\section{Ausgleichsrechnung ("Least Sqares")}

Nehmen wir an, dass wir eine Datenbank haben mit Messungen, welches wir in einem Graphen eingefügt haben. Nun wollen wir eine Funktion finden, welches durch die Messwerte geht. Wir können das folgende Gleichungssystem bilden:

\begin{equation}
  \mathbf{A} \vec{x} = \vec{b}
  \label{eq:least square prev}
\end{equation}

Wobei die Matrix $\mathbf{A}$ die parameter von $\vec{x}$ sind und $\vec{b}$ die resultierende Gerade bildet. 

Wir schauen uns nun die folgende Grafik an:

\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_3.png}

Wie man anhand der Grafik sehen kann, sieht man, dass es $\vec{x}$ nicht existiert, da es keine Funktion existiert, welche durch alle Punkte geht. Was ist, wenn man trotz allem eine Funktion finden möchte? 
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Wir nehmen eine neue Betrachtungsweise. Nehmen wir an, dass die Matrix $\mathbf{A}$ eine Ebene bildet. Die Gleichung $\mathbf{A} \vec{x} = \vec{b}$ bildet dann einen Vector $\vec{b}$ welches in der Ebene ist, die von $\mathbf{A}$ gebildet wird. Nehmen wir an, dass $\vec{b}$ nicht in der Ebene ist. Daraus folgt, dass es kein $\vec{x}$ gibt, welches die Gleichung bildet. Was kann man stattdessen machen?
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Man könnte ein $\vec{\hat{x}}$ wählen, welche die Gleichung zwar nicht bildet aber den Vektor $\vec{b}$ annähert. Daraus schliesst man, dass $\vec{\hat{x}}$ $\vec{b}$ am ehesten annähert, wenn die Distanz von $b'$, welches den $\vec{b'}$ in der Ebene bildet und $b$ am geringsten ist.

\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_4.png}

Anahand der Figur kann man erkennen, dass $\vec{\hat{x}}$ so gewählt werden sollte, dass es die Projektion von $\vec{b}$ bildet. Daraus kann man die folgende Definition ableiten.

\dfn{Lineare Ausgleichsrechnung als lineares Gleichungssystem \cite{Gradinaru2024}}{
  Sei eine $m \times n$ Matrix $\mathbf{A}$ und der Vektor $\vec{b}$ mit $m$ Einträgen. Gesucht ist ein $\hat{x}$, so dass

  \[
    ||\mathbf{A}\vec{\hat{x}} - \vec{b}|| = \text{min} ||\mathbf{A}\vec{x} - \vec{b}||
  .\]
  
}

Es gibt zwei wege um $\vec{\hat{x}}$ zu berechnen, nähmlich die Lösung mit der Normalengleichung und Lösung mit der QR-Zerlegung.
