\section{Geschwindigkeit}

\dfn{Geschwindigkeit}{
	Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, welcher die Richtung sowie die Geschwindigkeit des Punktes beschreibt, mit welcher der Punkt die Bahnkurve durchläuft. Sie kann berechnet werden durch die zeitliche Ableitung der Ortsfunktion und verläuft immer tangential zur Bahnkurve.

	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\[
			\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = \frac{d}{dt} \vec{r}(t)
			.\]
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_2.png}
	\end{minipage}
}

Die Ableitung der Ortsfunktion geschieht komponentenweise.

\subsection*{2D}

\[
	\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = \frac{d}{dt} \vec{r}(t) = \frac{d}{dt}
	\begin{pmatrix}
		x \\
		y \\
	\end{pmatrix} =
	\begin{pmatrix}
		\frac{d}{dt}x \\
		\frac{d}{dt}y \\
	\end{pmatrix} =
	\begin{pmatrix}
		\dot{x} \\
		\dot{y} \\
	\end{pmatrix} =
	\begin{pmatrix}
		v_x \\
		v_y \\
	\end{pmatrix} =
	v_x \cdot \vec{e}_x + v_y \cdot \vec{e}_y
	.\]

\subsection*{3D}

\[
	\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = \frac{d}{dt} \vec{r}(t) = \frac{d}{dt}
	\begin{pmatrix}
		x \\
		y \\
		z \\
	\end{pmatrix}=
	\begin{pmatrix}
		\frac{d}{dt}x \\
		\frac{d}{dt}y \\
		\frac{d}{dt}z \\
	\end{pmatrix}=
	\begin{pmatrix}
		\dot{x} \\
		\dot{y} \\
		\dot{z} \\
	\end{pmatrix}=
	\begin{pmatrix}
		v_x \\
		v_y \\
		v_z \\
	\end{pmatrix}=
	v_x \cdot \vec{e}_x + v_y \cdot \vec{e}_y + v_z \cdot \vec{e}_z
	.\]


