\section{Basisfunktion}

\subsection{Nützliche Konzepte}

\dfn{Schaltfunktion}{
	Eine Schaltfunktion $f$ nimmt mehrere Variablen $X_i$, z.B. $N$, als  Eingang und produziert eine einzige Variable $Y$ als Ausgang.

	\begin{equation}
		Y = f(X_0, X_1, X_2, ... , X_{N-1})
	\end{equation}

	Der Informationsgehalt der Variablen beträgt ein Bit (1 oder 0). \cite{Luisier2024}
}

Schaltfunktionen sind nichts anderes als eine Codierung. Damit man die Verschiedenen Codierungen zu bestimmten Ausgängen zuteilen kann, verwendet man Wahrheitstabellen.
\\
\\
Wahrheitstabellen nehmen in den linken Spalten die Wertekombinationen der Variablen $X_i$. In der rechten Spalte befindet sich das Ergebnis der Ausgangsvariable $Y$. Die grösse der Wahrheitstabelle hängt von der Anzahl der Variablen $X_i$ ab. Grundsätzlich kann man sich folgendes Merken für die Anzahl Spalten $S$ und Anzahl Zeilen $Z$.

\[
	S = i + 1
	.\]

\[
	Z = 2 ^{i}
	.\]

\subsection{UND, ODER, NICHT Verknüpfung} \label{sec:verk}

In diesem Kapitel schauen wir uns verschiedene Verknüpfungen an. Diese sind relevant für das Verständnis von Schaltfunktionen.

\dfn{AND Verknüpfung}{
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		Wenn Aussage $A$ (Eingang) wahr \textbf{und} Aussage $B$ (Eingang) wahr sind, dann ist Aussage $Y$ (Ausgang) wahr. \cite{Luisier2024}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\begin{center}
			\begin{tabular}{| c | c | c |}
				$A$ & $B$ & $Y$ \\
				\hline
				0   & 0   & 0   \\
				0   & 1   & 0   \\
				1   & 0   & 1   \\
				1   & 1   & 1   \\
			\end{tabular}
		\end{center}
	\end{minipage}

	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		In einer logischen Gleichung wird das UND wie folgt gekennzeichnet.
		\[
			A \land B = Y
			.\]
		Das UND wird mit dem folgenden Schaltzeichen gekennzeichnet.
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[circuit logic IEC]
				\node[and gate] (and) at (0,0) {};
				\node[] (iA) at (-1, 0.4) {A};
				\node[] (iB) at (-1, -0.4) {B};
				\node[] (oZ) at (1, 0) {Z};
				\draw (iA.east) --++ (right:2mm) |- (and.input 1);
				\draw (iB.east) --++ (right:2mm) |- (and.input 2);
				\draw (and.output) -- (oZ);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_30.png} \cite{Luisier2024}
	\end{minipage}
}

\dfn{OR Verknüpfung}{
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		Wenn Aussage $A$ (Eingang) wahr oder Aussage $B$ (Eingang) wahr ist, dann ist Aussage $Y$ (Ausgang) wahr. \cite{Luisier2024}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\begin{center}
			\begin{tabular}{| c | c | c |}
				$A$ & $B$ & $Y$ \\
				\hline
				0   & 0   & 0   \\
				0   & 1   & 1   \\
				1   & 0   & 1   \\
				1   & 1   & 1   \\
			\end{tabular}
		\end{center}
	\end{minipage}

	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		In einer logischen Gleichung wird das ODER wie folgt gekennzeichnet.
		\[
			Y = A \lor B
			.\]
		Das ODER wird mit dem folgenden Schaltzeichen gekennzeichnet.
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[circuit logic IEC]
				\node[or gate] (or) at (0,0) {};
				\node[] (iA) at (-1, 0.4) {A};
				\node[] (iB) at (-1, -0.4) {B};
				\node[] (oZ) at (1, 0) {Z};
				\draw (iA.east) --++ (right:2mm) |- (and.input 1);
				\draw (iB.east) --++ (right:2mm) |- (and.input 2);
				\draw (and.output) -- (oZ);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig_31.png} \cite{Luisier2024}
	\end{minipage}
}

\dfn{NICHT Verknüpfung}{
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		Wenn Aussage $A$ (Eingang) wahr ist, dann ist Aussage $Y$ (Ausgang) falsch. \cite{Luisier2024}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\begin{center}
			\begin{tabular}{| c | c |}
				$A$ & $Y$ \\
				\hline
				0   & 1   \\
				1   & 0   \\
			\end{tabular}
		\end{center}
	\end{minipage}

	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		In einer logischen Gleichung wird das NICHT wie folgt gekennzeichnet.
		\[
			\bar{A} = Y
			.\]
		Das NICHT wird mit dem folgenden Schaltzeichen gekennzeichnet.
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[circuit logic IEC]
				\node[not gate] (not) at (0,0) {};
				\node[] (iA) at (-0.8, 0) {A};
				\node[] (oZ) at (0.8, 0) {Z};
				\draw (iA.east) -- (not.input);
				\draw (not.output) -- (oZ);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	\end{minipage}
}
