\section{Supremum und Infimum}

\dfn{Schranke, Beschränkheit \cite{Ziltner2024}}{
	Sei $A \subset \mathbb{R}$.

	\begin{itemize}
		\item Eine obere Schranke für $A$ ist eine Zahl $b \in \mathbb{R}$, sodass für jedes $a \in A$ gilt $a \leq b$.
		\item $A$ heisst nach oben beschränkt genau dann, wenn es eine obere Schranke für $A$ gibt.
		\item Die Begriffe untere Schranke und nach unten beschränkt sind analog definiert.
		\item $A$ heisst beschrankt genau dann, wenn $A$ nach oben und unten beschränkt ist.
	\end{itemize}
}

Gehen wir die einzelnen Punkte der Definition durch. Der erste Punkt besagt, dass eine Menge von Zahlen $A$ eine Zahl hat, welche $\geq$ der grössten Zahl in der Menge ist. Dies bedeutet, dass die grösste Zahl der Menge diese Zahl ist oder sie annähert. Dieser wird ''obere Schranke'' genannt. Obwohl es mehrere Zahlen sein können ist es keine Menge.\\
Punkt zwei sagt aus, dass eine Menge nach oben beschränkt ist, wenn es eine obere Schranke hat.\\
Punkt drei definiert die obere Schranke gleich der unteren Schranke. Dies bedeutet, dass eine Menge von Zahlen $A$ eine Zahl hat, welche $\leq$ die kleinste Zahl der Menge ist. Dies bedeutet wiederum, dass die kleinste Zahl der Menge diese Zahl ist oder sie annähert. Auch hier gilt wieder, dass mehrere Zahlen die obere Schranke sein können, jedoch die obere Schranke keine Menge ist.
Der letzte Punkt definiert eine beschränkte Menge. Eine beschränkte Menge ist einfach eine Menge, welche nach unten und nach oben beschränkt ist.

\thm{Vollständigkeit der reellen Zahlen \cite{Ziltner2024}}{
	\begin{itemize}
		\item[(i)] Jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge $A \subset \mathbb{R}$ besitzt eine kleinste obere Schranke. (Damit meinen wir ein kleinstes Element der Menge $S := \{ -\text{obere Schranke von } A \}$.)
		\item[(ii)] Jede nicht leere, nach unten beschränkte Teilmenge $A \subset$ besitzt eine grösste untere Schranke.
	\end{itemize}
}

Wie vorher erwähnt kann eine Menge $A$ mehrere obere oder untere Schranken haben. Das Theorem besagt, dass die Menge $A$, falls sie nicht leer ist eine kleinste obere Schranke haben muss (das grösste Element in der Menge $A$) und eine grösste untere Schranke. (das kleinste Element der Menge $A$)

\dfn{Supremum, Infimum \cite{Ziltner2024}}{
	Sei $A \subset \mathbb{R}$. Wir definieren das Supremum von $A$ als
	\[
		\text{sup} A :=
		\begin{cases}
			\text{kleinste obere Schranke für } A, & \text{falls } A \neq \emptyset \text{nach oben beschränkt ist,} \\
			\infty,                                & \text{falls } A \text{ nicht nach oben beschränkt ist,}         \\
			- \infty,                              & \text{falls } A = \emptyset.                                    \\
		\end{cases}
	\]
	Wir definieren das Infimum von $A$ als
	\[
		\text{inf} A :=
		\begin{cases}
			\text{grösste untere Schranke für } A, & \text{ falls } A \neq \emptyset \text{ und } A \text{nach unten beschränkt ist,} \\
			\infty,                                & \text{falls } A \text{nicht nach oben beschränkt ist,}                           \\
			- \infty,                              & \text{falls } A = \emptyset .                                                    \\
		\end{cases}
	\]
}

Gehen wir nun die einzelnen Definitionen von Supremum und Infimum durch.\\
Das Supremum ist im allgemeinen Fall die kleinste obere Schranke. Falls $A$ nicht beschränkt ist, so ist das Supremum $\infty$. Falls $A$ zusätzlich noch die leere Menge ist, so ist das Supremum von $A$ $- \infty$.\\
Beim Infimum ist die grösste untere Schranke der allgemeine Fall. Falls $A$ nicht beschränkt ist, so ist das Supremum $- \infty$. Falls $A$ zusätzlich noch die leere Menge ist, so ist das Infimum von $A$ $\infty$.\\
Grundsätzlich kann man einfach sagen, dass das Supremum und Infimum die Definitionen von Schranken erweitert.

\dfn{Maximum, Minimum einer Teilmenge von $\mathbb{R}$ \cite{Ziltner2024}}{
	Sei $A \subset \mathbb{R}$. Ein Maximum von $A$ ist ein Element $a \in A$, sodass $a \geq b$, für jedes $b \in A$. Ein Minimum von $A$ ist ein Element $a \in A$, sodass $a \leq b$, für jedes $b \in A$.
}

Einfach gesagt ist das Maximum bzw. das Minimum einer Menge das grösste, bzw. das kleinste Element von Menge.
