\section{Definition und Eigenschaften}

\dfn{Determinante \cite{Gradinaru2024}}{
  Die Determinante ist eine Funktion

  \[
    \text{det : } \underbrace{\mathbb{R} ^{n} \times \mathbb{R} ^{n} \times ... \times \mathbb{R} ^{n}}_{n} \rightarrow \mathbb{R}
  \]

  mit folgenden Eigenschaften:

  \begin{itemize}
    \item[D1] $\text{det } \mathbf{I}_n = 1$
    \item[D2] det wechselt das Vorzeichen, wenn zwei Zeilen oder Spalten vertauscht werden (Antisymmetrie).
    \item[D3] det ist linear in jeder Zeile und Spalte:

      \[
        \text{det} \begin{bmatrix}
          ta & tb\\
          c & d\\
        \end{bmatrix} = t \cdot \text{det} \begin{bmatrix}
          a & b\\
          c & d\\
        \end{bmatrix}
      .\]

      \[
        \text{det} \begin{bmatrix}
          a + \tilde{a} & b + \tilde{b}\\
          c & d\\
        \end{bmatrix} = \text{det} \begin{bmatrix}
          a & b\\
          c & d\\
        \end{bmatrix} + \text{det} \begin{bmatrix}
          \tilde{a} & \tilde{b}\\
          c & d\\
        \end{bmatrix}
      .\]

  \end{itemize} 
}

Was ist genau die Determinante und was ist der Konzept dahinter?
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\\
Die Determinante ist ein Hilfsmittel um eine lineare Transformation besser verstehen zu können, genauer um welchen Faktor die Fläche sich vergrössert. Betrachten wir es anhand einer Grafik.
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Wir wissen von D1, dass $\text{det } \mathbf{I}_2 = 1$. Versuchen wir mal dies in einer Grafik darzustellen.

\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_5.png}

$\mathbf{I}_2$ bildet im Koordinatensystem eine Fläche mit einer Grösse von 1. Wir nehmen nun einfachtshalber mal eine willkürliche Dreiecksmatrix $\mathbf{A}$. Diese Zeichnen wir auch in das Koordinatensystem ein. 

\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_6.png}

Wir sehen, dass die Matrix $\mathbf{A}$ eine Fläche aufspannt mit Grösse 6. Somit ist det 6. Wir nehemen nun eine andere Matrix $\mathbf{B}$.

\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_7.png}

Wir sehen, dass die Matrix eine lineare Transformation ist, jedoch bleibt die Fläche gleich gross da det 1 ist. Somit würden die Flächen ihre Grösse nach der Transformation nicht verändern. 
\\
Was ist mit negativen det. Gibt es negative det und wie soll man sich negative det sich vorstellen?
\\
Wir betrachten neben der $\mathbf{I}_2$ die Matrix $\mathbf{C}$.

\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_8.png}

Wir sehen, dass die Fläche, welche die Matrix $\mathbf{C}$ bildet in vergleich zu Matrix $\mathbf{B}$ gespiegelt ist. Daraus kann man ziehen, dass negative det eine Skalierung und eine Spiegelung sind.
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Wie sieht es aus mit det die 0 sind?
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Betrachten wir die Matrix $\mathbf{D}$.

\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_9.png}

Die Matrix $\mathbf{D}$ hat keine Fläche, da die Vektoren, welche die Fläche bilden übereinander sind. In manchen Fällen können Determinanten auch ein Punkt bilden.
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Da wir das Konzept von Determinanten jetzt besser verstehen. Können wir mit ein paar wichtige Rechenregel für Determinanten fortfahren. Die Rechenregel sind ausführlich im Skript von Dr. Gradinaru \cite{Gradinaru2024} beschrieben.
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\begin{itemize}
  \item Falls zwei Spalten oder Zeilen einer Matrix identisch sind, so ist die Determinante der Matrix 0.
  \item Lineare Kombinationen von Zeilen der Matrix ändert die Determinante dieser Matrix nicht.
  \item Wenn eine Matrix eine Nullzeile oder eine Nullspalte hat, so ist ihre Determinante 0.
  \item Falls $\mathbf{A}$ eine Dreiecksmatrix ist, so ist die Determinante von A das Produkt der Diagonaleinträge.
  \item Falls A singulär ist, entsteht bei der Gauss-Elimination eine Nullzeile und die Determinante ist 0.
  \item det $\mathbf{A} \mathbf{B}$ = det $\mathbf{A} \cdot$ det $\mathbf{B}$.
  \item \[
      \text{det } \mathbf{A} ^{-1} = \frac{1}{\text{det } \mathbf{A}}
  .\]
  \item $\text{det } \mathbf{A} = a_{11} \cdot \text{det } \mathbf{A} _{11} - a_{12} \cdot \text{det } \mathbf{A} _{12} + ... + a_{1n} \cdot det \mathbf{A}_{1n}$
\end{itemize}

\nt{
  Es gibt noch ein paar Tricks um det zu berechnen:

  \begin{itemize}
    \item det einer $3 \times 3$ Matrix lässt sich auch so rechnen:
     
      \begin{center}
        \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig/Fig_10.png}
      \end{center}

    \item Die Regel mit der Dreiecksmatrix lässt sich ein wenig erweitern. Falls man Blöcke bilden kann so lässt sich det durch das Multiplizieren der einzelnen det der Blöcke berechnen.

      \begin{center}
        \includegraphics[width=0.3\textwidth]{fig/Fig_11.png}
      \end{center}
  \end{itemize}
}
