\section{Quantoren}

Quantoren sind logische Operatoren, die angeben, wie viele Objekte $x$ eine Bedingung $P(x)$ erfüllen. Die zwei wichtigsten Quantoren sind die folgenden: \cite{Ziltner2024}

\begin{center}
	\begin{tabular}{| c | c | c |}
		Notation  & Bedeutung                & Beziehung       \\
		\hline
		$\forall$ & "für jedes" = "für alle" & Allquantor      \\
		$\exists$ & "es gibt"                & Existenzquantor \\
	\end{tabular}
	\\
	\cite{Ziltner2024}
\end{center}

\exa{Quantoren}{
	\begin{itemize}
		\item[(i)] $\forall n \in \mathbb{N}_0 : n \geq 0$ ist Wahr
		\item[(ii)] $\exists n \in \mathbb{N}_0 : n > 0$ ist Wahr
		\item[(iii)] $\forall m \in \mathbb{N}_0 \exists n \in \mathbb{N}_0 : m \leq n$ ist Wahr
		\item[(iv)] $\exists n \in \mathbb{N}_0 \forall m \in \mathbb{N}_0 : m \leq n$ ist Falsch
	\end{itemize}
}

\nt{
	Die Reihenfolge der Quantoren spielt eine Rolle. Dies können wir an den vorherigen Beispielen erkennen.
}

\thm{Verneinung einer quantifizierten Aussageform}{
	Die Verneinung von den Quantoren $\forall$ und $\exists$ ist wie folgt definiert.

	\[
		\neg(\forall x \in X : P(x)) \equiv \exists x \in X : \neg P(x)
		.\]
	\[
		\neg(\exists x \in X : P(x)) \equiv \forall x \in X : \neg P(x)
		.\]
}