\section{Funktionen}

Intuitiv ist eine Funktion (oder Abbildung) von $X$ nach $Y$ eine Vorschrift, die jedem Element $x \in X$ ein eindeutiges Element $y \in Y$ zuordnet. \cite{Ziltner2024}

\dfn{Funktion}{
	Eine Funktion (oder Abbildung) ist ein Tripel

	\[
		f = (X, Y, G)
		,\]

	wobei $X$ und $Y$ Mengen sind und $G \subseteq X \times Y$ eine Teilmenge, sodass es für jedes $x \in X$ genau ein $y \in Y$ gibt, sodass $(x,y) \in G$.

	\cite{Ziltner2024}
}

\dfn{Definitionsbereich, Zielbereich, Graph, Wert in einem Punkt}{
	Für die Funktion $f$ haben wir folgende Definitionen um die Eigenschaften einer Funktion zu definieren.

	\begin{itemize}
		\item $\text{dom } f := \text{dom}(f) := \text{Definitionsbereich von } f := X$ Der Definitionsbereich sind die Werte von $x$, welche für diese Funktion erlaubt sind.
		\item $\text{codom } f := \text{codom}(f) := \text{Zielbereich von } f := Y$ Der Zielbereich sind die Werte von $y$, welche für diese Funktion erlaubt sind.
		\item Graph von $f := G$
		\item Wert von $f$ an der Stelle $x \in X := f(x) := y$
		\item $f : X \rightarrow Y := "\text{dom } f = X \text{und codom } f = Y"$
	\end{itemize}
}

\dfn{Bild}{
	Das Bild einer Funktion $f$ ist eine Menge, welche die möglichen $\text{codom}(f)$ beinhaltet ($\text{im}(f) \subseteq \text{codom}(f)$).

	\[
		f(A) := \{ f(x) | x \in A\}
		.\]

	Was bedeutet das? Wenn wir die Menge $A$, welches eine Teilmenge von $X$ ist, auf $f$ verwenden, so bekommen wir ein Teil, gegebenenfalls alle Elemente von $Y$.
}

\dfn{Urbild}{
	Das Urbild einer Funktion $f$ ist eine Menge, welche die möglichen $\text{dom}(f)$ beinhaltet ($f ^{-1} \subseteq \text{dom}(f)$)

	\[
		f ^{-1} (B) := \{ x \in X | f(x) \in B \}
		.\]

	Was bedeutet das? Wenn wir die Menge $B$, welches eine Teilmenge von $Y$ ist, auf die Inverse von $f$ ($f ^{-1}$) verwenden, so bekommen wir ein Teil, gegebenenfalls alle Elemente von $X$.
}

Wir werden nun weitere Eigenschaften von Funktionen kennenlernen: Die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

\dfn{Injektiv}{
	Eine Funktion ist injektiv wenn

	\[
		\forall x , x' \in X : f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'
		.\]

	Einfach gesagt bedeutet dies, dass ein Element von $X$ nicht dasselbe Resultat ausgibt, wenn das Element in die Funktion eingesetzt wird.
}

\dfn{Surjektiv}{
	Eine Funktion ist surjektiv wenn

	\[
		\forall y \in Y \exists x \in X : f(x) = y
		.\]

	Einfach gesagt bedeutet dies, dass ein Element von Y durch ein Element von X zugeordent ist. Dabei kann ein Element von X auch mehrere Elemente von Y zugeordnet sein.
}

\dfn{Bijektiv}{
	Eine Funktion ist bijektiv wenn sie injektiv und surjektiv ist. Mathematisch bedeutet dies

	\[
		(\forall x , x' \in X : f(x) = f(x') \Rightarrow x = x') \land (\forall y \in Y \exists x \in X : f(x) = y)
		.\]

}

\exa{injektiv, surjektiv, bijektiv \cite{Ziltner2024}}{
	\begin{itemize}
		\item Die Identität $\text{id}_x$ ist bijektiv
		\item Die Funktion $f : [ 0, \infty ) \rightarrow \mathbb{R}, f(x) := x$, ist injektiv und nicht surjektiv.
		\item Die Funktion $f :\mathbb{R} \rightarrow [ 0, \infty ) , f(x) := x ^2$, ist nicht injektiv, aber surjektiv.
		\item Die Funktion $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) := x ^2$, ist weder injektiv noch surjektiv.
	\end{itemize}
}

\nt{
	Die Identität ist eine Funktion, welches sich selber wieder ausgibt.

	\[
		f(x) = x
		.\]

}

\dfn{Umkehrfunktion / Inverse}{
	Die Umkehrfunktion oder Inverse einer Funktion ist eine Funktion, welches das Gegenteil der ursprünglichen Funktion $f$ macht.

	\[
		f ^{(-1)} : Y \rightarrow X, f ^{(-1)}(y) := x
		.\]

	In anderen Worten: wenn man ein Element von X in die Funktion einsetzt, so bekommt man ein Element von Y. Wichtig zu erwähnen ist, dass eine Inverse nur existiert, wenn die Funktion bijektiv ist.
}

\exa{Umkehrfunktion / Inverse \cite{Ziltner2024}}{
	\begin{itemize}
		\item Die Umkehrfunktion der Identität $\text{id}_x$ ist $\text{id}_x ^{-1} = \text{id}_x$.
		\item Die Funktion $f : [ 0 , \infty ) , f(x) := x ^2$, ist bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist die Quadratwurzelfunktion $\sqrt{} := f ^{-1} : [ 0, \infty) \rightarrow [ 0 , \infty)$.
		\item Die Exponentialfunktion exp als Funktion von $X := \mathbb{R}$ nach $Y := (0, \infty)$ ist bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus $\text{log} := \text{exp} ^{-1} : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$.
	\end{itemize}
}

\dfn{Verknüpfung von Funktionen}{
	Die Verknüpfung von Funktion ist wie folgt definiert.

	\[
		g \circ f : X \rightarrow Z, g \circ f(x) := g(f(x))
		.\]

	Dies bedeutet nichts weiter, dass der codom($f$) in die Funktion $g$ eingesetzt wird, und Elemente von $Z$ dabei herauskommen.
	\\
	Wichtig zu erwähnen ist, dass die codom($f$) = dom($g$) ist, weil sonst die Verknüpfung nicht funktionieren würde.
}

\exa{Verknüpfung, Reihenfolge davon \cite{Ziltner2024}}{
	\begin{itemize}
		\item Wir betrachten $X := Y := Z$ und die Funktionen

		      \[
			      f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) := x + 1, g(y) := y ^2
			      .\]

		      Die Verknüpfung von $f$ und $g$ ist gegeben durch

		      \[
			      g \circ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g \circ f(x) = (x + 1) ^2
			      .\]

		      Der Zielbereich von $g$ ist gleich $\mathbb{R}$. Das stimmt mit dem Definitionsbereich von $f$ überein. Daher ist die umgekehrte Verknüpfung ebenfalls sinnvoll. Sie ist gegeben durch

		      \[
			      f \circ g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f \circ g(y) = y ^2 + 1
			      .\]

		      In diesem Beispiel gilt daher

		      \[
			      g \circ f \neq f \circ g
			      .\]

		\item Wir betrachten $X := \mathbb{R} ^2, Y := Z := \mathbb{R}$ und die Funktionen

		      \[
			      f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x,y) := x + y, g := \text{exp} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
			      .\]

		      Die Verknüpfung von $f$ und $g$ ist gegeben durch

		      \[
			      g \circ f : \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R}, g \circ f(x,y) = \text{exp}(x + y) = e ^{x + y}
			      .\]

		      Die umgekehrte Verknüpfung $f \circ g$ ist nicht wohldefiniert (= sinnvoll), da der Zielbereich von $g$, also $\mathbb{R}$, nicht gleich  dem Definitionsbereich von $f$, also $\mathbb{R} ^2$, ist.
	\end{itemize}
}
