\section{Satz vom Momentanzentrum}

In Kapitel \ref{sec:evenm} haben wir einen wichtigen Satz in der Technischen Mechanik kennengelernt. Dabei haben wir zwischen Translation und Rotation geredet. Dabei kam die Gleichung \ref{eq:rot} ins Spiel. Wir werden nun diese Gleichung genauer betrachten.
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Bevor wir weiterfahren klären wir zuerst, was das Momentanzentrum ist.

\dfn{Momentanzentrum}{
	Das Momentanzentrum ist der Punkt eines Starkörpers, welcher momentan in Ruhe ist d.h. keine Geschwindigkeit besitzt.

	\begin{minipage}{0.7\linewidth}
		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_7.png}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
		\[
			\vec{v}_{MZ} = 0
			.\]
	\end{minipage}

	\nt{
		Ein Punkt, der den Boden oder die Wand berührt, ist ein Momentanzentrum. Im Dreidimensionalen ist das Momentanzentrum eine Kontaktlinie.
	}

}

\dfn{Satz vom Momentanzentrum}{
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_8.png}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\[
			\vec{v}_p = \vec{\omega} \times \vec{r}_p
			.\]
	\end{minipage}

	Die Formel besagt, dass die Geschwindigkeit bei einer Rotation an einem Punkt durch das Kreuzprodukt der Rotationsgeschwindigkeit und dem Vektor vom Momentanzentrum zum Punkt bestimmt werden kann.

	\nt{
		Das Kreuzprodukt darf nicht vertauscht werden.
	}

	Aufgrund des Kreuzproduktes und SdpG sind die Geschwindigkeitsvektoren immer senkrecht zum Verbindungsvektor zwischen dem Momentanzentrum und dem Punkt.
}

Die Rotationsschnelligkeit kann durch den Betrag der Rotationsgeschwindigkeit berechnet werden (Kapitel \ref{sec:spee}) oder durch die zeitliche Ableitung des Rotationswinkels $\Theta$. ($\omega = \dot{\Theta} = \frac{d \Theta}{dt}$)
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Die Schnelligkeit eines Punktes kann durch die Multiplikation der Winkelschnelligkeit und der Distanz vom Momentanzentrum zum Punkt. ($v_p = \omega \cdot r_p$)

\nt{
	Es hat immer nur ein $\omega$ pro Starrkörper.
}

\subsection{Die Parallelogrammregel}

\dfn{Parallelogrammregel}{
	Wenn Starrkörper ein Parallelogramm bilden, so haben die parallel stehenden Starrkörper dieselbe Winkelgeschwindigkeit.

	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
		\[
			\omega_1 = \omega_3 \text{ und } \omega_2 = \omega_4
			.\]
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.7\linewidth}
		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_9.png}
	\end{minipage}
}

\nt{
	Die Vorzeichen der x und y Komponente des Geschwindigkeitsvektors kann man entweder grafisch oder über das Kreuzprodukt bestimmen.
}

\subsection{Winkelgeschwindigkeit $\omega$} \label{sec:wige}

$\omega$ kann durch die rechte Hand bestimmt werden. Dies folgt aus dem Fakt, dass $\vec{\omega}$ nur eine z Komponente besitzt.
\\
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_10.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	Die ursprüngliche Richtung von $\omega$ kann selbst bestimmt werden. Diese Richtung bestimmt imnachhinein die Richtung von $\vec{\omega}$.
\end{minipage}