Initial Commit and Notes from HS24

hs24/nus_I/zeitlich_veraenderliche_elektromagnetische_feld/bewegungsinduktion.tex

@@ -0,0 +1,58 @@
+\section{Anwendung der Bewegungsinduktion}
+
+Die Bewegungsinduktion wird hauptsächlich zwischen zwei Anwendungen unterschieden. Bei der Umwandlung von mechanischer in elektrischer Energie wird das Prinzip eines Generators verwendet. Für die Umwandlung von elektrischer Energie in mechanische Energie wird das Prinzip eines Motors verwendet. Grundsätzlich ist der Aufbau beider Prinzipien gleich weshalb nur das Generatorprinzip angeschaut wird.
+
+\subsection{Das Generatorprinzip}
+
+In den bisherigen Kapiteln haben wir Gleichstrom und Gleichspannung behandelt. Der herkömmliche Strom, welche wir aus Steckdosen beziehen kommt in Form einer Wechselspannung.
+
+\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig82.png}
+
+Wie man von der Abbildung sehen kann hat die Spannung eine sinusförmige Welle. Diese kann durch Induktion durch eine rotierende Leiterschleife in einem konstanten Magnetfeld erzeugt werden.
+
+\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig83.png} \cite{Albach2020}
+
+Die induzierte Spannung kann dann wie folgt berechnet werden.
+
+\begin{equation}
+	U_{\text{ind}} = \omega \cdot B \cdot A \cdot \sin(\omega \cdot t)
+\end{equation}
+
+Die Wechselspannung, welche wir verwenden kommt in Form von drei Phasen.
+
+\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig84.png}
+
+Diese kann generiert werden indem drei Leiterschleifen, welche 120$^{\circ}$ räumlich verschoben sind rotiert werden.
+
+\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig85.png} \cite{Albach2020}
+
+Doch welchen Vorteil verschafft ein Dreiphasensystem. Da die Wechselspannung nun aus drei Phasen besteht und jeder dieser Phasen bestromt werden kann, so kann eine grössere Leistung durch die Leitung geliefert werden. Dabei gilt für die Leistung.
+
+\begin{equation}
+	P = U \cdot I \cdot \sqrt{3}
+\end{equation}
+
+Dies bedeutet, dass in einem Dreiphasensystem fast doppelt so viel Leistung zu den Verbrauchern transportiert werden kann in Vergleich zum Einphasensystem.
+\\
+\\
+Für die Übertragung zu den Verbrauchern können zwei Schaltungen verwendet werden.
+
+\dfn{Sternschaltung}{
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig86.png} \cite{Albach2020}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		Bei der Sternschaltung werden die Spulen an einem Anschluss dem Sternpunkt zusammengeschaltet. \cite{Albach2020} Die anderen Anschlüsse werden mit den Verbrauchern verbunden. Diese Leitungen werden Aussenleiter genannt. In den Aussenleitern fliesst der selbe Strom wie in den Strangleitungen während die Spannung um den Faktor $\sqrt{3}$ grösser ist.
+	\end{minipage}
+}
+
+\dfn{Dreiecksschaltung}{
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig87.png} \cite{Albach2020}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		Bei der Dreiecksschaltung werden die Spulen in Serie geschaltet. In Vergleich zur Sternschaltung ist die Leiterspannung und die Strangspannung gleich, während der Leiterstrom um den Faktor $\sqrt{3}$ grösser ist als der Strangstrom.
+	\end{minipage}
+}
+
+In den meisten Fällen wird die Sternschaltung verwendet da diese einen Neutralleiter hat und aus Sicherheitsgründen verwendet wird.

hs24/nus_I/zeitlich_veraenderliche_elektromagnetische_feld/energieinhalt_feld.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+\section{Der Energieinhalt des Feldes}
+
+\dfn{Die magnetische Energie}{
+	Unter der magnetischen Energie versteht man die Energie eines Magnetfeldes. Dies kann in Form eines Magneten oder, wie in den meisten, in Form einer Spule sein.
+}
+
+\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig80.png} \cite{Albach2020}
+
+Nehmen wir als Beispiel eine Ringkernspule. Wenn ein Spannung an der Spule angesetzt wird so fliesst ein Strom. Durch die Energie, welche der Spule zugeführt erhöht sich die Flussdichte im Ringkern. Diese gespeicherte Energie kann mit der folgenden Gleichung berechnet werden.
+
+\begin{equation}
+	W_m = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I ^2 = \frac{1}{2} \cdot \Phi \cdot I
+\end{equation}
+
+Für 2 Spulen gilt die Formel
+
+\begin{equation}
+	W_m = \frac{1}{2} \cdot L_1 \cdot I_1 ^2 + \frac{1}{2} \cdot L_2 \cdot I_2 ^2 + M \cdot I_1 \cdot I_2
+\end{equation}
+
+Für mehrere Spulen gilt die Formel
+
+\begin{equation}
+	W_m = \frac{1}{2} \sum_{i=1} ^{n} \sum_{k=1} ^{n} L_{ik} \cdot I_i \cdot I_k
+\end{equation}
+
+\nt{
+	Das Berechnen der magnetischen Energie von mehreren Spulen werden wir nur selten gebrauchen.
+}
+
+Die magnetische Energie kann auch mit den Feldgrössen berechnet werden.
+
+\begin{equation}
+	W_m = \frac{1}{2} \iiint_V \vec{H} \cdot \vec{B} dV
+\end{equation}
+
+\subsection{Hystereseverluste}
+
+Wie bei jedem Energie Prozess entstehen Energieverluste. Diese können anhand der Hysteresekurve veranschaulicht werden.
+
+\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig81.png} \cite{Albach2020}
+
+Im Allgemeinen gilt:
+
+\nt{
+	Der Energieverlust beim Umlaufen der Hystereseschleife entspricht dem Produkt aus der von der Schleife umfassten Fläche und dem Kernvolumen. \cite{Albach2020}
+}
+
+Was bedeutet dies? Um den Ringkern zu magnetisieren und zu entmagnetisieren wird Energie aufgewendet. Da dieser Prozess nicht Verlustfrei ist entstehen Energieverluste. Der Verlust entspricht der Fläche innerhalb der Hysteresekurve.

hs24/nus_I/zeitlich_veraenderliche_elektromagnetische_feld/gegeninduktion.tex

@@ -0,0 +1,52 @@
+\section{Die Gegeninduktion} \label{sec:ii}
+
+Der magnetische Fluss, welches aus einer Leiterschleife resultiert, kann eine andere Leiterschleife beeinflussen. In Kapitel \ref{sec:ig} haben wir gesehen, dass ein magnetischer Fluss eine Spannung in einer Leiterschleife induzieren kann. Dies ist auch hier der Fall. Betrachten wir die folgende Abbildung.
+
+\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig78.png} \cite{Albach2020}
+
+Wie vorher beschrieben wird in der zweiten Leiterschleife ein Spannung induziert aufgrund des magnetischen Flusses von der ersten Leiterschleife. Nun beeinflusst der magnetische Fluss von der zweiten Leiterschleife die erste Leiterschleife. Die Spannungen in den jeweiligen Leiterschleifen kann wie folgt berechnet werden.
+
+\begin{equation}
+	u_1 = R_1 i_1 + L_{11} \cdot \frac{di_1}{dt} + L_{12} \cdot \frac{di_2}{dt}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+	u_2 = R_2 i_2 + L_{21} \cdot \frac{di_1}{dt} + L_{22} \cdot \frac{di_2}{dt}
+\end{equation}
+
+$L_{11}$ und $L_{22}$ sind die Selbstinduktivitäten von der ersten bzw. der zweiten Leiterschleife während $L_{12}$ und $L_{21}$ die Gegeninduktivitäten von der ersten bzw. der zweiten Leiterschleife sind. Da $L_{12} = L_{21}$ (\cite{Albach2020} S. 274) bezeichnen wir die Gegeninduktion als $M$. Somit gilt für die induzierte Spannung die folgende Formel.
+
+\begin{equation}
+	u_{\text{ind}} = M \cdot \frac{di_1}{dt}
+\end{equation}
+
+\subsection{Die Gegeninduktivität zweier Doppelleitungen}
+
+Für die Gegeninduktivität zweier Doppelleitungen gilt für den Faktor $M$ folgendes.
+
+\begin{minipage}{0.7\linewidth}
+	\begin{equation}
+		M = \frac{\mu \cdot l}{2 \cdot \pi} \cdot \ln(\frac{bc}{ad})
+	\end{equation}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.3\linewidth}
+	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig79.png} \cite{Albach2020}
+\end{minipage}
+
+\subsection{Die Koppelfaktoren}
+
+\dfn{Der Koppelfaktor}{
+	Der Koppelfaktor ist ein Mass wie gut der magnetische Fluss einer Leiterschleife zur anderen übertragen lässt. Ist der Koppelfaktor hoch, so dringt fast der gesamte magnetische Fluss von der einen Spule zur anderen. Ist der Koppelfaktor niedrig, so dringt nur ein kleiner Teil des magnetischen Flusses von der einen Spule zur anderen.
+
+	\begin{equation}
+		k_{12} = \frac{\Phi_{12}}{\Phi_{22}} = \frac{M}{L_{22}}
+	\end{equation}
+
+	\begin{equation}
+		k_{21} = \frac{\Phi_{21}}{\Phi_{11}} = \frac{M}{L_{11}}
+	\end{equation}
+
+	\begin{equation}
+		k = \pm \sqrt{k_{12} \cdot k_{21}} = \frac{M}{\sqrt{L_{11} \cdot L_{22}}}
+	\end{equation}
+}

hs24/nus_I/zeitlich_veraenderliche_elektromagnetische_feld/induktionsgesetz.tex

@@ -0,0 +1,56 @@
+\section{Das Induktionsgesetz} \label{sec:ig}
+
+In Kapitel \ref{sec:lk} haben wir gelernt, dass auf elektrische Ladungen, welche durch ein magnetisches Feld sich bewegen eine Kraft ausgeübt wird. Wir betrachten nun grössere Anordnungen.
+\\
+\\
+Nehmen wir an, dass sich ein Stück Metall durch ein magnetisches Feld bewegt. Aufgrund der Lorenzkraft bewegen sich die elektrische Ladungen innerhalb des Metalles. An einem Ende entsteht ein Elektronenüberschuss und am anderen Ende eine Elektronenmangel.
+
+\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig75.png}
+
+Das Metallstück kann nun als Spannungsquelle agieren. Wird es mit einem Widerstand verbunden, so fliesst ein Strom. Die Spannung der Spannungsquelle kann mit der folgenden Gleichung berechnet werden.
+
+\begin{equation}
+	U_{12} = l \cdot v_x \cdot B = L \cdot \frac{dx}{dt} \cdot B
+\end{equation}
+
+Da die Fläche der Leiterschleife mit der Zeit abnimmt, da das Metallstück immer näher zum Widerstand sich bewegt, können wir wir annehmen, dass
+
+\[
+	l \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{dA}{dt}
+	.\]
+
+Daraus folgt, dass die Induzierte Spannung einer Leiterschleife wie folgt berechnet werden kann.
+
+\begin{equation}
+	U_{\text{ind}} = -\frac{d \Phi}{dt}
+	\label{eq:uind}
+\end{equation}
+
+\nt{
+	Der in einer Leiterschleife induzierte Strom wirkt der ihn verursachenden Flussänderung entgegen. Deswegen ist das vorzeichen in Gleichung \ref{eq:uind} negativ.
+}
+
+Was passiert wenn angenommen wird, dass anstelle von der Fläche der Leiterschleife das magnetische Feld sich ändert. Auch hier kann die Gleichung \ref{eq:uind} verwendet werden. (Rechung \cite{Albach2020} S. 261)
+
+\nt{
+	Man unterscheidet zwischen der Bewegungsinduktion und der Ruheinduktion.
+
+	\begin{itemize}
+		\item Bei der Bewegungsinduktion verändert sich die Fläche der Leiterschleife
+		\item Bei der Ruheinduktion verändert sich der magnetische Fluss
+	\end{itemize}
+
+	Die Berechnung der induzierten Spannung ist die selbe.
+}
+
+Für die Gleichung \ref{eq:uind} haben wir angenommen, dass die Fläche der Leiterschleife sich linear ändert, weshalb eine zeitlich konstante Spannung induziert wird. Sobald jedoch die Fläche sich nicht mehr linear ändert ist die induzierte Spannung auch nicht mehr zeitlich konstant. Die induzierte Spannung ist nun von der Zeit abhängig.
+
+\begin{equation}
+	u(t) = - \frac{d}{dt} \iint_A \vec{B} \cdot d \vec{A}
+\end{equation}
+
+Dies folgt aus dem Faraday'sche Induktionsgesetz.
+
+\dfn{Faraday'sche Induktionsgesetz}{
+	Das Faraday'sche Induktionsgesetz besagt, dass in einer Leiterschleife ein Strom fliesst, sobald der magnetischer Fluss, welcher abhängig ist mit der Leiterschleife sich zeitlich ändert.
+}

hs24/nus_I/zeitlich_veraenderliche_elektromagnetische_feld/punktkonvention.tex

@@ -0,0 +1,5 @@
+\section{Punktkonvention}
+
+In Schaltplänen kann man nicht erkennen, in welcher Richtung die Spule gewickelt ist. Durch die Punktkonvention kennzeichnet man mit einem Punkt wo der Draht der Spule vorne liegt. Dadurch kann man die Stromrichtung bestimmen.
+
+\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig90.png} \cite{Albach2020}

hs24/nus_I/zeitlich_veraenderliche_elektromagnetische_feld/ruheinduktion.tex

@@ -0,0 +1,52 @@
+\section{Anwendung der Ruheinduktion}
+
+Eine wichtige Anwendung für die Ruheinduktion ist der Transformator (Übertrager). Diese haben vor allem in der Starkstromtechnik und in der Leistungselektronik eine grosse Bedeutung. Ihre Funktion besteht darin Spannungen zu transformieren und Leistungen zwischen galvanisch getrennten Netzwerken zu übertragen.
+
+\includegraphics[width=\textwidth]{fig/Fig88.png} \cite{Albach2020}
+
+Ein Transformator besteht in den meisten Fällen aus einem Kern gewickelt von zwei Spulen. Der Kern führt den magnetischen Fluss von der einen Spule zur anderen. Dadurch wird eine Spannung induziert.
+\\
+\\
+Bei den Transformatoren werden zwischen 3 verscheiden Vereinfachungen unterschieden.
+
+\dfn{Der Ideale Transformator}{
+	Beim idealen Transformator vernachlässigen wir jegliche Verluste im Draht und im Eisenkern. Folglich gelten die gegebenen Zusammenhänge.
+
+	\begin{equation}
+		\frac{I_1}{I_2} = \frac{U_1}{U_2} = \frac{N_2}{N_1}
+	\end{equation}
+
+	Folglich ist diese Art von Transformator sehr stark vereinfacht, jedoch ungenau.
+}
+
+\dfn{Verlustloser Transformator}{
+	In Kapitel \ref{sec:ii} haben wir gelernt, dass Leiterschleifen, welche um ein Kern gewickelt sind sich gegenseitig beeinflussen können. Diese Gegeninduktion wird im Vergleich zum idealen Transformator berücksichtigt. Die induzierten Spannungen können wie in Kapitel \ref{sec:ii} berechnet werden.
+}
+
+\dfn{Der verlustbehaftete Transformator}{
+	Für den verlustbehafteten Transformator wird neben der Gegeninduktion der Widerstand der Spulen berücksichtigt.
+}
+
+\subsection{Der Spartransformator}
+
+Falls man eine Spannungsumwandlung benötigt, jedoch die zwei Spannungsnetzwerke nicht galvanisch getrennt sein müssen, so kann man auch ein Spartransformator verwenden. Diese hat einen viel einfacheren Aufbau im Vergleich zum normalen Transformator.
+
+\dfn{Der Spartransformator}{
+	Der Spartransformator ist eine kompakte Bauform des Transformators. Ein Teil der Wicklung wird sowohl von der Primär- als auch von der Sekundärseite verwendet.
+
+	\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig89.png} \cite{Albach2020}
+
+	Es gelten die folgenden Gleichungen.
+
+	\begin{equation}
+		\frac{u_p}{u_s} = \frac{N_p}{N_s} = \frac{N_1}{N_1 + N_2} = \frac{i_s}{i_p}
+	\end{equation}
+}
+
+\nt{
+	Beim Spartransformator ist die Eingangsleitung und die Ausgangsleistung zu jedem Zweitpunkt gleich. Ist die Ausgangsspannung grösser als die Eingangsspannung, so ist der Ausgangsstrom kleiner als der Eingangsstrom und umgekehrt.
+	\[
+		u_p \cdot i_p = u_s \cdot i_s
+		.\]
+}
+

hs24/nus_I/zeitlich_veraenderliche_elektromagnetische_feld/selbstinduktion.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\section{Die Selbstinduktion}
+
+Nehmen wir an, dass durch die Leiterschleife ein zeitlich veränderlicher Strom fliesst. In Kapitel \ref{sec:mf} haben wir gelernt, dass der Strom zusammenhängt mit dem magnetischen Fluss. Dieser Zusammenhang haben wir als Induktivität bezeichnet. Daraus folgt, dass eine Veränderung des Stroms zu einer Veränderung des magnetischen Flusses beiträgt. Dieses Phänomen wird Selbstinduktion genannt.
+
+\dfn{Selbstinduktion}{
+	Die Selbstinduktion ist die Induktionswirkung eines Stromes auf seinen eigenen Leitkreis. Die Induktionsspannung $u_L$ ist proportional zur Änderungsrate $\frac{di}{dt}$ und es gilt
+
+	\begin{equation}
+		u_L = L \cdot \frac{di}{dt}
+	\end{equation}
+}
+
+\subsection{Einfache Induktivitätsnetzwerke}
+
+Das Zusammensetzen von mehreren Spulen kann den Widerständen gleichgesetzt werden. Deshalb gelten die folgenden Definitionen.
+
+\dfn{Seriegeschaltene Induktivitäten}{
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig76.png}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\begin{equation}
+			L_{\text{ges}} = \sum_{k=1}^n L_k
+		\end{equation}
+	\end{minipage}
+}
+
+\dfn{Parallelgeschaltene Induktivitäten}{
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\includegraphics[width=\linewidth]{fig/Fig77.png}
+	\end{minipage}
+	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+		\begin{equation}
+			\frac{1}{L_{\text{ges}}} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{L_k}
+		\end{equation}
+	\end{minipage}
+}

hs24/nus_I/zeitlich_veraenderliche_elektromagnetische_feld/zeitlich_veraenderliche_elektromagnetische_feld.tex

@@ -0,0 +1,9 @@
+\chapter{Das Zeitlich veränderliche elektromagnetische Feld}
+
+\input{induktionsgesetz.tex}
+\input{selbstinduktion.tex}
+\input{gegeninduktion.tex}
+\input{energieinhalt_feld.tex}
+\input{bewegungsinduktion.tex}
+\input{ruheinduktion.tex}
+\input{punktkonvention.tex}