\section{Anwendungen}

Wie vorher erwähnt, wird die Determinante als ein Werkzeug für lineare Transformationen verwendet. Was wir bereits auch angeschaut haben anhand von Beispielen ist, dass det die Fläche ist welche eine $2 \times 2$ Matrix aufspannt.
\\
Für eine $3 \times 3$ Matrix, ist det das Volumen des Körpers, welches von den Vektoren der Matrix gebildet wird. 
\\
Neben dem hat det eine Relevanz mit dem Kreuzprodukt:

\[
  |(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \mathbf{w}| = |\text{det} \begin{bmatrix}
    u_1 & u_2 & u_3\\
    v_1 & v_2 & v_3\\
    w_1 & w_2 & w_3\\
  \end{bmatrix}|
.\]