\section{Boolsche Algebra}

Es gelten folgende Grundgesetze, wie in der Algebra:

\begin{center}
    \begin{tabular}{r l l} \toprule
        Kommutativität  & $A \land B = B \land A$                                                                                        \\
                        & $A \lor B = B \lor A$                                                                                          \\
        Assoziativität  & $A \land (B \land C) = (A \land B) \land C$                                                                    \\
                        & $A \lor (B \lor C) = (A \lor B) \lor C$                                                                        \\
        Distributivität & $(\textcolor{blue}{A\,\land}~B) \lor (\textcolor{blue}{A\,\land}\,C) = \textcolor{blue}{A\,\land}\,(B \lor C)$ \\
                        & $(\textcolor{blue}{A\,\lor}~B) \land (\textcolor{blue}{A\,\lor}\,C) = \textcolor{blue}{A\,\lor}\,(B \land C)$  \\ \bottomrule
    \end{tabular}
\end{center}

Aus diesem Grund gilt folgende für die Logikminimierung sehr nützliche Umwandlung:

\begin{center}
    \eqboxf{$\land \rightleftharpoons \cdot$ \qquad $\lor \rightleftharpoons +$}
\end{center}

Zusätzlich zu den Grundregeln gelten folgende Regeln:

\begin{center}
    \begin{tabular}{r l l} \toprule
        Nicht                      & $\overline{\overline{A}} = A$                                     &                            \\
        Null-Theorem               & $A \lor 0 = A$                                                    & $A \land 0 = 0$            \\
        Eins-Theorem               & $A \lor 1 = 1$                                                    & $A \land 1 = A$            \\
        Idempotenz                 & $A \lor A = A$                                                    & $A \land A = A$            \\
        Verknüpfung mit Komplement & $A \lor \overline{A} = 1$                                         & $A \land \overline{A} = 0$ \\ \midrule
        Adsorptionsgesetze         & \multicolumn{2}{l}{$A \lor (\overline{A} \land B) = A \lor B$}                                 \\
                                   & \multicolumn{2}{l}{$A \land (\overline{A} \lor B) = A \land B$}                                \\
        Absorptionsgesetze         & \multicolumn{2}{l}{$A \lor (A \land B) = A$}                                                   \\
                                   & \multicolumn{2}{l}{$A \land (A \lor B) = A$}                                                   \\
        Nachbarschafts Gesetze     & \multicolumn{2}{l}{$(A \land B) \lor (\overline{A} \land B) = B$}                              \\
                                   & \multicolumn{2}{l}{$(A \lor B) \land (\overline{A} \lor B) = B$}                               \\ \bottomrule
    \end{tabular}
\end{center}
\vfill


\subsection{De Morgan'sche Gesetze}

Beziehungen zwischen NAND/NOR und AND/OR:

\begin{center}
    \begin{tabular}{r l} \toprule
        Erstes Gesetz:  & $\overline{A \land \dots \land B} = \not{A} \lor \dots \lor \not{B}$                      \\
        Zweites Gesetz: & $\overline{A \lor \dots \lor B} = \not{A} \land \dots \land \not{B}$ \\ \bottomrule
    \end{tabular}
\end{center}

Daraus folgen zwei sehr nützliche Umwandlungen:

\begin{center}
    \eqboxf{$A \land \dots \land B = \overline{\not{A} \lor \dots \lor \not{B}}  \qquad A \lor \dots \lor B = \overline{\not{A} \land \dots \land \not{B}}$}
\end{center}


\subsection{Normalformen}

Der \emph{Minterm} ist eine AND-Verknüpfung, welcher $'1'$ ergibt für nur eine Kombination der Schaltungsvariablen. \medskip

Der \emph{Maxterm} ist eine OR-Verknüpfung, welcher $'0'$ ergibt für nur eine Kombination der Schaltungsvariablen. Bei der Bildung der Maxterme \emph{müssen die Variablen invertiert werden}!\medskip

\begin{center}
    \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
    \begin{tabular}{|c c|c|c|c|} \hline
        A & B & Z & Minterme                          & Maxterme              \\ \hline
        0 & 0 & 1 & $\overline{A} \land \overline{B}$ &                       \\
        0 & 1 & 0 &                                   & $A \lor \overline{B}$ \\
        1 & 0 & 0 &                                   & $\overline{A} \lor B$ \\
        1 & 1 & 1 & $A \land B$                       &                       \\ \hline
    \end{tabular}
\end{center} 

\subsubsection{Disjunktive Normalform DNF (ODER-Normalform)}

Besteht aus einer ODER-Verknüpfung aller Minterme:

\begin{center}
    \eqbox{$Z = (\not{A} \land \not{B}) \lor (A \land B)$}
\end{center}

\subsubsection{Konjunktive Normalform KNF (UND-Normalform)}

Besteht aus einer UND-Verknüpfung aller Maxterme:

\begin{center}
    \eqbox{$\not{Z} = (A \lor \not{B}) \land (\not{A} \lor B)$}
\end{center}

\subsubsection{Kanonische Normalform}

Die kanonische Normalform ist die unvereinfachte Normalform einer Wahrheitstabelle. Sie gibt also nicht notwendigerweise die einfachsten Funktionsgleichungen an.
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