Initial Commit and Notes from HS24

hs24/digitaltechnik/schaltalgebra/demorgan.tex

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+\section{Die De Morgan'schen Regeln} \label{sec:morgan}
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+\subsection{Beziehung zwischen UND und OR}
+
+Es existieren Beziehungen zwischen den NOR/UND und zwischen den NAND/ODER Verknüpfungen, sodass ein gegenseitiger Austausch möglich ist: De Morgan‘sche Regeln. \cite{Luisier2024}
+
+\subsection*{De Morgan'sche Regeln}
+
+\begin{enumerate}
+	\item Die NAND-Funktion kann durch eine ODER-Funktion mit invertierten Eingängen ersetzt werden. ($\overline{A \land B} = \bar{A} \lor \bar{B}$)
+	\item Die NOR-Funktion kann durch eine UND-Funktion mit invertierten Eingängen ersetzt werden. ($\overline{A \lor B} = \bar{A} \land \bar{B}$)
+\end{enumerate} \cite{Luisier2024}
+
+Mit den Grundgattern UND, ODER, NICHT kann jede logische Verknüpfung realisiert werden. Die De Morgan‘schen Regeln ermöglichen den Ersatz von Grundgattern. Jedes “Universalgatter„ NAND oder NOR allein ist ausreichend, um logische Verknüpfungen zu realisieren. \cite{Luisier2024}
+
+\nt{
+	Die Beziehung zwischen der Pull-up und Pull-down  Schaltung ist durch die De Morgan‘schen Regeln gegeben. \cite{Luisier2024}
+}
+

hs24/digitaltechnik/schaltalgebra/normalformen.tex

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+\section{Normalformen}
+
+\subsection{Definition von Min- und Maxterm}
+
+\dfn{Minterm}{
+	Ein Minterm ist eine AND-Verknüpfte logische Schaltung. Bei $n$ Eingangsvariablen gibt es $2 ^{n}$ mögliche Minterme.
+}
+
+Der Minterm kann bestimmt werden, indem man die AND-Verknüpfung aller vorhandenen Variablen bildet und die Variablen, die 0 sind, invertiert.
+
+\nt{
+	Beim Minterm haben die nicht-invertierten Variablen den Wert 1, die invertierten Variablen den Wert 0.
+}
+
+\dfn{Maxterm}{
+	Ein Maxterm ist eine OR-Verknüpfte logische Schaltung. Bei $n$ Eingangsvariablen gibt es $2 ^{n}$ mögliche Maxterme.
+}
+
+Wie beim Minterm kann der Maxterm bestimmt werdem, indem man die OR-Verknüpfung aller vorhandenen Variablen bildet und die Variablen, die 1 sind, invertiert.
+
+\nt{
+	Beim Maxterm haben die nicht-invertierten Variablen haben den Wert  0, die invertierten Variablen den Wert 1.
+}
+
+\subsection{DNF und KNF}
+
+Ist die Wahrheitstabelle einer Schaltfunktion $f$ gegeben, so können zwei verschiedene Normalformen gebildet werden. Diese werden im späteren Teil des Semesters wichtig sein.
+
+\dfn{Disjunktive Normalform (DNF)}{
+	Die Disjunktive Normalform ist die OR-Verknüpfung der Minterme.
+}
+
+\dfn{Konjunktive Normalform (KNF)}{
+	Die Konjunktive Normalform ist die AND-Verknüpfung der Maxterme.
+}

hs24/digitaltechnik/schaltalgebra/schaltalgebra.tex

@@ -0,0 +1,5 @@
+\chapter{Schaltalgebra (Bool'sche Algebra)}
+
+\input{verknuepfungsgesetze.tex}
+\input{demorgan.tex}
+\input{normalformen.tex}

hs24/digitaltechnik/schaltalgebra/verknuepfungsgesetze.tex

@@ -0,0 +1,32 @@
+\section{Verknüpfungsgesetze}
+
+\subsection{Basis- und Vereinfachungsregeln} \label{sec:verein}
+
+Logische Funktionen können sehr komplex werden. Glücklicherweise können sie vereinfacht werden durch Rechenoperationen, welche uns schon bekannt sind.
+
+\begin{itemize}
+	\item Die Reihenfolge der Variablen in UND-Verknüpfungen und in  ODER-Verknüpfungen beeinflusst das Ergebnis nicht.
+	\item Variablen können zu Gruppen zusammengefasst werden.
+	\item Gemeinsame Variablen in UND- und ODER-Verknüpfungen  können verteilt (ausmultipliziert, ausgeklammert) werden.
+	\item $\bar{\bar{A}} = A$ (Nicht)
+	\item $A \lor 0 = A$ / $A \land 0 = 0$ (Null-Theorem)
+	\item $A \lor 1 = 1$ / $A \land 1 = A$ (Eins-Theorem)
+	\item $A \lor A = A$ / $A \land A = A$ (Idempotenz)
+	\item $A \lor \bar{A} = 1$ / $A \land \bar{A} = 0$ (Verknüpfung mit Komplement)
+	\item $A \lor (\bar{A} \land B) = A \lor B$ / $A \land (\bar{A} \lor B) = A \land B$ (Adsorptionsgesetz)
+	\item $A \lor (A \land B) = A$ / $A \land (A \lor B) = A$ (Absorptionsgesetz)
+	\item $(A \land B) \lor (\bar{A} \land B) = B$ / $(A \lor B) \land (\bar{A} \lor B) = B$ (Nachbarschaftsgesetz)
+\end{itemize}
+
+Für die Reihenfolge der Rechnungen gilt:
+
+\begin{enumerate}
+	\item Klammern
+	\item Negation
+	\item AND, NAND, OR, NOR vor XOR, XNOR
+\end{enumerate}
+
+\nt{
+	AND, NAND, OR, NOR, XOR und XNOR sind untereinander gleichwertig.
+}
+