\section{Vektoren, Matrizen}

\subsection{2 Dimensionen}

Im Zweidimensionalen bestehen Vektoren aus zwei Komponenten, welche in einem Koordinatensystem dargestellt werden kann.

\begin{figure}[h]
	\begin{minipage}{0.7\linewidth}
		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_1.png}
		\caption{Zweidimensionaler Vektor}
		\label{fig:vek1}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
		\[
			\vec{x} =
			\begin{bmatrix}
				x_1 \\
				x_2 \\
			\end{bmatrix}
			\in \mathbb{R} ^2
			.\]
	\end{minipage}
\end{figure}

Die Vektoren $\vec{e}_1$ und $\vec{e}_2$ aus Grafik \ref{fig:vek1} sind die Einheitsvektoren und können einen Vektor als Gleichung darstellen. Des Weiteren werden die Einheitsvektoren für die kanonische Basis wichtig sein.

\[
	\vec{e}_1 =
	\begin{bmatrix}
		1 \\
		0 \\
	\end{bmatrix},
	\vec{e}_2 =
	\begin{bmatrix}
		0 \\
		1 \\
	\end{bmatrix}
	.\]

\[
	\vec{x} =
	\begin{bmatrix}
		x_1 \\
		x_2 \\
	\end{bmatrix} =
	\begin{bmatrix}
		x_1 \\
		0   \\
	\end{bmatrix} +
	\begin{bmatrix}
		0   \\
		x_2 \\
	\end{bmatrix} =
	x_1 \cdot \begin{bmatrix}
		1 \\
		0 \\
	\end{bmatrix} + x_2 \cdot
	\begin{bmatrix}
		0 \\
		1 \\
	\end{bmatrix} = x_1 \cdot \vec{e}_1 + x_2 \cdot \vec{e}_2
	.\]

Unser Beispiel bestand aus reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und befand sich im $\mathbb{R}^2$. Wir können dies jedoch erweitern zu den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$. Somit können die Komponenten nun aus Komplexen Zahlen bestehen. Des Weiteren können wir die Dimension erweitern ins Dreidimensionale.

\subsection{3 Dimensionen}

Im Vergleich zum Zweidimensionalen bestehen Vektoren im Dreidimensionalen aus drei Komponenten, welche auch in einem Koordinatensystem dargestellt werden kann.

\begin{figure}[h]
	\begin{minipage}{0.7\linewidth}
		\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig_2.png}
		\caption{Dreidimensionaler Vektor}
		\label{fig:vek2}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
		\[
			\vec{x} = \begin{bmatrix}
				x_1 \\
				x_2 \\
				x_3 \\
			\end{bmatrix}
			.\]
	\end{minipage}
\end{figure}

Wie in Grafik \ref{fig:vek1} sind die Vektoren $\vec{e_1}, \vec{e_2}$ und $\vec{e_3}$ aus Grafik \ref{fig:vek2} Einheitsvektoren, welche dreidimensionale Vektoren als Gleichung darstellen können.

\[
	\vec{e_1} = \begin{bmatrix}
		1 \\
		0 \\
		0 \\
	\end{bmatrix}, \vec{e_2} = \begin{bmatrix}
		0 \\
		1 \\
		0 \\
	\end{bmatrix}, \vec{e_3} = \begin{bmatrix}
		0 \\
		0 \\
		1 \\
	\end{bmatrix}
	.\]


\[
	\vec{x} = \begin{bmatrix}
		x_1 \\
		x_2 \\
		x_3 \\
	\end{bmatrix} = x_1 \cdot \begin{bmatrix}
		1 \\
		0 \\
		0 \\
	\end{bmatrix} + x_2 \cdot \begin{bmatrix}
		0 \\
		1 \\
		0 \\
	\end{bmatrix} + x_3 \cdot \begin{bmatrix}
		0 \\
		0 \\
		1 \\
	\end{bmatrix}
	.\]

\nt{
	Die Gleichungen, welche die Vektoren darstellen, nennt man auch eine lineare Kombination von Vektoren.
}

\subsection{Lineare Kombination}

\dfn{lineare Kombination \cite{Gradinaru2024}}{
	Die lineare Kombination von Vektoren $\vec{v_1}, ... , \vec{v_n}$ ist:

	\[
		c_1 \cdot \vec{v_1} + c_2 \cdot \vec{v_2} + ... + c_n \vec{v_n}
		.\]

	wobei die $c_1, c_2, ... , c_n$ Skalare in $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ sind.
}

Die lineare Kombination ist eine Summe von Termen, wobei jeder Term ein gestreckter/gestauchter Vektor (d.h. die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor) ist. \cite{Gradinaru2024}

\subsection{$n$ Dimensionen}

Vektoren können natürlich mehr als zwei oder drei Komponenten haben. Wir können es auf $n$ Komponenten erweitern und deshalb auf $n$ Dimensionen. Dies bedeutet, dass wir unser Koordinatensystem auf $n$ Dimensionen erweitern. Somit hat der zugehörige Vektor $\vec{x} \in \mathbb{R} ^{n}$ die Komponenten $x_1, x_2, ... , x_{n}$.

\[
	\vec{x} = \begin{bmatrix}
		x_1    \\
		x_2    \\
		\vdots \\
		x_{n}  \\
	\end{bmatrix}
	.\]

Vektoren in $n$-dimensionalen Räumen können auch als eine lineare Kombination dargestellt werden.

\[
	\vec{x} = \begin{bmatrix}
		x_1    \\
		x_2    \\
		\vdots \\
		x_{n}  \\
	\end{bmatrix} = x_1 \cdot \vec{e_1} + x_2 \cdot \vec{e_2} + ... + x_{n} \cdot \vec{e_n}
	.\]

\dfn{Standardbasis \cite{Gradinaru2024}}{
	Sie Standardbasis (oder auch die kanonische Basis) in diesem $n$-dimensionalen Koordinatensystem besteht aus den folgenden $n$ Vektoren:

	\[
		\vec{e_1} = \begin{bmatrix}
			1      \\
			0      \\
			\vdots \\
			0      \\
		\end{bmatrix}, \vec{e_2} = \begin{bmatrix}
			0      \\
			1      \\
			\vdots \\
			0      \\
		\end{bmatrix}, ... , \vec{e_j} = \begin{bmatrix}
			0      \\
			\vdots \\
			1      \\
			\vdots \\
			0      \\
		\end{bmatrix}, ... , \vec{e_n} = \begin{bmatrix}
			0      \\
			0      \\
			\vdots \\
			1      \\
		\end{bmatrix}
		.\]
}

\subsection{Anwendung der linearen Kombination: Die Superposition von Feldern}

Die lineare Kombination wir vor allem bei der Superposition bzw. der Überlagerung von Kräften verwendet.

Nehmen wir an, dass 3 Vektoren $\in \mathbb{R} ^{3}$ gegeben sind.

\[
	\vec{a_1} = \begin{bmatrix}
		a_{11} \\
		a_{21} \\
		a_{31} \\
	\end{bmatrix}, \vec{a_2} = \begin{bmatrix}
		a_{12} \\
		a_{22} \\
		a_{32} \\
	\end{bmatrix}, \vec{a_3} = \begin{bmatrix}
		a_{13} \\
		a_{23} \\
		a_{33} \\
	\end{bmatrix}
	.\]

Jetzt wollen wir die Skalare herausfinden, welche den resultierenden Vektor $\vec{b}$ durch eine lineare Kombination mit den Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ darstellen.

\[
	\vec{b} = x_1 \cdot \vec{a_1} + x_2 \cdot \vec{a_2} + x_3 \cdot \vec{a_3} \text{ mit } x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R}
	.\]

Daraus können wir nun ein Gleichungssystem bilden.

\[
	\left\{
	\begin{array}{lr}
		a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + a_{13} \cdot x_3 = b_1 \\
		a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + a_{23} \cdot x_3 = b_2 \\
		a_{31} \cdot x_1 + a_{32} \cdot x_2 + a_{33} \cdot x_3 = b_3 \\
	\end{array}
	\right.
	.\]

Das Gleichungssystem stellen wir nun wie folgt mit Matrizen und Vektoren dar.

\[
	\begin{bmatrix}
		a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
		a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
		a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
	\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
		x_1 \\
		x_2 \\
		x_3 \\
	\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
		b_1 \\
		b_2 \\
		b_3 \\
	\end{bmatrix}
	.\]

Die Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ werden nebeneinander in einer Matrix geschrieben. Die Skalare $x_1, x_2, x_3$ werden als Vektor neben der Matrix geschrieben. Vereinfacht kann man auch $\vec{A} \cdot \vec{x} = \vec{b}$ schreiben.

\dfn{Lineares Gleichungssystem (LGS) \cite{Gradinaru2024}}{
	Ein lineares Gleichungssystem (LGS) wird kurz geschrieben als:

	\[
		\vec{A} \cdot \vec{x} = \vec{b}
		,\]

	wobei $\vec{A}$ die Koeffizientenmatrix, $\vec{x}$ die Unbekannte und $\vec{b}$ die rechte Seite ist.
}

\nt{
	Bei der Rechenoperation $\vec{A} \cdot \vec{x}$ handelt es sich um eine Matrix Vektor Multiplikation.
}

Für lineare Gleichungssysteme gilt:

\[
	\vec{A} \cdot \vec{x} = \vec{b} \Longleftrightarrow \vec{x} = \vec{A}^{-1} \cdot \vec{b}
	.\]

Die Inverse sowie die Multiplikation von Matrizen wird zu einem späteren Zeitpunkt besprochen.
\\
\\
Wichtig zu erwähnen ist, dass es nicht immer eine Inverse einer Matrix gibt, dies bedeutet aber nicht, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist. Um herauszufinden ob ein LGS lösbar ist, führen wir die Kompabilitätsbedingung (KB) ein. Dabei gilt folgendes:

\begin{itemize}
	\item falls $b_1 + b_2 + b_3 \neq 0$, dann gibt es keine Lösung;
	\item falls $b_1 + b_2 + b_3 = 0$, dann gibt es unendlich viele Lösungen.
\end{itemize}

Falls $b_1 + b_2 + b_3 = 0$ gilt, so kann $x_3$ beliebig gewählt werden.
