midrule
            Potenzieren                       & \hspace*{-10pt} $(|z|e^{i\varphi})^n = |z|^n \cdot e^{i (n \cdot \varphi)}$                                            \\
            n-te Wurzel                       & \hspace*{-10pt} $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \cdot e^{i(\frac{\varphi}{n} + \frac{2 \pi k}{n})}, \, k = 0, \dots, n-1$ \\ \midrule
            Logarithmus                       & \hspace*{-10pt} $\log(z) = \log|z| + i (\varphi + 2 \pi k)$                                                            \\
            Hauptwert des Log                 & \hspace*{-10pt} $\Log{z} = \log|z| + i \varphi$                                                                        \\ \midrule
            Potenzen mit $z,w \in \mathbb{C}$ & \hspace*{-10pt} $z^w := e^{w \cdot \log(z)}$                                                                           \\
            Hauptwert der Potenz              & \hspace*{-10pt} $p.v.(z^w) = e^{w \cdot \Log{z}}$                                                                      \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}

    Logarithmusgesetze gelten \textbf{nicht} beim komplexwertigen Logarithmus!


    \subsection{Komplexe Folgen und Reihen}

    Sei eine komplexe Folge ($z_n = x_n + i y_n$). Der Grenzwert existiert, wenn

    \begin{center}
        \eqbox{$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = y \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} z_n = x + iy$}
    \end{center}

    Absoluten Konvergenz gilt auch für komplexwertige Reihen, \emph{solange man den komplexen Absolutbetrag nimmt}.


    \subsection{Offene Kreisscheibe}

    Die offene Kreisscheibe mit Zentrum $z_0 \in \C$ und Radius $r \in \R^+$ ist:

    \begin{center}
        \begin{minipage}{0.45 \linewidth}
            \begin{center}
                \includegraphics[width=0.7\linewidth]{Bilder/Kreisscheibe.jpg}
            \end{center}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.52 \linewidth}
            \begin{center}
                \eqboxf{$B(z_0,r) := \{z \in \mathbb{C}: |z - z_0| < r\}$}
            \end{center}

            Sei $z_0 = x_0 + i \, y_0$. Dann ist eine äquivalente Kreisgleichung:

            \begin{center}
                $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Fundamentalsatz der Algebra}

    Jedes Polynom vom Grad $g$ hat genau $g$ Nullstellen. Falls ein Polynom eine komplexe Nullstelle $z_0$ besitzt, dann ist $\overline{z_0}$ auch eine Nullstelle.

    \subsubsection{Mitternachtsformel}

    Die Nullstellen eines Polynom zweiter Ordnung ($az^2 + b z + c = 0$) sind:

    \begin{center}
        \eqbox{$z_\pm = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{-b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2 - 4 ac}{4a^2}}$}
    \end{center}


    \subsubsection{Binomische Formeln}

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
        \begin{tabular}{r l}
            $z^2 = (a + ib)^2$ & $= a^2 - b^2 + i2ab$                       \\
            $z^3 = (a + ib)^3$ & $= a^3 - 3ab^2 + i(3a^2 b - b^3)$          \\
            $z^4 = (a + ib)^4$ & $= a^4 - 6a^2b^2 + b^4 + i(4a^3b - 4ab^3)$ \\
        \end{tabular}
    \end{center}


    \subsection{Grenzwert einer Funktion}

    Sei $f: U \setminus \{z_0\} \to \C$ eine Funktion, wobei $U \subset \C$ und $z_0 \in U$. Der Grenzwert von $f(z_0)$ ist $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = a$, falls

    \begin{center}
        \eqbox{$\forall \epsilon > 0 \,\, \exists \delta > 0, \text{ s.d. } \forall z \in U: |z - z_0| < \delta \Rightarrow \,  |f(z) - a| < \epsilon$}
    \end{center}

    Bemerkung: Sei $a = a_1 + i a_2 \in \C$. Dann gilt

    \begin{center}
        $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = a \Leftrightarrow \left(\lim\limits_{z \to z_0} \Re{f(z)} = a_1\right) \land \left(\lim\limits_{z \to z_0} \Im{f(z)} = a_2\right)$
    \end{center}


    \subsection{Stetigkeit}

    Sei eine offene Menge $U \in \mathbb{C}$ und $f: U \to \mathbb{C}$. $f(z)$ ist stetig im Punkt $z_0 \in U$, genau dann wenn

    \begin{center}
        \eqbox{$\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$}
    \end{center}

    $f(z)$ ist auf $U$ stetig, falls $f(z)$ an jeder Stelle $z_0 \in U$ stetig ist.

    \begin{center}
        \begin{tabular}{r p{0.87\linewidth}} \toprule
            i)   & \hspace*{-10pt} Summe, Differenz und Produkt stetiger Funktionen sind stetig.                                \\
            ii)  & \hspace*{-10pt} Komposition von stetigen Funktionen ist stetig.                                              \\
            iii) & \hspace*{-10pt} Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn sowohl Realteil als auch Imaginärteil stetig sind. \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}


    \subsection{Zeigen von Stetigkeit}

    Falls $f$ an der Stelle $z_0$ stetig ist, gilt $\forall w \in \C$: $\lim\limits_{t \to 0} f(z_0 + t w) = f(z_0)$

    Mit dem Kontrapositiv zeigt man oft, dass $f$ an $z_0$ nicht stetig ist:

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.125}
        \eqbox{\begin{tabular}{r p{0.8\linewidth}}
                i)  & \hspace*{-10pt} Um zu zeigen, dass $f$ an der Stelle $z_0$ nicht stetig ist, muss man eine Richtung finden, in der $f$ nicht stetig ist.                                                                                      \\
                    & \hspace*{-10pt} Oder man muss zwei Richtungen finden, auf denen die Grenzwerte unterschiedlich sind.                                                                                                                          \\
                ii) & \hspace*{-10pt} Um die Stetigkeit einer Funktion an Stelle $z_0$ zu zeigen, benutzt man oft die Polarkoordinanten $z = r e^{it}$. Falls $\lim\limits_{r \to r_0}$ unabhängig von $t$ existiert, dann ist $f$ stetig in $z_0$. \\
            \end{tabular}}
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak



    \section{$\C$-Differenzierbarkeit und Holomorph}

    Man kann eine komplexwertige Funktion als zwei reellwertige Funktionen darstellen:

    \begin{center}
        \eqbox{$f(z) = f(x + i\, y) = u(x,y) + i \, v(x,y)$}
    \end{center}

    \subsection{$\C$-Differenzierbarkeit}

    Sei eine offene Menge $U \subseteq \mathbb{C}$ und $f: U \to \mathbb{C}$ stetig. $f$ ist $\mathbb{C}$-differenzierbar in $z_0 \in U$ falls folgender Grenzwert existiert:

    \begin{center}
        \eqbox{$\lim\limits_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = f'(z_0)$}
    \end{center}

    Bem: $\R$-Differenzierbarkeit in $z_0$ ist notwendig für $\C$-Differenzierbarkeit.

    \subsubsection{Satz}

    $f(z)$ ist $\C$-differenzierbar $\Rightarrow$ $f(z)$ ist stetig.


    \subsection{Rechenregeln Ableitung}

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
        \begin{tabular}{r l} \toprule
            Linearität:       & $(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'$                                                                               \\
            Produktregel:     & $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$                                                                                     \\
            Quotientenregel:  & $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$                                                          \\
            Kettenregel:      & $(f(g(z)))' = f'(g(z)) \cdot g'(z)$                                                                                          \\
            Potenzreihen (*): & $\displaystyle\left(\sum\limits_{n = 0}^\infty c_n(z - z_0)^n\right)' = \sum\limits_{n = 0}^\infty n \, c_n (z-z_0)^{n - 1}$ \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}

    Bem (*): Potenzreihen nur innerhalb Konvergenzradius differenzierbar!


    \subsection{Partielle Ableitung}

    Partielle Ableitung von $f(z)$ nach $x$ an der Stelle $x_0, y_0$:

    \begin{center}
        \eqbox{$\dfrac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x} = \partial_x f = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0,y_0)}{h}$}
    \end{center}

    Partielle Ableitung nach $y$ an der Stelle $x_0, y_0$:

    \begin{center}
        \eqbox{$\dfrac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y} = \partial_y f = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0,y_0)}{h}$}
    \end{center}


    \subsection{Holomorph}

    Sei eine offene Menge $U \subseteq \C$ und $f: U \to \mathbb{C}$.
    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
        \begin{tabular}{r p{0.85\linewidth}} \toprule
            i)   & \hspace*{-10pt} $f$ heisst holomorph auf $U$, falls sie auf $U$ $\mathbb{C}$-differenzierbar ist.                                      \\
            ii)  & \hspace*{-10pt} $f$ heisst holomorph in $z_0$, falls $f$ holomorph in einer offenen Menge $U_1 \ni z_0$ ist.                           \\
            iii) & \hspace*{-10pt} Eine holomorphe Funktion ist beliebig oft $\mathbb{C}$-differenzierbar und lässt sich als eine Potenzreihe entwickeln. \\
            iv)  & \hspace*{-10pt} Eine \emph{ganze Funktion} ist eine Funktion, die auf $\C$ holomorph ist.                                              \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}

    Bem: Falls die Funktion $\overline{z}$ enthält, ist die Funktion \textbf{nie} holomorph.
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Cauchy-Riemann Gleichungen (CRG)}

    Sei $f: U \to \mathbb{C}$ holomorph und $f(x + iy) = u(x,y) + i v(x,y)$. So existieren die partiellen Ableitungen an jeder Stelle $z_0 \in U$ und erfüllen die CRG:

    \begin{center}
        \eqboxf{$\partial_x u (x_0, y_0) = \partial_y v(x_0, y_0) \quad \partial_y u(x_0, y_0) = - \partial_x v(x_0, y_0)$}
    \end{center}


    \subsubsection{Kriterium für $\C$-Differenzierbarkeit}

    Sei $f: U \to \C$ und sei $z_0 \in U$. Wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

    \begin{center}
        \eqboxf{\begin{tabular}{r p{0.84\linewidth}}
                1) & \hspace*{-10pt} $\partial_x u, \partial_y u, \partial_x v, \partial_y v$ existieren in einer offenen Menge um $z_0$.         \\
                2) & \hspace*{-10pt} $\partial_x u, \partial_y u, \partial_x v, \partial_y v$ sind stetig in $z_0$ und erfüllen die CRG in $z_0$. \\
            \end{tabular}}
    \end{center}

    Dann existiert $f'(z_0)$, d.h. $f$ ist $\C$-differenzierbar in $z_0$.


    \subsubsection{Konsequenzen der CRG}

    Sei $f,g: B(z_0,r) \to \C$ holomorph für $z_0 \in \C$ und $r > 0$.

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
        \begin{tabular}{r l} \toprule
            i)   & \hspace*{-10pt} Falls $\Re{f} = u$ konstant ist, dann ist $f$ auch konstant.           \\
            ii)  & \hspace*{-10pt} Sei $\Re{f} = \Re{g}$. Dann gilt $f = g + ic$ wobei $c \in \R$.        \\
            iii) & \hspace*{-10pt} Falls $\overline{f}: B(z_0,r) \to \C$ holomorph ist, ist $f$ konstant. \\
            iv)  & \hspace*{-10pt} Falls $|f(z)|$ konstant ist, ist $f(z)$ konstant.                      \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}

    Sei $f: U \to \C$ holomorph. Dann gelten folgende Gleichungen

    \begin{center}
        \eqbox{$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \quad \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$}
    \end{center}


    \subsection{Harmonische Funktionen}

    Eine Funktion $g: U \to \R$ heisst \emph{harmonisch} auf $U$, wenn $U \subset \R^2$ und

    \begin{center}
        \eqbox{$\dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 0$}
    \end{center}


    \section{Kurvenintegral}

    Sei $f: [a,b] \to \C$. So gilt: \eqbox{$\int\limits_a^b f(t) dt := \int\limits_a^b \Re{f(t)}dt + i \cdot \int\limits_a^b \Im{f(t)}dt$}


    \subsection{Pfade}

    Ein Pfad ist eine stetige Abbildung $\gamma:[a,b] \to \C$. Eigenschaften:

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
        \begin{tabular}{r p{0.85\linewidth}} \toprule
            i)   & \hspace*{-10pt} Ein Pfad ist \emph{einfach}, falls aus $\gamma(t_1) = \gamma(t_2)$ folgt, dass $t_1 = t_2$ oder $\{t_1,t_2\} = \{a,b\}$. (Pfad ohne Selbstschnittpunkte) \\
            ii)  & \hspace*{-10pt} Falls $\gamma(a) = \gamma(b)$ heisst der Pfad \emph{geschlossen}.                                                                                        \\

            iii) & Der Pfad ist differenzierbar auf $(a,b)$, wenn $\gamma'(t)$ für jedes $t \in (a,b)$ existiert. $\gamma'(t_0)$ heisst Tangentialvektor.                                   \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}


    \subsubsection{Parametrisierung}

    Gerade von $a$ nach $b$: \eqbox{$\gamma(t) = (1-t) \cdot a + t \cdot b, \, t \in [0,1]$} \medskip

    Kreis mit Zentrum $z_0$ und Radius $r$ im positiven Sinne/positive Umlaufrichtung (Gegenuhrzeigersinn): \eqbox{$\gamma(t) = z_0 + r \cdot e^{2\pi i t}, \, t \in [0,1]$}
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Kurvenintegral}

    Sei $U \subseteq \C$ offen, $f: U \to \C$ stetig und sei $\gamma: [0,1] \to U$ ein stückweise stetig differenzierbarer Pfad. Das Kurvenintegral von $f$ entlang $\gamma$ ist

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle\int_{\gamma} f(z) dz := \int\limits_0^1 f(\gamma(t)) \cdot \dot \gamma(t) dt$}
    \end{center}


    \subsection{Homotopie}

    Sei $U \subseteq \C$ offen und $\gamma, \delta: [a,b] \to U$ zwei Pfade mit $\gamma(a) = \delta(a) = \alpha \in \C$ und $\gamma(b) = \delta(b) = \beta \in \C$. Man sagt $\gamma$ ist \emph{homotop} zu $\delta$, falls


    \begin{center}
        \begin{minipage}{0.59\linewidth}
            i) $H: [0,1] \times [a,b] \to U$ stückweise \textbf{stetig} \medskip

            ii) $\forall t \in [a,b]: \begin{cases}
                    H(0,t) = \gamma(t) \\
                    H(1,t) = \delta(t) \\
                \end{cases}$\medskip

            iii) $\forall s \in [a,b]: \begin{cases}
                    H(s,0) = \alpha \\
                    H(s,1) = \beta  \\
                \end{cases}$
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.4\linewidth}
            \begin{center}
                \includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Homotopie.jpg}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}

    Die Funktion $H$ ist die sogenannte \emph{Homotopie} von $\gamma$ und $\delta$.

    \begin{center}
        Parametrisierung durch $s$: $H(s,t) = (1 - s) \cdot \gamma(t) + s \cdot \delta(t)$
    \end{center}


    \subsection{Wegzusammenhängend}

    Eine Menge $U$ heisst \emph{wegzusammenhängend}, falls es für jedes Paar $z_1, z_2 \in U$ einen Pfad $\gamma(t)$ gibt, der die zwei Punkte verbindet.


    \subsection{Einfach zusammenhängend}

    Eine Teilmenge $U \subseteq \C$ heisst \emph{einfach zusammenhängend}, falls sie \emph{wegzusammenhängend} ist und für alle $\alpha, \beta \in U$ alle Pfade von $\alpha$ nach $\beta$ \emph{homotop} zu einander sind.


    \subsection{Hauptsatz der komplexen Integralrechnung}

    Sei $U \subseteq \C$ eine offene \emph{wegzusammenhängende} Menge, $f: U \to \C$ stetig und $\gamma:[0,1] \to U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
        \begin{tabular}{r p{0.85\linewidth}} \toprule
                              & \hspace*{-10pt} Für jede geschlossene Kurve $\gamma(t): [0,1] \to U$ gilt $\int_\gamma f(z) dz = 0$.
            \\
            $\Leftrightarrow$ & \hspace*{-10pt} Das Kurvenintegral $\int_\gamma f(z)dz$ ist unabhängig vom Pfad.
            \\
            $\Leftrightarrow$ & \hspace*{-10pt} Es gibt eine $\C$-diffbare Funktion $F: U \to \C$ mit $F'(z) = f(z)$
            \\
            $\Leftrightarrow$ & \hspace*{-10pt} $F$ ist eine Stammfunktion von $f$ und

            \begin{center}
                \eqbox{$\displaystyle \int_\gamma f(z) dz = F(\gamma(1)) - F(\gamma(0))$}
            \end{center}
            \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}

    Bem: Eine Stammfunktion ist eindeutig bis auf eine Konstante $c \in \C$.


    \subsubsection{Integralsatz von Cauchy}

    Sei $U \subseteq \C$ eine \emph{einfache zusammenhängende} offene Teilmenge und $f: U \to \C$ eine \emph{holomorphe} Funktion. Dann gilt:

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.125}
        \eqboxf{\begin{tabular}{C{0.8\linewidth}}
                $f$ besitzt eine Stammfunktion $F$ und die dazu äquivalenten Eigenschaften. \\
            \end{tabular}}
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Eigenschaften des Kurvenintegrals}

    Für KI1-KI4: Sei $\gamma: [0,1] \to U$ ein Pfad und $f: U \to \C$ stetig. Zusätzlich für KI5-KI7: Sei $U \subset \C$ eine offene wegzusammenhängende Menge. \medskip

    KI1 (Linearität): Seien $\alpha, \beta \in \C$. Es gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \int_\gamma [\alpha f(z) + \beta g(z)] dz = \alpha \int_\gamma f(z) dz + \beta \int_\gamma g(z) dz$}
    \end{center}

    KI2 (Umkehrrichtung): Sei $\delta: [0,1] \to U$ mit $\delta(t) := \gamma(1 - t)$. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \int_\delta f(z)dz = - \int_\gamma f(z)dz$}
    \end{center}

    und man schreibt $\delta = \gamma^{-1}$ oder $\delta = -\gamma$. \medskip

    KI3 (Verkettung): Sei $\delta: [0,1]$ ein Pfad mit $\gamma(1) = \delta(0)$. Dann ist

    \begin{center}
        \eqbox{$\gamma * \delta (t) := \begin{cases}
                    y(2t)          & t \in [0, \frac{1}{2}] \\
                    \delta(2t - 1) & t \in (\frac{1}{2}, 1] \\
                \end{cases}$}
    \end{center}

    die Verkettung \textbf{und} es gilt $\displaystyle \int_{\gamma * \delta} f(z) dz = \int_\gamma f(z) dz + \int_\delta f(z) dz$. \medskip

    KI4 (Unabhängigkeit der Parametrisierung): Sei $\delta:[0,1] \to U$ eine andere Parametrisierung des Bildes von $\gamma$. Dann gilt:

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \int_\delta f(z)  dz = \int_\gamma f(z) dz$}
    \end{center}

    KI5 (Cauchy Schwarz): Sei $\gamma:[a,b] \to U$ ein Pfad. Es gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \left| \int\limits_a^b f(\gamma(t)) \cdot \dot \gamma(t) dt \right| \leq \int\limits_a^b \left| f(\gamma(t)) \cdot \dot \gamma(t) \right| dt$}
    \end{center}

    KI6 (Standardabschätzung): Sei $L(\gamma) := \int\limits_a^b |\dot\gamma(t)| dt$ die Länge vom Pfad $\gamma$. Wenn $|f(z)| \leq M$ für jedes $z \in U$ gilt, dann folgt

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \left| \int\limits_\gamma f(z) dz \right| \leq M \cdot L$ \quad wobei $M = \max\limits_{t \in [a,b]} |f(\gamma(t))| < \infty$}
    \end{center}

    KI7 a) Seien $\gamma, \delta$ zwei \emph{einfach geschlossene} gleich orientierte Kurven und sei $U$ die Menge, die die äussere Kurve umschliesst. Dann

    \begin{center}
        \eqbox{$f: U \to \C$ holomorph $\displaystyle\Rightarrow \int_\gamma f(z) dz = \int_\delta f(z) dz$}
    \end{center}

    KI7 b) Sei $\delta \subseteq U$ eine geschlossene Kurve, die in ihrem Inneren nur Punkte enthält, wo $f$ holomorph ist, dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \int_\delta f(z) dz = 0$}
    \end{center}


    \subsection{Cauchy Integralformel}

    Sei $U \subseteq \C$ eine einfach zusammenhängende offene Menge und $z_0 \in U$. Sei $\gamma: [0,1] \to U \setminus \{z_0\}$ ein Pfad, der $z_0$ einmal im positivem Sinne umläuft. Sei $f: U \to \C$ holomorph. Dann gilt:

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle\int_\gamma \dfrac{g(z)}{z - z_0} dz = 2\pi i \cdot g(z_0)$}
    \end{center}

    Wobei $z_0$ eine Singularität der Menge $U$ ist und $g(z) = f(z) \cdot z - z_0$.


    \subsubsection{Allgemeine Cauchy Integralformel}

    Sei $U \subseteq \C$ eine einfach zusammenhängende offene Menge und $z_0 \in U$. Sei $f:U \to \C$ holomorph und $\gamma:[0,1] \to U \setminus \{z_0\}$  ein Pfad, der $z_0 \in U$ einmal im positivem Sinne umläuft. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle\int_\gamma \dfrac{g(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz = \dfrac{2 \pi i}{n!} g^{(n)}(z_0)$}
    \end{center}

    wobei $g^{(n)}$ die n-te Ableitung ist und $g(z) = f(z) \cdot (z - z_0)^{n+1}$


    \subsubsection{Korollar}

    Sei $f$ holomorph, dann sind alle Ableitungen $f^{(n)}$ auch holomorph und $u:=\Re{f}$, $v:= \Im{f}$ besitzen unendlich viele partielle Ableitungen.


    \subsection{Windungszahl}

    Die Windungszahl $W(\gamma, z_k)$ einer Kurve $\gamma$ um einen Punkt $z_k$ sagt aus, wie oft sich $\gamma$ um $z_k$ im \emph{positivem Sinne} dreht. Es gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle\int_{\gamma} f(z) dz = \sum\limits_k^n W(\gamma, z_k) \cdot \int_{\gamma_k} f(z) dz$}
    \end{center}

    wobei $\gamma_k$ ein Pfad ist, der nur die Singularität $z_k$ umkreist.


    \subsection{Der Mittelwertsatz}

    Sei $U \subset \C$ eine offene Menge und $f: U \to \C$ holomorph (bzw. \emph{harmonisch}). Seien $z_0 \in U$ und $r > 0$ s.d. $\overline{B(z_0,r)} \subseteq U$. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$f(z_0) = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi} f(\underbrace{z_0 + r e^{2 \pi i t}}_{= \partial B(z_0,r)}) dt$}
    \end{center}

    Jeder Punkt von $u(x,y), v(x,y)$ ist ein Mittelwert von der umgebenden Kreisscheibe $B(z_0, r)$.

    \subsubsection{Lemma}

    Sei $f:B(z_0,r) \to \C$ holomorph. Falls für jedes $z \in B(z_0,r)$ gilt

    \begin{center}
        $|f(z)| \leq |\underbrace{f(z_o)}_{\text{Mittelwert}}| \quad \Rightarrow f(z) = const. = f(z_0)$
    \end{center}

    In Worten: Falls der Mittelwert der grösste Wert auf der Kreisscheibe ist, dann muss die $f(z)$ konstant sein.
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Maximum Modulus Prinzip}

    Sei $U$ eine wegzusammenhängende Menge. Sei $f: U \to \C$ holomorph und \emph{nicht konstant}. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$|f(z)|$ besitzt sein Maximum auf $\partial U$ (Rand von $U$)}
    \end{center}


    \subsubsection{Korollar}

    Sei $f$ eine nicht konstante und stetige Funktion auf einer kompakten Menge $K$, die holomorph auf dem Inneren von $K$ ist.

    \begin{center}
        \eqboxf{$\Rightarrow \max\limits_{z \in K} |f(z)|$ wird auf $\partial K$ erreicht.}
    \end{center}


    \subsubsection{Maximum bestimmen auf einer Kreisscheibe}

    \begin{enumerate}
        \item Bedingungen überprüfen (Holomorph und Wegzusammenhängend).
        \item Man trifft folgende Vereinfachung (dann nur eine 1D-Optimisierung!):
              \begin{center}
                  $\max\limits_{z \in B(0,R)} | f(z) | \Rightarrow \max\limits_{\varphi \in [0, 2\pi)} | f(R \, e^{i\varphi}) |$
              \end{center}
        \item Bestimmen der Kandidaten für ein Maximum:
              \begin{enumerate}
                  \item Die Ableitung $\frac{d}{dx} | f(R \, e^{i\varphi}) |$ berechnen.
                  \item Ableitung = 0 setzen: $0 = \frac{d}{dx} | f(R \, e^{i\varphi}) |$
              \end{enumerate}
        \item Die Kandidaten einsetzen in $|f(z)|$ um Maximum (theoretisch auch Minimum) zu bestimmen. Durch Einsetzen in $R e^{i \varphi}$ kann man den Punkt $z_0$ bestimmen.
    \end{enumerate}


    \subsection{Satz von Liouville}

    Sei $f: \C \to \C$ beschränkt und eine \emph{ganze} Funktion $\Rightarrow f$ konstant. \medskip

    Bemerkung: Dieser Satz gilt \emph{nicht} für $f: \R^n \to \R$.
    \vfill\null


    \subsection{Tipps }

    Bei nicht geschlossenen Kurvenintegralen von Funktionen mit Singularitäten ist KI4 nützlich in Kombination mit der Cauchy Integralformel.

    \vfill\null
    \columnbreak


    \section{Reihenentwicklungen}


    \subsection{Potenzreihen}

    Potenzreihen sind Reihen der folgenden Form:

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \dots = \sum\limits_{n = 0}^\infty c_n z^n$}
    \end{center}

    \subsubsection{Konvergenzradius}

    Der Konvergenzradius $R \geq 0$ von Potenzreihen ist

    \begin{center}
        \eqboxf{$R:= \dfrac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}$} $\begin{cases}
                |z| < R    & \text{konvergiert absolut}                   \\
                |z| > R    & \text{divergiert}                            \\
                R = \infty & \text{konvergiert } \forall z \in \mathbb{C} \\
            \end{cases}$
    \end{center}

    mit dem Wurzelkriterium und mit dem Quotientenkriterium ist es:

    \begin{center}
        $R:= \dfrac{1}{\lim\limits_{n \to \infty}\vert \dfrac{c_{n + 1}}{c_n} \vert} \begin{cases}
                |z| < R    & \text{konvergiert absolut}                   \\
                |z| > R    & \text{divergiert}                            \\
                R = \infty & \text{konvergiert } \forall z \in \mathbb{C} \\
            \end{cases}$
    \end{center}

    \emph{Das Quotientenkriterium gilt zu vermeiden}, wenn der Koeffizient $c_n$ auf zwei oder mehr Arten definiert ist. \medskip

    Innerhalb vom Konvergenzradius darf man stetige Funktionen austauschen!


    \subsubsection{Analytische Funktionen}

    Eine Funktion heisst \textbf{analytisch} (impliziert holomorph), falls sie sich durch eine Potenzreihe darstellen lässt. \medskip

    Eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$ definiert eine analytische Funktion auf der offenen Kreisscheibe $\Omega := \{ z \in \C; |z| < R\}$:

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle f: \Omega \to \mathbb{C} \qquad f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty c_n z^n$}
    \end{center}


    \subsubsection{Wichtige Potenzreihen}

    Folgende Funktionen besitzen für alle $z \in \C$ konvergente Potenzreihen:

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
        \begin{minipage}{0.47 \linewidth}
            \begin{center}
                \begin{tabular}{r l}
                    $\exp(z)$ & \hspace*{-10pt}$ := \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{z^n}{n!}$                 \\
                    $\sin(z)$ & \hspace*{-10pt}$:= \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n \dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ \\
                    $\cos(z)$ & \hspace*{-10pt}$:= \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}$     \\
                \end{tabular}
            \end{center}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.47 \linewidth}
            \begin{center}
                \begin{tabular}{r l}
                    $\sinh(z)$ & \hspace*{-10pt}$:= \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ \\
                    $\cosh(z)$ & \hspace*{-10pt}$:= \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}$     \\
                \end{tabular}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}


    \subsection{Geometrische Reihe}

    Die Geometrische Reihe ist für $|z| < 1$ konvergent und es gilt:

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^\infty z^k = \dfrac{1}{1-z}$} \qquad\qquad $\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^n z^k = \dfrac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}$
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Taylorreihe}

    Sei $f:B(z_0,R_0) \to \C$ holomorph und $R_0 > 0$. Dann besitzt $f(z)$ für jedes $z \in B(z_0,R_0)$ eine Taylorreihe:

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{1}{n!} f^{(n)}(z_0) (z- z_0)^n$}
    \end{center}

    Insbesondere konvergiert die Reihe absolut $\forall z \in B(z_0,R_0)$.


    \subsubsection{MacLaurin-Reihe}

    Falls $z_0 = 0$, dann heisst es MacLaurin-Reihe und es gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{1}{n!} f^{(n)}(0) (z)^n$}
    \end{center}


    \subsection{Laurent-Reihe}

    Sei $f$ holomorph auf dem Kreisring $r < |z - z_0| < R$ und $\gamma$ eine geschlossene Kurve, die im Kreisring enthalten ist und $z_0$ einmal im positivem Sinn umläuft. Dann besitzt $f$ für jedes $z$ im Kreisring eine Laurent-Reihe:

    \begin{center}
        \begin{minipage}{0.74 \linewidth}
            \begin{center}
                \eqboxf{$\displaystyle f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a^n (z - z_0)^n + \sum\limits_{n = 1}^\infty b_n \dfrac{1}{(z - z_0)^n}$} \medskip

                $\displaystyle a_n = \dfrac{1}{2 \pi i} \displaystyle\int_\gamma \dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz$ \medskip

                $\displaystyle b_n = \dfrac{1}{2 \pi i} \displaystyle\int_\gamma \dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{-n+1}} dz$
            \end{center}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.25 \linewidth}
            \begin{center}
                \includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Laurent_series.png}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}

    Man kann die Laurent-Reihe auch kompakter schreiben:

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle f(z) = \sum\limits_{n = - \infty}^\infty c_n (z - z_0)^n$ mit $\displaystyle c_n = \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_\gamma \dfrac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}} d z$}
    \end{center}


    \subsubsection{Entwickeln einer Laurent-Reihe}

    Zuerst die rationale Funktion durch Partialbruchzerlegung zerlegen, dann eine Fallunterscheidung je nach Singularität des Einzelbruchs: \medskip

    i) Singularität ist \textbf{ausserhalb} vom Kreisring:

    \begin{center}
        Gesuchte Form: $\displaystyle \dfrac{1}{1 - \frac{z}{a}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty \dfrac{z^k}{a^k}, \text{konvergent für } | z | < a$
    \end{center}

    ii) Singularität ist \textbf{umschlossen} vom Kreisring:

    \begin{center}
        Gesuchte Form: $\displaystyle \dfrac{1}{1 - \frac{b}{z}} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{b^n}{z^n}, \text{ konvergent für } \left| \frac{b}{z} \right| < 1 \Leftrightarrow |z| > |b|$
    \end{center}

    \subsubsection{Kreisring mit verschobenem Zentrum $w_0$}

    Ist das Gebiet $r < | z - w_0 | < R$, dann Substitution $u = z - w_0$ benutzen!
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Singularität}

    Sei $f$ nicht holomorph in $z_0$. Falls $f$ holomorph in mindestens einem Punkt in \emph{irgendeiner} möglichen Kreisscheibe $B(z_0, \epsilon)$ ist, heisst $z_0$ eine \emph{Singularität}.

    \subsubsection{Isolierte Singularität}

    Eine Singularität heisst isoliert, falls es ein $\epsilon > 0$ gibt, so dass $f(z)$ auf $B(z_0, \epsilon) \setminus \{z_0\}$ holomorph ist.

    \subsubsection{Klassifizierungen}

    Sei $U \subseteq \C$ offen und $z_0 \in U$, und sei $f$ holomorph auf $U \setminus \{z_0\}$. So besitzt $f$ eine Laurententwicklung auf $U \setminus \{z_0\}$.

    Sei $c_k = 0$ für alle $k < n$ und $c_n \neq 0$. Dann gilt:

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
        \begin{tabular}{r p{0.85\linewidth}} \toprule
            i)   & \hspace*{-10pt} $0 < n \Rightarrow z_0$ ist eine \emph{Nullstelle n-ter Ordnung}.
            \\
            ii)  & \hspace*{-10pt} $n = 0 \Rightarrow z_0$ ist eine \emph{hebbare Singularität}.                                                         \\
            iii) & \hspace*{-10pt} $n < 0 \Rightarrow z_0$ ist ein \emph{Pol n-ter Ordnung}.                                                             \\
            iv)  & \hspace*{-10pt} Falls für alle $c_k = 0$ ein $c_m \neq 0$ mit $m < k$ existiert, dann ist $z_0$ eine \emph{wesentliche Singularität}. \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}

    \begin{center}
        \includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Singularitaet.png}
    \end{center}


    \subsection{Hebbarkeitsatz von Riemann}

    Sei $z_0$ eine isolierte Singularität von $f: U \setminus \{z_0\} \to \C$. Es ist äquivalent:

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
        \begin{tabular}{r p{0.8\linewidth}} \toprule
                              & \hspace*{-10pt} $z_0$ ist eine hebbare Singularität von $f$.                                          \\
            $\Leftrightarrow$ & \hspace*{-10pt} $\lim\limits_{z \to z_0} f(z)$ existiert in $\C$ (holomorph fortsetzbar in $z_0$)     \\
            $\Leftrightarrow$ & \hspace*{-10pt} $f$ ist auf einer punktierten Scheibe $B(z_0,\epsilon) \setminus \{z_0\}$ beschränkt. \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}


    \subsection{Meromorph}

    Eine holomorphe Funktion auf $U \setminus \{z_0, \dots, z_N\}$ heisst \emph{meromorph} auf $U$, falls $z_0, \dots, z_N$ Pole oder hebbare Singularitäten sind.


    \subsection{Satz von Picard}

    Sei $z_0$ eine wesentliche Singularität von $f(z)$. In jeder noch so kleinen punktierten Scheibe $B(z_0, \epsilon) \setminus \{z_0\}$ nimmt $f(z)$ jeden Wert in $\C$, bis auf höchstens eine Ausnahme, unendlich oft an.
    \vfill\null
    \columnbreak


    \section{Der Residuensatz}


    \subsection{Das Residuum}

    Sei $z_0$ eine isolierte Singularität von $f$. Man nennt den Koeffizient $c_{-1}$ der Laurent-Reihe, das \emph{Residuum} von $f$ an der Stelle $z_0$.

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \Res{f, z_0}:= c_{-1} = \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_\gamma f(\xi) d \xi$}
    \end{center}


    \subsection{Der Residuensatz}

    Sei $U \subset \C$ eine offene wegzusammenhängende Menge, $\gamma \subset U$ eine positiv orientierte geschlossene Kurve die $z_1, \dots, z_n \in U$ mit der jeweiligen Windungszahl $W(\gamma,z_k)$ umschliesst. Sei $f: U \setminus \{z_1, \dots, z_n\} \to \C$ holomorph. Dann gilt:

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle\int\limits_\gamma f(z) dz = 2 \pi i \sum\limits_{k = 1}^n W(\gamma,z_k) \cdot \Res{f,z_k}$}
    \end{center}


    \subsection{Polstellen}

    Sei $z_0$ eine isolierte Singularität von $f(z)$. Die Stelle $z_0$ ist ein Pol der Ordnung $m \geq 1$ genau dann, wenn es eine in der Umgebung von $z_0$ holomorphe Funktion $\phi$ gibt, mit

    \begin{center}
        \eqbox{$f(z) = \dfrac{\phi(z)}{(z - z_0)^m}$ wobei $\phi(z_0) \neq 0$} \medskip

        Bzw: \eqboxf{$\phi(z_0) = \lim\limits_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z) \neq 0$}
    \end{center}

    Ist $\phi(z_0) = 0$, dann muss man über die Laurententwicklung gehen.

    \subsubsection{Korollar}

    Falls $z_0$ ein Pol der Ordnung $m$ der Funktion $f$ ist, gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\Res{f, z_0} = \dfrac{\phi^{(m - 1)}(z_0)}{(m - 1)!}$} \medskip

        Bzw: \eqboxf{$\Res{f, z_0} = \dfrac{1}{(m-1)!} \lim\limits_{z \to z_0} \dfrac{d^{(m-1)}}{dz^{m-1}}\left[(z - z_0)^m f(z)\right]$}
    \end{center}


    \subsection{Nullstellen}

    Sei $f: U \to \C$ holomorph an der Stelle $z_0 \in U$. $f$ hat in $z_0$ eine Nullstelle der Ordnung $m$ genau dann, wenn es ein $g: U \to \C$ holomorph gibt, mit

    \begin{center}
        \eqbox{$f(z) = (z - z_0)^m g(z)$ wobei $g(z_0) \neq 0$}
    \end{center}

    \subsubsection{Korollar}

    Seien $p(z),q(z)$ holomorph an der Stelle $z_0$ mit $p(z_0) \neq 0$ und sei $z_0$ eine Nullstelle der Ordnung $m$ für $q(z)$.

    \begin{center}
        \eqbox{$\Rightarrow z_0$ ein Pol der Ordnung $m$ für $\dfrac{p(z)}{q(z)}$}
    \end{center}

    Bem: Nützlicher Alternativer Weg zur Ermittlung der Ordnung vom Pol in $z_0 = 0$ von Termen mit bekannten Potenzreihen ($\exp, \sin, \cos$).
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Anwendung: Bedingungen unter denen $f(z) \equiv 0$}

    \subsubsection{Lemma}

    Sei $f: B(z_0, \epsilon) \to \C$ holomorph und $f(z_0) = 0$. Dann ist entweder $f(z) \equiv 0 \,\, \forall z \in B(z_0, \epsilon)$ oder $z_0$ ist eine isolierte Nullstelle von $f$.

    \subsubsection{Satz}

    Sei $U$ wegzusammenhängend und $f: U  \to \C$ holomorph. Falls $f(z) \equiv 0$ auf einer offenen Menge oder Geradenstrecke ist, dann ist $f \equiv 0$ auf $U$.

    \subsubsection{Identitätsprinzip für holomorphe Funktionen}

    Sei $U \subseteq \C$ offen und seien $f,g: U \to \C$ holomorph. Falls $f(z) = g(z)$ auf einer offenen Menge oder Geradenstrecke in $U$, dann gilt $f(z) \equiv g(z)$.


    \subsection{Eigentliche Integrale mit Sinus und Cosinus}

    Die Strategie ist es das reelle Integral in ein Kurvenintegral zu wandeln und dieses mit dem Residuensatz zu lösen.

    Sei ein Pfad $\gamma(t) = e^{it}$ mit $t \in [0, 2\pi]$, so dass $\dot \gamma(t) = i e^{i t} dt$ ist, dann erhaltet man mit der Substitution $z = e^{it}$:

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle\int\limits_0^{2\pi} F(cos(t),sin(t)) dt = \int\limits_\gamma F(\dfrac{z + z^{-1}}{2}, \dfrac{z - z^{-1}}{2i}) \dfrac{dz}{i z}$}
    \end{center}


    \subsection{Anwendung: Uneigentliche Integrale}

    Das Uneigentliche Integral ist, wie folgt definiert:

    \begin{center}
        $\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) dx = \lim\limits_{R \to \infty} \int\limits_{-R}^0 f(x) dx + \lim\limits_{R \to \infty} \int\limits_{0}^R f(x) dx$
    \end{center}

    Sei $\gamma_R = R e^{i \pi t}$ und $\gamma_{[-R,R]} = 2 R t - R$ mit $t \in [0,1]$. Die Idee ist es alle Pole in der oberen Halbebene über die geschlossene Kurve $\gamma_R * \gamma_{[-R,R]}$ zu integrieren und den Residuensatz zu verwenden:

    \begin{center}
        \begin{minipage}{0.70\linewidth}
            \begin{center}
                $\displaystyle \lim\limits_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} f(x) dx + \int\limits_{-R}^R f(x) dx = 2 \pi i \sum\limits_{k = 1}^n \Res{f, z_k}$
            \end{center}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.29\linewidth}
            \begin{center}
                \includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/UneigentlicheIntegrale.png}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}

    Ist $\lim\limits_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} f(x) dx = 0$ so vereinfacht sich das Kurvenintegral zu:

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle \lim\limits_{R \to \infty} \int\limits_{-R}^R f(z) dz = P.V. \int\limits_{-\infty}^\infty f(z) dz = 2\pi i \sum\limits_{\Im{z_k} > 0} \Res{f, z_k}$}
    \end{center}

    wobei $z_k$ alle Polstellen in der oberen Halbebene sind ($\Im{z_k} > 0$).

    \subsubsection{Bemerkung: Gerade Funktionen}

    Für gerade Funktionen ($f(x) = f(-x)$) gilt ausserdem immer:

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle P.V. \int\limits_{-\infty}^\infty f(z) dz = 2 \cdot \int\limits_{0}^\infty f(x) dx$}
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsubsection{Lemma}

    Sei $f(z):= \dfrac{p(z)}{q(z)} h(z)$ mit den Polynomen $p(z), q(z)$. Wenn folgendes gilt:

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.1}
        \begin{tabular}{r l} \toprule
            1. & $\deg(p) + 2 \leq \deg(q)$                                 \\
            2. & $q(z)$ hat keine Nullstellen auf der Reellen Achse.        \\
            3. & $|h(z)|$ ist auf $\{z \in \C; \Im{z} \geq 0\}$ beschränkt. \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}

    Dann ist die Vorraussetzung $\displaystyle \lim\limits_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} f(z) dz = 0$ erfüllt. \medskip

    Wenn $|h(z)|$ auf $\{z \in \C: \Im{z} \leq 0\}$ beschränkt ist, dann gilt:

    \begin{center}
        \begin{minipage}{0.69\linewidth}
            \begin{center}
                \eqbox{$\displaystyle P.V. \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) dx = - 2\pi i \sum\limits_{\Im{z_j} < 0} \Res{f, z_j}$}
            \end{center}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.3\linewidth}
            \begin{center}
                \includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/UneigentlicheIntegrale2.png}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}

    Bem: Falls $q(z)$ eine Nullstelle auf der Reellen Achse besitzt, muss man ein Kurvenintegral anschauen, welches nur einen einzigen Pol umschliesst (Kurve der Form eines Kreiskegel zum Beispiel).


    \subsubsection{Uneigentliche Integrale mit Sinus und Cosinus}

    Die Idee ist folgende Gleichung mit dem oberen Lemma anzuwenden:

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty g(x) \cos(\alpha x) dx + i \int\limits_{-\infty}^\infty g(x) \sin(\alpha x) dx = \int\limits_{-\infty}^\infty g(x) e^{i \alpha x} dx$}
    \end{center}

    Dabei ist $f(z) := \dfrac{p(z)}{q(z)} h(z)$ mit: $h(z) = e^{i \alpha x}$ und $g(x) = \dfrac{p(z)}{q(z)}$. \medskip

    Mit der Fallunterscheidung für $|h(z)|$ kommt man dann auf folgendes:

    \begin{center}
        $\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty g(x) \cos(\alpha x) dx = \begin{cases}
                \text{Re}\left(2\pi i \sum\limits_{\Im{z_j} > 0} \Res{f(z), z_j}\right)  & , \alpha > 0 \\
                \text{Re}\left(-2\pi i \sum\limits_{\Im{z_j} < 0} \Res{f(z), z_j}\right) & , \alpha < 0 \\
            \end{cases}$ \medskip

        $\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty g(x) \sin(\alpha x) dx = \begin{cases}
                \text{Im}\left(2\pi i \sum\limits_{\Im{z_j} > 0} \Res{f(z), z_j}\right)  & , \alpha > 0 \\
                \text{Im}\left(-2\pi i \sum\limits_{\Im{z_j} < 0} \Res{f(z), z_j}\right) & , \alpha < 0 \\
            \end{cases}$
    \end{center}

    \subsubsection{Ergänzung zum Verfahren}

    Vorgehen um zu zeigen, dass $\displaystyle \lim\limits_{R \to \infty} \int_{\gamma_[-R,R]} f(z) dz = \lim\limits_{R \to \infty} \int\limits_{-R}^R f(x) dx$:

    \begin{enumerate}
        \item Kurvenintegral aufstellen für $\gamma_{[-R,R]} = 2 R t - R$ mit $t \in [0,1]$.
        \item Substitutionregel anwenden mit $x = 2Rt - R$.
    \end{enumerate}

    \vfill\null
    \pagebreak

    \section{Fourier Analysis}

    \subsection{Periodische Funktionen}

    Sei $h: \R \to \C$. $h$ ist periodisch, falls es ein $T \in \R$ gibt, sodass

    \begin{center}
        \eqbox{$h(t + T) = h(t) \quad \forall t \in \R$}
    \end{center}

    $T$ heisst die Periode von $h$. Die kleinste Periode heisst \emph{Fundamentalperiode}. Die \emph{Frequenz} von $h$ ist $f = \frac{1}{T}$.

    \subsubsection{Bemerkung}

    Die Summe und das Produkt periodischer Funktionen ist genau dann periodisch, wenn alle Perioden ein gemeinsames Vielfaches haben.


    \subsection{Fourierreihe}

    Die Fourierreihe (bzw. trigonometrische Reihe) ist eine Reihe der Form

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle f(t) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos(\frac{2 \pi}{T} n t) + b_n \sin(\frac{2 \pi}{T} n t)\right) = \sum\limits_{n = -\infty}^\infty c_n e^{i \frac{2 \pi}{T} n t}$}
    \end{center}

    mit $a_b, b_n \in \R$ und $c_n \in \C$.


    \subsubsection{Koeffizienten der Fourierreihe}

    Sei $t_0$ der Startzeitpunkt der Periode $T$ und $n \in \N$. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle a_n = \dfrac{2}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T} f(t) \cos(\dfrac{2 \pi}{T} n t) \, dt$}
        \eqboxf{$\displaystyle b_n = \dfrac{2}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T} f(t) \sin(\dfrac{2 \pi}{T} n t) \, dt$} \medskip

        \eqboxf{$\displaystyle a_0 = \dfrac{1}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T} f(t) \, dt$} \qquad\quad
        \eqbox{$\displaystyle c_n = \dfrac{1}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T} f(t) \exp(-i \dfrac{2 \pi}{T} n t) \, dt$}
    \end{center}


    \subsubsection{Symmetrieeigenschaften}

    Falls $f(t)$ \textbf{gerade} ist, dann gilt:

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle a_n = \dfrac{4}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T/2} f(t) \cos(\dfrac{2 \pi}{T} n t) \, dt$ \qquad $b_n = 0$}
    \end{center}

    Falls $f(t)$ \textbf{ungerade} ist, dann gilt:

    \begin{center}
        \eqbox{$a_n = 0$ \qquad $\displaystyle b_n = \dfrac{4}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T/2} f(t) \sin(\dfrac{2 \pi}{T} n t) \, dt$}
    \end{center}

    \subsubsection{Koeffizientenumrechnung}

    \begin{center}
        \begin{minipage}{0.49\linewidth}
            \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
            \begin{center}
                \begin{tabular}{r l}
                    $c_{-n}$ & \hspace*{-12pt} $= \frac{1}{2}(a_n + i b_n)$ \\
                    $c_0$    & \hspace*{-12pt} $= a_0$                      \\
                    $c_{n}$  & \hspace*{-12pt} $= \frac{1}{2}(a_n - i b_n)$ \\
                \end{tabular}
            \end{center}
            \renewcommand{\arraystretch}{1}
        \end{minipage} \vline
        \begin{minipage}{0.49\linewidth}
            \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
            \begin{tabular}{r l}
                $a_0$ & \hspace*{-12pt} $= c_0$             \\
                $a_n$ & \hspace*{-12pt} $= c_n + c_{-n}$    \\
                $b_n$ & \hspace*{-12pt} $= i(c_n - c_{-n})$ \\
            \end{tabular}
            \renewcommand{\arraystretch}{1}
        \end{minipage}
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsubsection{Begriffe}

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
        \begin{tabular}{R{0.5\linewidth} l}
            Mittelwert von $f$ auf einer Periode:            & $a_0$                                                             \\
            1. Harmonische oder 1. Grundschwingung:          & $a_1 \cos(\dfrac{2 \pi}{T} t) + b_1 \sin(\dfrac{2 \pi}{T} t)$     \\
            $n$-te Harmonische oder $n-1$-te Oberschwingung: & $a_n \cos(\dfrac{2 \pi}{T} n t) + b_n \sin(\dfrac{2 \pi}{T} n t)$ \\
        \end{tabular}
    \end{center}


    \subsection{Satz von Dirichlet}

    Sei $f$ eine $2L$-periodische Funktion auf $[-L,L]$. Sei $f$ stückweise stetig und es existiert eine linke und rechte Ableitung an \emph{jedem Punkt} in $[-L,L]$. Dann ist die Fourierreihe von $f$ auf $[-L,L]$ \emph{konvergent} und

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \sum\limits_{n = -\infty}^\infty c_n e^{i \frac{n \pi}{L} t} = \begin{cases}
                    f(t) & f \text{ ist stetig} \\ \frac{1}{2} \left(f(t^-) + f(t^+)\right) & f \text{ ist nicht stetig} \\
                \end{cases}$}
    \end{center}

    wobei $f(t^-) := \lim\limits_{t \to t^-_0} f(t)$ und $f(t^+) := \lim\limits_{t \to t^+_0} f(t)$.


    \subsection{Trigonometrisches Polynom}

    Ein trigonometrisches Polynom $N$-ten Grades ist

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle f(t) \approx a_0 + \sum\limits_{n = 1}^N \left(a_n \cos(\frac{2 \pi}{T} n t) + b_n \sin(\frac{2 \pi}{T} n t)\right) = \sum\limits_{n = -N}^N c_n e^{i \frac{2 \pi}{T} n t}$}
    \end{center}

    \subsubsection{Gibbsches Phänomen}

    In der Nähe einer Sprungstelle treten immer Überschwingungen ('Gibbs tower') auf. Die Höhe der Überschwingungen wird \emph{immer} etwa $18\%$ der Sprunghälfte betragen:

    \begin{center}
        \eqbox{$\sup\limits_{t \in [-L,L]} | f(t) - s_N(t) | \approx 0.18 \cdot \frac{1}{2} \left(f(t^-) + f(t^+)\right)$}
    \end{center}

    Gibbs tower verschwinden erst bei unendlich vielen Termen (Punktweise Konvergenz), sie nähern sich mit mehr Termen nur der Sprungstelle an.


    \subsubsection{Beste Approximation}

    Das trigonometrische Polynom vom Grad $N$, welches am besten eine $2\pi$-periodische Funktion $f$ auf dem Intervall $[-\pi,\pi]$ approximiert, ist die partielle Summe $s_N$ der Fourierreihe von $f$. Der kleinste quadratischen Fehler $E^*_N(f)$ ist

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle E^*_N(f) := \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi |f(t)|^2 \, dt - \frac{1}{2}\left( a_0^2 + \sum\limits_{n = 1}^N (a_n^2 + b_n^2)\right)$}
    \end{center}

    wobei $E^*_N(f)$ monoton abnimmt mit zunehmendem $N$.


    \subsection{Satz von Parseval}

    Die ''Energie'' vom Signal ist in Zeit- und Frequenzbereich gleich:

    \begin{center}
        \eqbox{$\hspace*{-1.5pt}\displaystyle |f(t)|^2 = \frac{1}{T} \int\limits_{t_0}^{t_0 + T} |f(t)|^2 \, dt = \sum\limits_{n = -\infty}^\infty |c_n|^2 = a_0^2 + \frac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^\infty (|a_n|^2 + |b_n|^2)\hspace*{-1.5pt}$}
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Sonstiges}

    \subsubsection{Gerade und ungerade Funktionen}

    Eine Funktion $f(t)$ heisst:

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
        \begin{tabular}{l} \toprule
            i) \emph{gerade} falls $f(t) = f(-t)$ (Symmetrisch zur $y$-Achse).   \\
            ii) \emph{ungerade} falls $f(t) = -f(-t)$ (Punktsymm. zum Ursprung). \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}

    Es gelten die folgenden Eigenschaften: \medskip

    - Das Produkt zweier geraden oder ungeraden Funktionen ist gerade.

    - Das Produkt einer geraden und ungeraden Funktion ist ungerade.

    - Falls $g(t)$ gerade ist, gilt $\int\limits_{t_0}^{t_0 + T} g(t) dt = 2 \int\limits_{t_0}^{t_0 + T/2} g(t) dt$.

    - Falls $g(t)$ ungerade ist, gilt $\int\limits_{t_0}^{t_0 + T} g(t) dt = 0$.


    \subsubsection{Orthonormalitätsrelationen}

    Seien $n, m \in \Z$. Dann gilt

    \begin{center}
        \begin{tabular}{r l} \toprule
            i) & $\dfrac{1}{2T} \int\limits_{-T}^T e^{i \frac{n \pi}{T} t} \, e^{-i \frac{m \pi}{T} t} dt =
            \begin{cases}
                    1 & n = m \\ 0 & n \neq m \\
                \end{cases}$                                                                       \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}

    Seien $n, m \in \N_0$. Dann gilt

    \begin{center}
        \begin{tabular}{r l} \toprule
            i)   & $\displaystyle\int\limits_{-T}^T \cos(\dfrac{n \pi}{T}t) \cos(\dfrac{m \pi}{T} t) dt =
            \begin{cases}
                    0 & n \neq m \\ T & n = m \neq 0 \\ 2T & n = m = 0 \\
                \end{cases}$                                                               \\
            ii)  & $\displaystyle\int\limits_{-T}^T \sin(\dfrac{n \pi}{T}t) \sin(\dfrac{m \pi}{T} t) dt =
                \begin{cases}
                    0 & n \neq m \\ T & n = m \neq 0 \\
                \end{cases}$
            \\
            iii) & $\displaystyle\int\limits_{-T}^T \cos(\dfrac{n \pi}{T}t) \sin(\dfrac{m \pi}{T} t) dt = 0, \, \forall n,m$ \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}


    \subsection{Tipps/Ergänzungen aus Serien}

    Die Fourierreihe eines Terms der Form $\sin(t)^a \cos(t)^b$ berechnet man am schnellsten, indem man $\sin(t) = \dfrac{e^{it} - e^{-it}}{2i}$ und $\cos(t) = \dfrac{e^{it} + e^{-it}}{2}$ benutzt. \medskip

    Sei $f(x) = \sum\limits_{k = -\infty}^\infty c_k e^{i k x}$ eine Fourierreihe mit $c_k = c_{-k}$ und $c_k = \overline{c_k}$. Dann liegt eine Kosinus-Reihe mit reellen Koeffizienten vor. \medskip

    Sei $f(x) = \sum\limits_{k = -\infty}^\infty c_k e^{i k x}$ eine Fourierreihe mit $-c_k = c_{-k}$ und $i c_k \in \R$. Dann liegt eine Sinus-Reihe mit reellen Koeffizienten vor.

    \vfill\null
    \columnbreak


    \section{Fourier-Transformation}

    \subsection{Integraltransformation}

    Eine Integraltransformation ist eine Transformation der Art

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle T f(y) := \int_X K(x,y) f(x) dx$}
    \end{center}

    wobei $f$ eine Funktion auf der Menge $X$ ist und $K$ auf $X \times Y$. Die Funktion $K(x,y)$ heisst der \emph{Kern} der Integraltransformation. \medskip

    Bei der Fourier-Transformation ist $X = \R = Y$ und $K(x,y) = e^{-i x y}$.


    \subsection{Absolut integrierbar}

    Die Funktion $f: \R \to \C$ heisst \emph{absolut integrierbar}, falls

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)| dt < \infty$}$ \qquad \left(\Rightarrow \lim\limits_{t \to \pm \infty} f(t) = 0 \right)$
    \end{center}


    \subsection{Fourier-Transformation}

    Sei $f: \R \to \C$ absolut integrierbar. Die \emph{Fourier Transformation} $\hat{f}$ ist

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle \hat{f}(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} (\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) \, e^{-i \omega t} \, dt$}
    \end{center}

    \subsubsection{Inverse Fourier-Transformation}

    Sei $\hat{f}$ auch absolut integrierbar. Die \emph{inverse Fourier Transformation} ist

    \begin{center}
        \eqbox{$f(t) = \displaystyle \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}(\omega)\}(t) := \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \hat{f}(\omega) \, e^{i \omega t} \, d\omega$}
    \end{center}

    Bemerkung: Der Faktor $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ kann man bei $\mathcal{F}\{f(t)\}$ weglassen und anstelle diesem bei $\mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}(\omega)\}$ den Faktor $\frac{1}{2 \pi}$ nehmen (vice-versa auch).


    \subsection{Satz von Dirichlet für die Fourier Transformation}

    Sei $f: \R \to \C$ eine \emph{stückweise} stetige absolut integrierbare Funktion, die eine linke und rechte Ableitung an \emph{jedem Punkt} hat. Dann gilt abhängig von der Stetigkeit vom Punkt $t_0 \in \R$:

    \begin{center}
        $f(t) = \begin{cases}
                \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(\nu) e^{-i\omega \nu} \, d\nu\right) e^{-i \omega t} \, dt & f(t_0) \text{ stetig}       \\
                \dfrac{1}{2} \left( \lim\limits_{t \to t^-_0} f(t) + \lim\limits_{t \to t^+_0} f(t) \right)                                                                                 & f(t_0) \text{ nicht stetig} \\
            \end{cases}$
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Satz von Plancherel}

    Sei $f: \R \to \C$ eine absolut integrierbare Funktion deren Fourier-Transformation auch absolut integrierbar ist. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)|^2 dt = \int\limits_{-\infty}^\infty |\mathcal{F}\{f\}(\omega)|^2 d\omega$}
    \end{center}

    Die Physikalische Interpretation ist, dass die Fouriertransformation die Gesamtenergie eines Zeitsignals erhält.


    \subsection{Eigenschaften der Fourier Transformation}

    Seien $f,g: \R \to \C$ (und $\hat{f}, f^{(n)}$) absolut integrierbar. Dann gilt \medskip

    FT1 (Linearität): Für jedes $\alpha, \beta \in \C$ gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{F}\{\alpha f + \beta g\}(\omega) = \alpha \mathcal{F}\{f\}(\omega) + \beta \mathcal{F} \{g\}(\omega)$}
    \end{center}

    FT2 (Verschiebung in der t-Variable): Sei $\alpha \in \R$. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{F}\{f(t - a)\}(\omega) = e^{-i \omega a} \cdot \mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)$}
    \end{center}

    FT3 (Verschiebung in der $\omega$-Variabel): Sei $a \in \R$. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{F}\{e^{i a t} f(t)\}(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\}(\omega - a)$}
    \end{center}

    FT4 (Streckung) Sei $a \in \R$. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{F}\{f(at)\} (\omega) = \dfrac{1}{|a|} \cdot \mathcal{F}\{f(t)\} \left(\dfrac{\omega}{a}\right)$}
    \end{center}

    FT5 (Fouriertransformierte einer Fouriertransform) Es gilt:

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{F}\{\mathcal{F} \{ f(t) \} \} = f(-t)$}
    \end{center}

    FT6 (Fourier-Transformation der Ableitung $f^{(n)}$) Für $n \in N$ gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{F}\{ f^{(n)} (t)\}(\omega) = (i \omega)^n \cdot \mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)$}
    \end{center}

    FT7 (Ableitung der Fourier-Transformation) Für $n \in N$ gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{F}\{t^n f(t)\}(\omega) = i^n \dfrac{d^n}{d\omega^n} \mathcal{F}\{f(t)\} (\omega)$}
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Faltung}

    Seien $f,g: \R \to \C$ zwei absolut integrierbare Funktionen. Das Faltungsprodukt $f * g$ von $f$ und $g$ ist

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle (f * g)(x) := \int\limits_{-\infty}^\infty f(x - t) g(t) dt = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)g(x-t) dt$}
    \end{center}

    Die Faltung ist ein gewichteter Mittelwert von $f$ mit Gewicht gegeben durch $g$.

    \subsubsection{Bemerkungen}

    i) Falls für jedes $t<0$ $f(t) = 0$ und $g(t) = 0$ gilt, dann folgt

    \begin{center}
        \eqbox{$(f * g)(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t) g(t) dt = \int\limits_{0}^\infty f(x-t) g(t) dt = \int\limits_{0}^x f(x-t) g(t) dt$}
    \end{center}

    wobei die Beschränkungen vom Integral durch die Bedingungen oben gegeben sind. Der erste Schritt folgt durch $g(t) = 0$ und der zweite aus $f(x-t) = 0 \Rightarrow x - t < 0 \Rightarrow x < t$. \medskip

    ii) $f*g$ ist mindestens so glatt, wie die glatteste der beiden Funktionen. Je öfters eine Funktion differenzierbar ist, desto glätter ist sie.

    \subsubsection{Eigenschaften der Faltung}

    Seien $f,g: \R \to \C$ absolut integrierbare Funktionen und $\alpha, \beta \in \C$. Dann

    F1 (Kommutativität) Es gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$f * g = g * f$}
    \end{center}

    F2 (Assoziativität) Es gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$(f * g) * h = f * (g * h)$}
    \end{center}

    F3 (Distributivität) Es gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$(\alpha f + \beta g) * h = \alpha f * h + \beta g * h$}
    \end{center}

    F4 Falls $(T_a f)(x) := f(x - a)$, dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$(T_a f) * g = T_a(f * g)$}
    \end{center}

    F5 (Faltungssatz) Die Fouriertransformation der Faltung ist:

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{F}\{f * g\} = \sqrt{2 \pi} \mathcal{F}\{f\} \mathcal{F}\{g\}$} \medskip

        $\mathcal{F}^{-1}\{f * g\} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathcal{F}^{-1}\{f\} \mathcal{F}^{-1}\{g\}$
    \end{center}

    F6 Seien $\mathcal{F}\{f\}$, $\mathcal{F}\{g\}$ und $f \cdot g$ auch absolut integrierbar, dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{F}\{f \cdot g\} = \sqrt{2 \pi} \cdot \mathcal{F}\{f\} * \mathcal{F}\{g\}$} \medskip

        $\mathcal{F}^{-1}\{f \cdot g\} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \mathcal{F}^{-1}\{f\} * \mathcal{F}^{-1}\{g\}$
    \end{center}

    \vfill\null


    \pagebreak


    \section{Laplace-Transformation}

    Der Unterschied zwischen der Laplace-Transformation und der Fourier-Transformation ist, dass man für die Laplace-Transformation auch wachsende Funktionen betrachten kann. \medskip

    Sei $s \in \C$. Die Laplace-Transformation der Funktion $f: \R \to \C$ ist

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle\mathcal{L}\{f(t)\}(s) := \int\limits_0^\infty e^{-st} f(t) dt$}
    \end{center}

    Sei $\mathcal{E}$ der Raum der Funktionen $f: \R \to \C$ mit folgenden Eigenschaften:

    \begin{center}
        \begin{tabular}{r p{0.85\linewidth}} \toprule
            1) & $f(t) = 0$ für jedes $t < 0$                                                 \\
            2) & Es gibt ein $\sigma \in \R$ und ein $M > 0$ für alle $t > 0$ mit

            \begin{center}
                $|f(t)| \leq M e^{\sigma t}$
            \end{center}                                     \\
            3) & $f$ ist stückweise stetig und die Grenzwerte

            \begin{center}
                $\lim\limits_{t \to t_0^-} f(t)$ und $\lim\limits_{t \to t_0^+} f(t)$
            \end{center}

            existieren an jeder Sprungstelle $t_0 \in \R_{> 0}$, \textbf{auch bei} $t_0 = 0$. \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}

    Dann ist die Laplace-Transformation für jedes $f \in \mathcal{E}$ auf der Halbebene $\{s \in \C: \Re{s} > \sigma\}$ wohldefiniert und eine komplexe Analytische Funktion der Variable $s$. Ausserdem gilt

    \begin{center}
        $\lim\limits_{\Re{s} \to \infty} \mathcal{L} \{f(t)\}(s) = 0$
    \end{center}

    \subsubsection{Grundbegriffe}

    Man nennt $\mathcal{E}$ \emph{Originalraum} und eine Funktion $f \in \mathcal{E}$ \emph{Originalfunktion} und der Definitionsbereich von $f$ heisst \emph{Zeitbereich}. Die Laplace-Transformation $\mathcal{L}\{f\}$ ist eine \emph{Bildfunktion} und der Definitionsbereich von $\mathcal{L}\{f\}$ heisst \emph{Bildbereich}.

    \subsubsection{Wachstumskoeffizient}

    Das kleinste $\sigma_f$, so dass $|f(t)| < Ce^{\sigma t}$ für jedes $\sigma_f < \sigma$ heisst Wachstumskoeffizient.

    \subsection{Heaviside Funktion}

    Falls $f \not\equiv 0$ für $t < 0$, kann man immer die Funktion zwingen die Bedingung zu erfüllen indem man die Funktion $f$ mit der Heaviside Funktion $H(t)$ multipliziert.

    \begin{center}
        \eqbox{$H(t) := \begin{cases}
                    0 & t < 0 \\
                    1 & t > 0 \\
                \end{cases}$}
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak

    \subsection{Eigenschaften der Laplace-Transformation}

    Seien $f,g \in \mathcal{E}$, $\alpha, \beta \in \C$. Dann gilt \medskip

    LT1 (Linearität):

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{L}\{\alpha f(t) + \beta g(t)\}(s) = \alpha \mathcal{L}\{f(t)\}(s) + \beta \mathcal{L} \{g(t)\}(s)$}
    \end{center}

    LT2 (Verschiebung in der t-Variable): Sei $a \in \R$. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqboxf{$\mathcal{L}\{f(t-a)\}(s) = e^{-a s} \mathcal{L}\{f(t)\}(s)$}
    \end{center}

    Bem: Bei der Rücktransformation mit $H(t - a)$ multiplizieren!

    LT3 (Verschiebung in der $s$-Variabel):

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{L}\{e^{\alpha t} f(t)\}(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s - \alpha)$}
    \end{center}

    LT4 (Ähnlichkeit) Sei $a \in \R^+$. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{L}\{f(a t)\} (s) = \dfrac{1}{a} \mathcal{L}\{f(t)\} \left(\dfrac{s}{a}\right)$}
    \end{center}

    LT5 (Laplace-Transformation der Ableitung) Sei $f' \in \mathcal{E}$ und $f(t)$ stetig für $t > 0$. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{L}\{ f' (t)\}(s) = s \mathcal{L}\{ f (t)\}(s) - \lim\limits_{t \to 0^+} f(t)$}
    \end{center}

    Falls $f'', \dots, f^{(n)} \in \mathcal{E}$ und $f, \dots, f^{(n-1)}$ stetig für $t > 0$ sind, dann gilt

    \begin{center}
        \eqboxf{$\displaystyle \mathcal{L}\{ f^{(n)} (t)\}(s) = s^n \mathcal{L}\{ f(t)\}(s) - \sum\limits_{k = 1}^n s^{n-k} \lim\limits_{t \to 0^+} f^{(k-1)}(t)$}
    \end{center}

    LT6 (Ableitung der Laplace-Transformation) Für $n \in N$ gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\dfrac{d^n}{d s^n} \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = (-1)^n \mathcal{L}\{t^n f(t)\} (s)$}
    \end{center}

    LT7 (Laplace-Transformation eines Integrals)

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \mathcal{L} \left\{ \int\limits_0^t f(\tau ) d \tau \right\} (s) = \dfrac{1}{s} \mathcal{L}\{f(t)\}(s)$}
    \end{center}

    LT8 Sei $\sigma_f$ der Wachstumskoeffizient von $f$. Für $x > \sigma_f$ ($x \in \R$) gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \mathcal{L}\left\{ \dfrac{f(t)}{t} \right\} ( x + i y) = \int\limits_{x + iy}^{\infty + i y} \mathcal{L} \{f(t)\} (\tau) d\tau$}
    \end{center}

    LT9 Sei $f$ eine $T$-periodische Funktion ($f(t + T) = T$) für jedes $t \geq 0$. Dann gilt für jedes $s \in \C$ mit $\Re{s} > 0$.

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\} (s) = \dfrac{1}{1 - e^{- s T}} \int\limits_0^T e^{-st} f(t) dt$}
    \end{center}

    LT10 (Faltungssatz)

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{L} \{f * g\}(s) = \mathcal{L}\{\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)d\tau\}(s) = \mathcal{L} \{f(t)\}(s) \cdot \mathcal{L} \{g(t)\}(s)$}
    \end{center}

    LT11 (Dirac-Delta Funktion) Sei $a \in \R$. Dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\mathcal{L}\{\delta(t - a)\} (s) = e^{-as}$}
    \end{center}


    \subsection{Satz von Lerch (Eindeutigkeit der Laplace-Transformation)}

    Seien $f_1, f_2 \in \mathcal{E}$ mit Wachstumskoeffizienten $\sigma_1, \sigma_2$. Gilt

    \begin{center}
        $\mathcal{L} \{f_1(t)\}(s) = \mathcal{L} \{f_2(t)\} (s)$
    \end{center}

    für jedes $s$ mit $\Re{s} > \max\{\sigma_1, \sigma_2\}$. Dann ist

    \begin{center}
        $f_1(t) = f_2(t)$
    \end{center}

    an allen Stellen $t$ an denen $f_1$ und $f_2$ stetig sind.


    \subsection{Inverse Laplace-Transformation}

    Sei $f \in \mathcal{E}$ mit Wachstumskoeffizient $\sigma_f$. Sei $\beta_c(y) := c + i y$ für $y \in (-\infty, \infty)$ ein Pfad, wobei $c > \sigma_f$ beliebig ist. Dann gilt an allen Stetigstellen $t \in (0, \infty)$ von $f$

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle f(t) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{\beta_c} e^{st} \mathcal{L}\{f(t)\}(s) \, ds$}
    \end{center}

    An den Unstetigstellen $t_0 \in (0, \infty)$ gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\displaystyle \frac{1}{2} \left(\lim\limits_{t \to t_0^-} \mathcal{L}\{f(t)\}(s) + \lim\limits_{t \to t_0^+} \mathcal{L}\{f(t)\}(s)\right) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{\beta_c} e^{st} \mathcal{L}\{f(t)\}(s) \, ds$}
    \end{center}

    Die Inverse Laplace-Transformation kann entweder durch dieses Kurvenintegral berechnet werden oder über die Eigenschaften der Laplace-Transformation bzw. die Transformationstabelle.


    \subsection{Laplace-Transformationstabelle}

    Bei der Rücktransformation \emph{immer} mit $H(t)$ multiplizieren!!!

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{2.5}
        \begin{tabular}{c c} \toprule
            Originalraum $f(t)$    & Bildbereich $\mathcal{L}\{f(t)\}(s)$     \\
            \midrule
            $1$                    & $\dfrac{1}{s}, s>0$                      \\
            \hline
            $t^n$                  & $\dfrac{n!}{s^{n+1}}, s>0$               \\
            \hline
            $\sin(at)$             & $\dfrac{a}{s^2+a^2}, s>0$                \\
            \hline
            $\cos(at)$             & $\dfrac{s}{s^2+a^2}, s>0$                \\
            \hline
            $e^{at}$               & $\dfrac{1}{s-a}, s>a$                    \\
            \hline
            $e^{at}\cdot \sin(bt)$ & $\dfrac{b}{(s-a)^2+b^2}, s>a$            \\
            \hline
            $e^{at}\cdot \cos(bt)$ & $\dfrac{s-a}{(s-a)^2+b^2}, s>a$          \\
            \hline
            $t^ne^{at}$            & $\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}, s>a$           \\
            \hline
            $f'(t)$                & $s \mathcal{L}\{f(t)\}(s)-f(0)$          \\
            \hline
            $f''(t)$               & $s^2 \mathcal{L}\{f(t)\}(s)-sf(0)-f'(0)$ \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak


    \subsection{Differentialgleichungen (DGL) lösen mit Laplace}

    \begin{enumerate}
        \item Die DGL in den Bildbereich transformieren (LT5).
        \item Anfangswerte in transformierte DGL einsetzen.
        \item DGL nach $\mathcal{L}\{y(t)\}(s) = Y(s)$ auflösen.
        \item Partialbruchzerlegung
        \item [4.5] Je nachdem wie die Transfomierte aussieht nach der Partialbruchzerlegung, muss man die Zerlegung zurücktransformieren, damit man Eigenschaften anwenden kann, um zur Lösung zu kommen. (z.B. LT2)
        \item Rücktransformation mit Tabellen und mit $H(t)$ multiplizieren.
    \end{enumerate}


    \subsection{Dirac-Delta Funktion (Dirac-Impuls)}

    Die Dirac-Delta Funktion ($\delta (t)$) ist, wie folgt definiert:

    \begin{center}
        $\delta_\epsilon (t) := \dfrac{1}{2\epsilon}\chi_{(-\epsilon,\epsilon)}(t)$ \qquad \eqbox{$\delta(t) := \lim\limits_{\epsilon \to 0} \delta_\epsilon (t)$}
    \end{center}

    \subsubsection{Eigenschaften}

    Die Eigenschaften D1 und D2 charakterisieren die Delta Dirac \emph{eindeutig}! \medskip

    D1 Obwohl $\delta(t)$ im Ursprung ''unendlich'' ist, gilt trotzdem

    \begin{center}
        \eqbox{$\int\limits_{-\infty}^\infty \delta(t) = 1$}
    \end{center}

    D2 Für jede stetige Funktion $f$ gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$\int\limits_{-\infty}^\infty \delta(t - t_0) f(t) dt = f(t_0)$}
    \end{center}

    D3 Sei $H(t)$ die Heaviside Funktion, dann gilt

    \begin{center}
        \eqbox{$H(t) = \int\limits_{-\infty}^t \delta(s) ds$}
    \end{center}
    \vfill\null
    \columnbreak


    \section{Sonstiges}

    \begin{center}
        \includegraphics[width=1\linewidth]{Bilder/Tangens.png}
    \end{center}


\end{multicols*}
\setcounter{secnumdepth}{2}
\end{document}















