\section{Analyse umfangreicher Netzwerke}

Wir nehmen an, dass das folgende Netzwerk gegeben ist.

\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig64.png}

Um dieses Netzwerk zu analysieren verwendet man ein System, welches ein Gleichungssystem aufstellt um alle Grössen berechnen zu können. In unserem Fall benötigen wir mindestens 6 Gleichungen, da wir 6 Zweige haben.

\begin{enumerate}
	\item
	      \begin{minipage}{0.5\linewidth}
		      Zeichne den Netzwerkgraphen. (Zeichne das elektrische Netzwerk ohne jegliche Komponente)
	      \end{minipage}
	      \begin{minipage}{0.5\linewidth}
		      \includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig65.png}
	      \end{minipage}
	\item
	      \begin{minipage}{0.5\linewidth}
		      Definiere in jedem Zweig die Strom Richtung. Die Richtung kann willkürlich gewählt werden, da die Richtung durch ein Vorzeichen nach dem Auflösen vom Gleichungssystem korrigiert wird.
	      \end{minipage}
	      \begin{minipage}{0.5\linewidth}
		      \includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig66.png}
	      \end{minipage}
	\item Stelle die Knotengleichungen auf. Eine Knotengleichung kann ignoriert werden da sie linear abhängig ist zu einer der vorherigen Knotengleichungen.
	\item Stelle die Maschengleichung auf. Auch hier ist es wichtig, dass alle Maschengleichungen linear unabhängig sind. Für die Maschengleichung gibt es 2 Methoden.
	      \begin{itemize}
		      \item
		            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
			            Bei der Methode vom vollständigen Baum werden die Knoten mit $n$ Zweigen verbunden. ($n$ ist die Anzahl der Knoten) Danach werden die fehlenden Zweige eingesetzt um die Maschen zu bilden.
		            \end{minipage}
		            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
			            \includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig67.png}
		            \end{minipage}
		      \item	Bei der Methode von der Auftrennung der Maschen wird aus dem Netzwerkgraph eine Masche gebildet und aus der Masche ein Zweig entfernt. Dieser Prozess wird so oft wiederholt, bis keine Maschen mehr gebildet werden können.

		            \begin{minipage}{0.33\linewidth}
			            \includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig68.png}
		            \end{minipage}
		            \begin{minipage}{0.33\linewidth}
			            \includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig69.png}
		            \end{minipage}
		            \begin{minipage}{0.33\linewidth}
			            \includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig70.png}
		            \end{minipage}
	      \end{itemize}
	\item Fasse die Gleichungen in einer Matrix zusammen.

	      \[
		      \left.
		      \begin{array}{rl}
			      1 \cdot I_0 + 1 \cdot I_2 + -1 \cdot I_1 = 0      \\
			      1 \cdot I_1 + -1 \cdot I_3 + -1 \cdot I_4 = 0     \\
			      1 \cdot I_3 + 1 \cdot I_5 + -1 \cdot I_2 = 0      \\
			      R_1 \cdot I_1 + R_3 \cdot I_3 + R_2 \cdot I_2 = 0 \\
			      R_1 \cdot I_1 + R_4 \cdot I_4 = U_0               \\
			      -R_2 \cdot I_2 + -R_5 \cdot I_5 = U_0             \\
		      \end{array}
		      \right\} \begin{bmatrix}
			      1 & -1  & 1    & 0   & 0 & 0    \\
			      0 & 1   & 0    & -1  & 1 & 0    \\
			      0 & 0   & -1   & 1   & 0 & 1    \\
			      0 & 0   & -1   & 1   & 0 & 1    \\
			      0 & R_1 & R_2  & R_3 & 0 & 0    \\
			      0 & 0   & -R_2 & 0   & 0 & -R_5 \\
		      \end{bmatrix}
		      \begin{bmatrix}
			      I_0 \\
			      I_1 \\
			      I_2 \\
			      I_3 \\
			      I_4 \\
			      I_5 \\
		      \end{bmatrix} =
		      \begin{bmatrix}
			      0   \\
			      0   \\
			      0   \\
			      U_0 \\
			      U_0 \\
			      0   \\
		      \end{bmatrix}
	      \]
\end{enumerate}
