\section{Zahlensysteme}

\subsection{Polyadische Systeme}

Die Position einer Ziffer innerhalb einer Zahl gibt den Wert an, mit der die Basis des Zahlensystems an dieser Stelle potenziert wird. Umwandlung einer Zahl $D_{(R)}$ ins Dezimalsystem:

\begin{center}
    \begin{minipage}{0.55\linewidth}
        \begin{center}
            \begin{tabular}{c l}
                $R$   & Basis/Radix von $D_{R}$     \\
                $b_i$ & Koeffizienten (''Ziffern'') \\
            \end{tabular}
        \end{center}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.40\linewidth}
        \begin{center}
            \eqbox{$D_{(10)} = \sum\limits_{i = -\infty}^{\infty} b_i \cdot R^i$}
        \end{center}
    \end{minipage}
\end{center}
Darstellung von $D_{(R)}$ in Basis $R$: $\dots b_2 b_1 b_0 . b_{-1} b_{-2} \dots _{R}$
\begin{flushleft}
    \begin{tabular}{l c l}
        Dezimal    & $10$ & $b_i \in \{0, 1, \dots, 9\}$                   \\
        Dual/Binär & $2$  & $b_i \in \{0, 1\}$                             \\
        Oktal      & $8$  & $b_i \in \{0, 1, \dots, 7\}$                   \\
        Hexa (0x)  & $16$ & $b_i \in \{0, 1, \dots, 9, A, B, C, D, E, F\}$ \\
    \end{tabular}
\end{flushleft}
\vfill


\subsection{Umwandlung Dezimal $\to$ Zahlensystem R}

Für den Teil \emph{vor} dem Komma:

Wiederholte ganzzahlige Division durch Basis $R$ mit Rest $r$, der jeweilige Rest $r$ entspricht der Ziffer im neuen
Zahlensystem, beginnend mit dem \textbf{L}east \textbf{S}ignificant \textbf{D}igit (LSD).

\begin{center}
    \eqbox{$\dfrac{D_{(10)}}{R} = Q_0 + r_0$ und dann Rekursiv: $\dfrac{Q_i}{R} = Q_{i+1} + r_{i+1}$}
\end{center}

Für den \emph{'Fraktionalteil'} $a_o$ hinter dem Komma:

Wiederholte Multiplikation von $a_0$ mit der Zahlenbasis $R$ und ausführen der Abrundungsfunktion floor(x) zur Berechnung von $K$, welches der Ziffer im neuen Zahlensystem entspricht, beginnend mit dem \textbf{M}ost \textbf{S}ignificant \textbf{D}igit (MSD).

\begin{center}
    \eqbox{$a_i \cdot R = P_i \quad \to \text{floor}(P_i) = K_{i - 1}$, $a_{i-1} = P_i - K_{i - 1}$}
\end{center}

Ein Zahlenbeispiel:

\begin{center}
    \includegraphics[width = 0.32\textwidth]{images/UmwandlungZahlensys.jpg}
\end{center}


\subsubsection{Binär zu Dezimal}

\begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c}
        $2^7$ & $2^6$ & $2^5$ & $2^4$ & $2^3$ & $2^2$ & $2^1$ & $2^0$ \\
        $128$ & $64$  & $32$  & $16$  & $8$   & $4$   & $2$   & $1$   \\
    \end{tabular} \medskip

    \begin{tabular}{c|c|c|c}
        $2^{-1}$ & $2^{-2}$ & $2^{-3}$ & $2^{-4}$ \\
        $0.5$    & $0.25$   & $0.125$  & $0.0625$ \\
    \end{tabular}
\end{center}


\subsection{Zweierkomplement}

Für negative Dualzahlen wird das Zweierkomplement verwendet. Das MSB (sign Bit) hat eine \emph{negative} Wertigkeit. \medskip

Bildung Zweierkomplement für eine negative Zahl:

\begin{tabular}{r l}
    i)   & Absolutbetrag der Zahl in Dualzahl umwandeln     \\
    ii)  & Dualzahl bitweise invertieren und beim LSB  '+1' \\
    iii) & Zuvorderst das sign Bit hinzufügen               \\
\end{tabular}
\vfill


\subsection{Darstellung Rationaler Zahlen als Dualzahl (Q-Format)}

Vorzeichenbehaftete Zahlen mit rationalem Anteil werden im Q-Format dargestellt. Bei $m$ Vorkomma- und $n$ Nachkommabits sind insgesamt $k = 1 + m + n$ Binärstellen erforderlich.

\begin{center}
    \eqbox{$\displaystyle D_{(10)} = \underbrace{- b_m \cdot 2^m}_{\text{sign Bit}} + \sum_{i = 0}^{m - 1} b_i \cdot 2^i + \sum_{i = 1}^{n} b_i \cdot 2^{-i}$}
\end{center}


\subsection{Binäre Rechenoperationen}


\subsubsection{Addition}

Schriftliche bitweise Addition mit Übertrag.

\begin{center}
    \includegraphics[width = 0.2\textwidth]{images/Addition.jpg}
\end{center}


\subsubsection{Subtraktion}

Addition, aber in 2er-Komplement Darstellung.

\begin{center}
    \includegraphics[width = 0.2\textwidth]{images/Subtraktion.jpg}
\end{center}

Minuend und Subtrahend müssen über gleiche Stellenanzahl verfügen, sonst kürzere Zahl linksbündig mit Vorzeichenbit erweitern. Überträge nach dem Vorzeichenbit ignorieren!


\subsubsection{Multiplikation}

Multiplikation zweier vorzeichenloser Dualzahlen:

\begin{center}
    \includegraphics[width = 0.25\textwidth]{images/Multiplikation.jpg}
\end{center}
\vfill