\section{Die Gegeninduktion} \label{sec:ii}

Der magnetische Fluss, welches aus einer Leiterschleife resultiert, kann eine andere Leiterschleife beeinflussen. In Kapitel \ref{sec:ig} haben wir gesehen, dass ein magnetischer Fluss eine Spannung in einer Leiterschleife induzieren kann. Dies ist auch hier der Fall. Betrachten wir die folgende Abbildung.

\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig78.png} \cite{Albach2020}

Wie vorher beschrieben wird in der zweiten Leiterschleife ein Spannung induziert aufgrund des magnetischen Flusses von der ersten Leiterschleife. Nun beeinflusst der magnetische Fluss von der zweiten Leiterschleife die erste Leiterschleife. Die Spannungen in den jeweiligen Leiterschleifen kann wie folgt berechnet werden.

\begin{equation}
	u_1 = R_1 i_1 + L_{11} \cdot \frac{di_1}{dt} + L_{12} \cdot \frac{di_2}{dt}
\end{equation}

\begin{equation}
	u_2 = R_2 i_2 + L_{21} \cdot \frac{di_1}{dt} + L_{22} \cdot \frac{di_2}{dt}
\end{equation}

$L_{11}$ und $L_{22}$ sind die Selbstinduktivitäten von der ersten bzw. der zweiten Leiterschleife während $L_{12}$ und $L_{21}$ die Gegeninduktivitäten von der ersten bzw. der zweiten Leiterschleife sind. Da $L_{12} = L_{21}$ (\cite{Albach2020} S. 274) bezeichnen wir die Gegeninduktion als $M$. Somit gilt für die induzierte Spannung die folgende Formel.

\begin{equation}
	u_{\text{ind}} = M \cdot \frac{di_1}{dt}
\end{equation}

\subsection{Die Gegeninduktivität zweier Doppelleitungen}

Für die Gegeninduktivität zweier Doppelleitungen gilt für den Faktor $M$ folgendes.

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	\begin{equation}
		M = \frac{\mu \cdot l}{2 \cdot \pi} \cdot \ln(\frac{bc}{ad})
	\end{equation}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig79.png} \cite{Albach2020}
\end{minipage}

\subsection{Die Koppelfaktoren}

\dfn{Der Koppelfaktor}{
	Der Koppelfaktor ist ein Mass wie gut der magnetische Fluss einer Leiterschleife zur anderen übertragen lässt. Ist der Koppelfaktor hoch, so dringt fast der gesamte magnetische Fluss von der einen Spule zur anderen. Ist der Koppelfaktor niedrig, so dringt nur ein kleiner Teil des magnetischen Flusses von der einen Spule zur anderen.

	\begin{equation}
		k_{12} = \frac{\Phi_{12}}{\Phi_{22}} = \frac{M}{L_{22}}
	\end{equation}

	\begin{equation}
		k_{21} = \frac{\Phi_{21}}{\Phi_{11}} = \frac{M}{L_{11}}
	\end{equation}

	\begin{equation}
		k = \pm \sqrt{k_{12} \cdot k_{21}} = \frac{M}{\sqrt{L_{11} \cdot L_{22}}}
	\end{equation}
}
