\section{Die reellen Zahlen}

Wie im letzten Kapitel besprochen führen wir eine neue Zahl ein, welche die Löcher in der Zahlenebene ''stopfen'' kann. Diese Zahl, auch reelle Zahl genannt, wird auch als Dedekind-Schnitte bezeichnet.

\dfn{Menge der reellen Zahlen, Dedekind-Schnitte \cite{Ziltner2024}}{
Eine reelle Zahl (oder Dedekind-Schnitt oder Dedekindscher Schnitt) ist eine Teilmenge $x \subseteq \mathbb{Q}$ mit den folgenden Eigenschaften:

\begin{itemize}
	\item[(a)] $x \neq \emptyset$
	\item[(b)] $x \neq \mathbb{Q}$
	\item[(c)] $\forall r \in x \forall s \in \mathbb{Q} : s > r \Rightarrow s \in x$
	\item[(d)] $\forall r \in x \exists s_0 \in x : s_0 < r$
\end{itemize}

Wir definieren

\[
	\mathbb{R} := {\text{reelle Zahl}} = {\text{Dedekind-Schnitt}}
	.\]
}

\nt{
	Die Definition von Herr Ziltner ist eine alternative Definition. Normalerweise tut man die untere Hälfte definieren. Da die Rechenoperationen der unteren Hälfte aufwendiger zu definieren ist als die obere, definieren wir die untere Hälfte.
}

In anderen Worten ist eine reelle Zahl eine Menge von rationalen Zahlen, welche in eine oberen und in einer unteren Hälfte unterteilt ist. Dies beide Hälften sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Punkt (a) besagt, dass die untere Hälfte rationale Zahlen beinhalten muss und nicht die leere Menge sein darf. Zusätzlich darf die untere Hälfte nicht eine reelle Zahl sein da sonst die untere Hälfte die ganze Zahlenebene wäre. Dies besagt Punkt (b). Punkt (c) sagt aus, dass eine rationale Zahl $s$ gibt, welche kleiner ist als die Zahl $r$, welche sich in der unteren Hälfte befindet. Zusätzlich gilt laut (d), dass es kein grösstes Element $s_0$ gibt, welches grösser als $r$ ist.

\nt{
	Damit es keine Verwirrung gibt zwischen der reellen Zahl $r = \sqrt{2}$ und der reellen Zahl als ein Intervall von einem Dedekind-Schnitt wird diese als $\mathbf{r}$ gekennzeichnet. (In der Vorlesung \framebox{r})
}

Formell beschreiben wir der Dedekind-Schnitt
\[
	\mathbf{r} := {s \in \mathbb{Q} | s < r} \in \mathbb{R}
\]
was nichts anderes Bedeutet als $\mathbf{r}$ ist die Menge aller rationalen Zahlen $s$, wobei $s$ kleiner als $r$, der Grenzwert vom Intervall ist.

Da wir die reellen Zahlen als eine Menge definiert haben, kann man die üblichen Rechenoperationen nicht mehr wie bei ''normalen'' Zahlen verwenden.

\dfn{Ordnung, Addition, Multiplikation reeller Zahlen \cite{Ziltner2024}}{
	\begin{itemize}
		\item[(i)] (Ordnung:) Für $x, y \in \mathbb{R}$ definieren wir
		      \[
			      x \boldsymbol{\leq} y :\leftrightarrow x \supseteq y d.h. y \subseteq x
			      .\]
		      \[
			      x \boldsymbol{<} y :\leftrightarrow x \boldsymbol{\leq} y \land x \neq y
			      .\]

		\item[(ii)] (Addition:) Wir definieren die Addition reeller Zahlen als die Abbildung
		      \[
			      \boldsymbol{+}: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
			      .\]
		      \[
			      x \boldsymbol{+} y := \boldsymbol{+}(x,y) := {r+s | r \in x, s \in y}
			      .\]
		\item[(iii)] (Subtraktion:) Für jedes $x \in \mathbb{R}$ definieren wir $\mathbf{-}x$ als das eindeutige Element von $\mathbb{R}$, sodass
		      \[
			      x \boldsymbol{+}(\boldsymbol{-}x) = \mathbf{0}
			      .\]
		\item[(iv)] (Multiplikation:) Wir definieren die Multiplikation reeller Zahlen als die Abbildung $\mathbf{\cdot}: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben durch
		      \[
			      x \mathbf{\cdot} y =
			      \begin{cases}
				      \{rs | r \in x, s \in y\},                                & \text{falls } x, y \boldsymbol{\geq}\mathbf{0}.                            \\
				      \boldsymbol{-} ((\boldsymbol{-}x)\boldsymbol{\cdot}y),    & \text{falls } x \boldsymbol{<} \mathbf{0}, y \boldsymbol{\geq} \mathbf{0}. \\
				      \boldsymbol{-}(x \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{-}y)),   & \text{falls } x \boldsymbol{\geq} 0, y \boldsymbol{<} 0.                   \\
				      (\boldsymbol{-} x \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{-} y)), & \text{falls } x,y \boldsymbol{<} \mathbf{0}                                \\
			      \end{cases}
			      .\]
	\end{itemize}
}

Gehen wir die einzelnen Punkte durch. (i) besagt, dass die untere Hälfte $x \geq$ die andere untere Hälfte $y$ ist, genau dann wenn $x$ eine Teilmenge von $y$ ist. Zusätzlich gilt, dass $x > y$ ist wenn $x \leq y$ ist und $x \neq y$ ist. In einfachen Worten gesagt bedeutet dies, dass wenn der untere Grenzwert von $x$ kleiner ist als der untere Grenzwert von $y$, so ist $y$ entweder in $x$ enthalten da sich die zwei Mengen schneiden oder $x$ und $y$ gleich.\\
(ii) sagt aus, dass wenn du ein beliebiges Element aus $x$ nimmst und ein beliebiges Element aus $y$ nimmst und die zusammen addierst, so erhältst du eine Zahl, welches grösser ist als $X + Y$, wobei $X$ die reelle Zahl ist, welche $x$ darstellen soll und $Y$ respektive die reelle Zahl ist, welche $y$ darstellen soll.\\
(iii) ist hoffentlich klar.\\
(iv) ist einfach eine komplizierte Art die Multiplikation zu definieren. Grundsätzlich sagt es aus, dass wenn du ein Element von $x$ nimmst und ein Element von $y$ und die miteinander multiplizierst, so erhältst du eine neue Menge welches die resultierende reelle Zahl aus Dedekind-Schmitte darstellt.

\mlenma{Bernoullische Ungleichung \cite{Ziltner2024}}{
Für alle $n \in \mathbb{N}_0$ und $x \in [-1, \infty)$ gilt
\[
	(1 + x) ^{n} \leq 1 + nx
	.\]
}

In einfachen Worten sagt die Bernoullische Ungleichung, dass exponentielles Wachstum stärker oder gleich stark ist wie lineares Wachstum. Diese Gleichung wird vor allem für Beweise von der Konvergenz von Reihen und Folgen verwendet. Meistens wird der Beweis mit Induktion durchgeführt.

\dfn{b-adischer Bruch \cite{Ziltner2024}}{
	Sei $b \leq 2$. Ein b-adischer Bruch ist Abbildung $a : \mathbb{Z} \rightarrow \{ 0, ... , b - 1 \}$, oder das Negative einer solchen Abbildung, mit den folgenden Eigenschaften:
	\begin{itemize}
		\item[(a)] Es gibt eine Zahl $k \in \mathbb{Z}$, sodass für jedes $i > k$ gilt $a_i := a(i) = 0$.
		\item[(b)] Es gibt keine Zahl $i \in \mathbb{Z}$, sodass für jedes $i \leq l$ gilt $a_i = b - 1$.
	\end{itemize}
	Wir definieren
	\[
		R_b := \{ \text{b-adischer Bruch} \}
		.\]
}

Der b-adischer Bruch ist einfach gesagt eine Art, um eine reelle Zahl darzustellen. $b$ ist die Basis und zeigt mit welchen Zahlen die reelle Zahl dargestellt werden kann. (10 = Dezimalsystem) Dabei gilt, dass der $b$-adischer Bruch laut (a) nach links alle Elemente eventuell Null sein werden, jedoch laut (b) nach rechts nicht die gleiche Zahl wiederholen dürfen. Dadurch werden Zahlen eliminiert, welche einfach aufgerundet werden können.\\
\\

\dfn{Ordnung von $b$-adischer Brüchen \cite{Ziltner2024}}{
	Wir definieren $<_b$ als die strikte lexikographische Ordnung auf $\mathbb{R}_b. \text{ d.h. für } a,a' \in \mathbb{R}_b$ definieren wir
	\[
		a <_b a' :\rightarrow \exists n \in \mathbb{Z} (\forall i > n : a_i = a_i') \land a_n < a_n'
		.\]
	Wir definieren
	\[
		a \leq_b a' :\rightarrow a = a' \lor a <_b a'
		.\]
}

Die obige definition sagt einfach aus, dass man die Zahlen einer reellen Zahl ausgedrückt als ein $b$-adischer Bruch von links nach rechts vergleicht. Sobald die Zahl $a$ kleiner ist als $a'$ so ist die Zahl grösser zur Basis $b$. Dabei ist einfach wichtig, dass die vorherigen Zahlen gleich sind.

\dfn{Betrag \cite{Ziltner2024}}{
	Der (Absolut-) Betrag einer Zahl  ist die Zahl
	\[
		|x| :=
		\begin{cases}
			x,  & \text{falls } x \geq 0 \\
			-x, & \text{sonst}           \\
		\end{cases}
		.\]
}

Hoffentlich ist der Betrag einer Zahl allen bekannt. Diese Definition ist einfach formell und sagt aus, dass wenn die Zahl $x$ positiv ist so ist deren Betrag die Zahl selbst und sonst ist es $-x$, da das negative einer negativen Zahl eine positive Zahl ergibt.\\
Mit dem Betrag können 2 Sätze eingeführt werden, welche für Beweise sehr nützlich sind.

\thm{Dreiecks-Ungleichung \cite{Ziltner2024}}{
	Für alle $x,y \in \mathbb{R}$ gilt
	\[
		|x + y| \leq |x| + |y|
		.\]
}

\thm{Youngsche Ungleichung \cite{Ziltner2024}}{
	Es seien $x,y,c \in \mathbb{R}$, sodass $c > 0$. Dann gilt
	\[
		2|xy| \leq cx ^2 + \frac{y ^2}{c}
		.\]
}
